2019全国二卷文科数学真题_文科数学2010-2019高考真题分类训练专题四,,三角函数与解三角形第十二讲,解三角形—后附解析答案
专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 2019年 1. (全国Ⅱ文15)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=___________. 2.(2019全国Ⅰ文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则= A.6 B.5 C.4 D.3 3.(2019北京文15)在△ABC中,a=3,,cosB=. (Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)求sin(B+C)的值. 4.(2019全国三文18)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知. (1)求B;
(2)若为锐角三角形,且c=1,求面积的取值范围. 5.(2019天津文16)在中,内角所对的边分别为.已知,. (Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值. 6.(2019江苏15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;
(2)若,求的值. 7.(2019浙江14)在中,,,,点在线段上, 若,则____,________. 2010-2018年 一、选择题 1.(2018全国卷Ⅱ)在中,,,,则 A. B. C. D. 2.(2018全国卷Ⅲ)的内角,,的对边分别为,,.若的面积为,则 A. B. C. D. 3.(2017新课标Ⅰ)的内角、、的对边分别为、、.已知 ,,,则= A. B. C. D. 4.(2016全国I)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,, ,则= A. B. C.2 D.3 5.(2016全国III)在中,,边上的高等于,则 A. B. C. D. 6.(2016山东)中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,则A= A. B. C. D. 7.(2015广东)设的内角的对边分别为,,.若,,,且,则 A. B. C. D. 8.(2014新课标2)钝角三角形的面积是,,,则= A.5 B. C.2 D.1 9.(2014重庆)已知的内角,,满足= ,面积满足,记,,分别为,,所对的边,则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 10.(2014江西)在中,,,分别为内角,,所对的边长,若 ,,则的面积是 A.3 B. C. D. 11.(2014四川)如图,从气球上测得正前方的河流的两岸,的俯角分别为,,此时气球的高是,则河流的宽度等于 A. B. C. D. 12.(2013新课标1)已知锐角的内角的对边分别为, ,,,则 A. B. C. D. 13.(2013辽宁)在,内角所对的边长分别为.若 ,且,则= A. B. C. D. 14.(2013天津)在△ABC中,则= A. B. C. D. 15.(2013陕西)设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 16.(2012广东)在中,若,则 A. B. C. D. 17.(2011辽宁)的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ,则 A. B. C. D. 18.(2011天津)如图,在△中,是边上的点,且,,则的值为 A. B. C. D. 19.(2010湖南)在中,角所对的边长分别为.若,,则 A. B. C. D.与的大小关系不能确定 二、填空题 20.(2018全国卷Ⅰ)△的内角的对边分别为,已知 ,,则△的面积为__. 21.(2018浙江)在中,角,,所对的边分别为,,.若,,,则=___________,=___________. 22.(2018北京)若的面积为,且为钝角,则= ;
的取值范围是 . 23.(2018江苏)在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为 . 24.(2017新课标Ⅱ)的内角,,的对边分别为,,,若 ,则 25.(2017新课标Ⅲ)的内角,,的对边分别为,,.已知,,,则=_______. 26.(2017浙江)已知,,. 点为延长线上一点,,连结,则的面积是_______,=_______. 27.(2016全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若, ,,则_____. 28.(2015北京)在△中,,则= _________. 29.(2015重庆)设的内角的对边分别为,且,,,则=________. 30.(2015安徽)在中,,,,则 . 31.(2015福建)若锐角的面积为,且,,则等于 . 32.(2015新课标1)在平面四边形中,,,则的取值范围是_______. 33.(2015天津)在中,内角所对的边分别为,已知的面积为,,,则的值为 . 34.(2015湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 m. 35.(2014新课标1)如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角,点的仰角以及;
