log函数运算公式 指数函数知识点总结教案
班级:一对一 所授年级+科目:
高一数学 授课教师:
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教学目标 教学重难点 指数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*. u 负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
, u 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)· ;
(2) ;
(3). (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域y>0 值域y>0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 图象都过定点(0,1) 图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;
取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
1.比较大小 例1 已知函数满足,且,则与的大小关系是_____. 分析:先求的值再比较大小,要注意的取值是否在同一单调区间内. 解:∵,∴函数的对称轴是. 故,又,∴.∴函数在上递减,在上递增. 若,则,∴;
若,则,∴. 综上可得,即. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等. ②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知,则x的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵,∴函数在上是增函数, ∴,解得.∴x的取值范围是. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数的定义域和值域. 解:由题意可得,即,∴,故,∴函数的定义域是. 令,则,又∵,∴. ∴,即. ∴,即,∴函数的值域是. 评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 4.最值问题 例4 函数在区间上有最大值14,则a的值是_______. 分析:令可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后的取值范围. 解:令,则,函数可化为,其对称轴为. 当时,∵,∴,即. ∴当时,, 解得或(舍去);
当时,∵,∴,即, ∴ 时,,解得或(舍去);
∴a的值是3或. 评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等. 5.解指数方程 例5 解方程. 解:原方程可化为,令,上述方程可化为,解得或(舍去),∴,∴,经检验原方程的解是. 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题 例6 为了得到函数的图象,可以把函数的图象( ). A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 分析:注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断. 解:∵,∴把函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数的图象,故选(C). 评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 综合练习 1 比较下列各组数的大小:
(1)若 ,比较 与 ;
(2)若 ,比较 与 ;
(3)若 ,且 ,比较a与b;
(4)若 ,且 ,比较a与b. 解:
(1)由 ,故 .又 ,故 .从而 . (2)由 ,因 ,故 .又 ,故 .从而 . (3)应有 .因若 ,则 .又 ,故 ,这样 .又因 ,故 .从而 ,这与已知 矛盾. (4)应有 .因若 ,则 .又 ,故 ,这样有 .又因 ,且 ,故 .从而 ,这与已知 矛盾. 小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解. 2 曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ). ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 3 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解:设t=3x,因为-1≤x≤2,所以,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12;
当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
4 已知函数 ( 且 ) (1)求 的最小值;
(2)若 ,求 的取值范围. 解:(1) , 当 即 时, 有最小值为 (2) ,解得 当 时, ;
当 时, . 5(1)已知是奇函数,求常数m的值;
(2)画出函数的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3X-1|=k无解?有一解?有两解? 解:
(1)常数m=1 (2)当k<0时,直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点,所以方程有一解; 当0<k<1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点,所以方程有两解。
6 已知 ,求函数 的值域. 解:由 得 ,即 ,解之得 ,于是 ,即 ,故所求函数的值域为 7 求函数y=的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设y=,u=x2-3x+2,其中y=为减函数 ∴u=x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u=x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解:设y=,u=x2-3x+2,y关于u递减, 当x∈(-∞,)时,u为减函数,y关于x为增函数;
当x∈[,+∞)时,u为增函数,y关于x为减函数. 8 已知函数, (1)求证:对任何为增函数;
(2)若为奇函数时,求a的值。
(1) 故对任何a∈R,f(x)为增函数. (2),又为奇函数, 得到。即 9 定义在R上的奇函数有最小正周期为2,且时, (1)求在[-1,1]上的解析式;
(2)判断在(0,1)上的单调性;
(3)当为何值时,方程=在上有实数解. 解(1)∵上的奇函数,∴,又∵2为最小正周期,∴ 设,则, ∴ (2)= ∴在(0,1)上为减函数。
(3)∵在(0,1)上为减函数, ∴ 即 同理在(-1,0)时,,又, ∴当或时,在[-1,1]内有实数解。
10 函数y=a|x|(a>1)的图像是( ) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1:(分类讨论):
去绝对值,可得y= 又a>1,由指数函数图像易知,应选B. 解法2:因为y=a|x|是偶函数,又a>1,所以当x≥0时,y=ax是增函数;
x<0时,y=a-x是减函数. 一、选择题 1.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是( ) A、 B、 C、a< D、1< 2.下列函数式中,满足f(x+1)=f(x)的是( ) A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x 3.下列f(x)=(1+ax)2是( ) A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 4.函数y=是( ) A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 5.函数y=的值域是( ) A、(-) B、(-0)(0,+) C、(-1,+) D、(-,-1)(0,+) 6.下列函数中,值域为R+的是( ) A、y=5 B、y=()1-x C、y= D、y= 7.已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 二、填空题 8.函数y=的定义域是 9.函数y=()(-3)的值域是 10.直线x=a(a>0)与函数y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点,则这四点从上到下的排列次序是 11.函数y=3的单调递减区间是 12.若f(52x-1)=x-2,则f(125)= 答案 1、D;
2、D;
3、B;
4、A;
5、D;
6、B;
7、A 8.(-,0)(0,1) (1,+ ) 9.[()9,39] 10.D、C、B、A 11.(0,+) 12.0 三、解答题 13、已知关于x的方程2a-7a+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根. 解: 2a-7a+3=0, a=或a=3. a=时, 方程为: 8·()-14·()+3=0x=2或x=1-log3 a=2时, 方程为: ·2-·2+3=0x=2或x=-1-log2 14、设a是实数,,试证明对于任意a,为增函数. 证明:设∈R,且则 由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即<0, 又由>0得+1>0, +1>0,所以<0即, 因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,为增函数. 15、已知函数f(x)=(a-a)(a>0且a1)在(-, +)上是增函数, 求实数a的取值范围. 解: 由于f(x)递增, 若设x<x,则 f(x)-f(x)=[(a-a)-(a-a)] =(a -a)(1+a·a)<0, 故(a-9)( (a -a)<0. (1), 解得a>3; (2) , 解得0<a<1. 综合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。
16 求下列函数的定义域与值域. (1)y=2; (2)y=4x+2x+1+1. 解:(1)∵x-3≠0,∴y=2的定义域为{x|x∈R且x≠3}. 又∵≠0,∴2≠1,∴y=2的值域为{y|y>0且y≠1}. (2)y=4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2>1, ∴y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}. 17 已知9x-10.3x+9≤0,求函数y=()x-1-4·()x+2的最大值和最小值. 解:由已知得(3x)2-10·3x+9≤0 得(3x-9)(3x-1)≤0 ∴1≤3x≤9 故0≤x≤2 而y=()x-1-4·()x+2= 4·()2x-4·()x+2 令t=()x(),则y=f(t)=4t2-4t+2=4(t-)2+1 当t=即x=1时,ymin=1 ;
当t=1即x=0时,ymax=2. 18 已知函数f(x)= (a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域和值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性. 解:(1)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}. 设y=,解得ax=-① ∵ax>0当且仅当->0时,方程①有解.解->0得-1<y<1. ∴f(x)的值域为{y|-1<y<1. (2)∵f(-x)===-f(x)且定义域为R,∴f(x)是奇函数. (3)f(x)==1-. 1°当a>1时,∵ax+1为增函数,且ax+1>0. ∴为减函数,从而f(x)=1-=为增函数. 2°当0<a<1时,类似地可得f(x)=为减函数. 教案审核:
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
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“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
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