从点测得.已知山高,则山高________. 36.(2014广东)在中,角所对应的边分别为,已知 ,则 . 37.(2013安徽)设的内角所对边的长分别为.若,则 则角_____. 38.(2013福建)如图中,已知点D在BC边上,ADAC,, ,,则的长为_______________. 39.(2012安徽)设的内角所对的边为;
则下列命题正确的是 . ①若;
则 ②若;
则 ③若;
则 ④若;
则 ⑤若;
则 40.(2012北京)在中,若,则= . 41.(2011新课标)中,,则AB+2BC的最大值为____. 42.(2011新课标)中,,则的面积为_ __. 43.(2010江苏)在锐角三角形,,,分别为内角,,所对的边长, ,则=_______. 44.(2010山东)在中,角所对的边分别为,若, ,则角的大小为 . 三、解答题 45.(2018天津)在中,内角,,所对的边分别为,,.已知. (1)求角的大小;
(2)设,,求和的值. 46.(2017天津)在中,内角所对的边分别为.已知 ,. (Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值. 47.(2017山东)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知, ,,求和. 48.(2015新课标2)中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,∆ABD面积是∆ADC面积的2倍. (Ⅰ)求 ;
(Ⅱ) 若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 49.(2015新课标1)已知分别是内角的对边,. (Ⅰ)若,求 (Ⅱ)若,且,求的面积. 50.(2014山东)中,,,分别为内角,,所对的边长.已知, . (I)求的值;
(II)求的面积. 51.(2014安徽)设的内角所对边的长分别是,且,,. (Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值. 52.(2013新课标1)如图,在中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°. (Ⅰ)若PB=,求PA;
(Ⅱ)若∠APB=150°,求tan∠PBA. 53.(2013新课标2)在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求△面积的最大值. 54.(2012安徽)设的内角所对边的长分别为,且有 . (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ) 若,,为的中点,求的长. 55.(2012新课标)已知、、分别为三个内角、、的对边, . (Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,的面积为,求、. 56.(2011山东)在中,,,分别为内角,,所对的边长.已知 . (I)求的值;
(II)若,,的面积. 57.(2011安徽)在中,,,分别为内角,,所对的边长,=, =,,求边BC上的高. 58.(2010陕西)如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间? 59.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度=4m,仰角∠ABE=,∠ADE=. (1)该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问为多少时,最大? 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 2019年 1.解析 因为bsinA+acosB=0,所以由正弦定理,可得:, 因为,,所以可得,可得, 因为,所以. 2.解析因为的内角的对边分别为. 利用正弦定理将角化为边可得 ① 由余弦定理可得 ② 由①②消去得, 化简得,即. 故选A. 3.解析(Ⅰ)由余弦定理,得 . 因为, 所以. 解得.则. (Ⅱ)由,得. 由正弦定理得,. 在中,, 所以 4.解析(1)由题设及正弦定理得. 因为,所以. 由,可得,故. 因为,故,因此. (2)由题设及(1)知△ABC的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形,故,,由(1)知,所以,故,从而. 因此,面积的取值范围是. 5.解析(Ⅰ)在中,由正弦定理,得,又由,得,即.又因为,得到,. 由余弦定理可得. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得, 从而,, 故. 6.解析 (1)由余弦定理,得,即. 所以. (2)因为, 由正弦定理,得,所以. 从而,即,故. 因为,所以,从而. 因此. 7.解析:在直角三角形ABC中,,,,, 在中,,可得;
, , 所以. 2010-2018年 1.A【解析】因为,所以由余弦定理, 得, 所以,故选A. 2.C【解析】根据题意及三角形的面积公式知, 所以,所以在中,.故选C. 3.B【解析】由, 得, 即, 所以,因为为三角形的内角,所以, 故,即,所以. 由正弦定理得,,由为锐角,所以,选B. 4.D【解析】由余弦定理,得,整理得,解得 或 (舍去),故选D. 5.D【解析】设边上的高为,则,, 所以.由正弦定理,知, 即,解得,故选D. 6.C【解析】由余弦定理得,所以 ,所以,即,又, 所以. 7.C【解析】由余弦定理得:, 所以, 即,解得:或,因为,所以,故选B. 8.B【解析】,∴,所以或. 当时,, 此时,易得与“钝角三角形”矛盾;
当时,. 9.A【解析】因为,由 得, 即, 整理得, 又, 因此,由 得, 即,因此选项C、D不一定成立.又, 因此,即,选项A一定成立.又, 因此,显然不能得出,选项B不一定成立.综上所述,选A. 10.C【解析】由可得①,由余弦定理及 可得②.所以由①②得,所以. 11.C【解析】∵, ∴ 12.D【解析】,,由余弦定理解得 13.A【解析】边换角后约去,得,所以,但B非最大角,所以. 14.C【解析】由余弦定理可得,再由正弦定理得. 15.B【解析】∵,∴由正弦定理得,∴,∴,∴,∴△ABC是直角三角形. 16.B【解析】由正弦定理得:
17.D【解析】由正弦定理,得, 即,,∴. 18.D【解析】设,则,,,在中,由余弦定理得,则,在中, 由正弦定理得,解得. 19.A【解析】因为,, 所以, 所以 因为,所以,所以.故选A. 20.【解析】由得, , 因为,所以, 因为,,所以 所以, 所以. 21.;
3【解析】因为,,,所以由正弦定理得 .由余弦定理可得 ,所以. 22.【解析】的面积 , 所以,因为,所以. 因为为钝角,所以,所以, 所以, 故的取值范围为. 23.9【解析】因为,的平分线交于点, 所以, 由三角形的面积公式可得, 化简得,又,,所以, 则, 当且仅当时取等号,故的最小值为9. 24.【解析】由正弦定理得 即, 所以,又为三角形内角,所以. 25.75°【解析】由正弦定理 ,即 , 结合 可得 ,则. 26.,【解析】由余弦定理可得, , 由 所以, . 因为,所以,所以, 27.【解析】∵,, 所以,, 所以, 由正弦定理得:解得. 28.【解析】由正弦定理,得,即,所以, 所以. 29.4【解析】由及正弦定理知:,又因为,所以;
由余弦定理得:,所以. 30.2【解析】由正弦定理可知:
. 31.7【解析】由已知得的面积为,所以 ,,所以.由余弦定理得 ,. 32. 【解析】如图作,使,,作出直线分别交线段、于、两点(不与端点重合),且使,则四边形就是符合题意的四边形,过作的平行线交于点,在中,可求得,在中,可求得,所以的取值范围为. 33.8 【解析】因为,所以, 又,, 解方程组,得,,由余弦定理得 ,所以. 34.【解析】依题意,,,在中, 由, 所以,因为,由正弦定理可得, 即 m,在中,因为,, 所以,所以 m. 35.150【解析】在三角形中,,在三角形中,,解得,在三角形中,,故. 36.2【解析】 由得:, 即,,∴,故. 37.【解析】, ,所以. 38.【解析】∵ 根据余弦定理可得 39.①②③【解析】 ① ② ③当时,与矛盾 ④取满足得:
⑤取满足得:
40.4【解析】根据余弦定理可得,解得b=4 41.【解析】在中,根据, 得,同理, 因此 42.【解析】根据得, , 所以 =. 43.4【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性. 当A=B或a=b时满足题意,此时有:,, ,,= 4. (方法二), . 由正弦定理,得:上式= 44.【解析】 由得,即, 因,所以.又因为 由正弦定理得, 解得,而则,故. 45.【解析】(1)在中,由正弦定理,可得, 又由,得, 即,可得. 又因为,可得. (2)在中,由余弦定理及,,, 有,故. 由,可得.因为,故. 因此, 所以, 46.【解析】(Ⅰ)由,及,得. 由, 及余弦定理,得. (Ⅱ)由(Ⅰ),可得,代入, 得. 由(Ⅰ)知,A为钝角,所以. 于是,, 故. 47.【解析】因为, 所以, 又 , 所以, 因此,又, 所以, 又,所以, 由余弦定理, 得, 所以. 48.【解析】(Ⅰ) 因为,,所以. 由正弦定理可得. (Ⅱ)因为,所以.在和中, 由余弦定理得, . .由(Ⅰ)知,所以. 49.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理可得. 又,可得,, 由余弦定理可得. (Ⅱ)由(Ⅰ)知. 因为,由勾股定理得. 故,得. 所以的面积为1. 50.【解析】(I)在中,由题意知, 又因为,所有, 由正弦定理可得. (II)由得,, 由,得. 所以 . 因此,的面积. 51.【解析】:(Ⅰ)∵,∴, 由正弦定理得 ∵,∴. (Ⅱ)由余弦定理得, 由于,∴, 故. 52.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 ==,∴PA=;
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得, ,化简得,, ∴=,∴=. 53.【解析】(Ⅰ)因为,所以由正弦定理得:
, 所以, 即,因为0,所以,解得B=;
(Ⅱ)由余弦定理得:,即,由不等式得:
,当且仅当时,取等号,所以, 解得,所以△ABC的面积为=, 所以△面积的最大值为. 54.【解析】(Ⅰ) (II) 在中, 55.【解析】(1)由正弦定理得:
(2) ,解得:. 56.【解析】(I)由正弦定理,设 则 所以 即, 化简可得又, 所以,因此 (II)由得 由余弦定理 解得.因此. 又因为所以 因此 57.【解析】由,得 再由正弦定理,得 由上述结果知 设边BC上的高为,则有 58.【解析】由题意知海里, 在中,由正弦定理得 =(海里), 又海里, 在中,由余弦定理得 = 30(海里),则需要的时间(小时). 答:救援船到达点需要1小时. 59.【解析】(1),同理:,. AD—AB=DB,故得, 解得. 因此,算出的电视塔的高度是124m. (2)由题设知,得, ,(当且仅当时, 取等号)故当时,最大. 因为,则,所以当时,-最大. 故所求的是m.
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