[贝塞尔函数及其应用]虚宗量贝塞尔函数
题目:
贝塞尔函数及其应用 摘 要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。
本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数,通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;
一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。
关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式 目 录 一、 起源 1 (一) 贝塞尔函数的提出 1 (二) 贝塞尔方程的引出 1 二、 贝塞尔函数的基本概念 4 (一) 贝塞尔函数的定义 4 1. 第一类贝塞尔函数 5 2. 第二类贝塞尔函数 7 3. 第三类贝塞尔函数 10 4. 虚宗量的贝塞尔函数 10 (二) 贝塞尔函数的递推公式 11 (三) 半奇数阶贝塞尔函数 13 (四) 贝塞尔函数的零点 14 (五) 贝塞尔函数的振荡特性 16 三、 Fourier-Bessel级数 16 (一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义 16 (二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 17 四、 贝塞尔函数的应用 24 (一) 贝塞尔函数在光学中的应用 24 (二) 贝塞尔函数在调频制中的应用 26 附录 30 一、 起源 (一) 贝塞尔函数的提出 随着科学技术的发展,数学的应用更为广泛。在许多科技领域中,微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要,数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系,同时刻画了物理现象和过程的基本规律。它的重要性,早在18世纪初就被人们认识。在1715年,泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动方程。以后,伯努利从弦发出声音的事实,得出该方程的三角级数解。在此基础上,傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。同时欧拉和拉格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传导等物理问题中,导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法,取得了重要的成就。而这其中,18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了数学界得兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利,欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年,德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时,第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架,后人以他的名字来命名了这种函数 。
贝塞尔函数是一类特殊函数的总称,贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的(在圆柱域问题中得到的是整阶形式;
在球形域问题中得到的是半奇数阶形式,因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位,其中最典型的问题有:在圆柱形波导中的电磁波传播问题;
圆柱体中的热传导问题;
圆形(或环形)薄膜的振动模态分析问题等。
(二) 贝塞尔方程的引出 有圆形薄盘,上下两面绝热,圆盘边界上的温度始终保持为0,且初始温度分布已知,求圆盘内的瞬时温度分布规律。
设圆形薄盘的半径为R,这个问题可以归结为求解下列问题:
应用分离变量法求这个问题的解,为此令 为第一个方程的非零解,代入该方程得 化简并引入参数得 由此我们得到下面关于函数T(t)和V(x,y)的方程 , (1-1) , (1-2) 由式(1-1)得 方程(1-2)称为Helmholtz方程,为了求出这个方程满足边界条件 的非零解,我们采用平面上的极坐标系,则该定解问题转化为 (1-3) . (1-4) 再令,代入方程(1-3)得 , 引入参数 , 于是有 , (1-5) . (1-6) 由于温度函数是单值的,所以也必是单值函数,而与在极坐标系表示同一点,因此应该是以2为周期的函数,即,这就决定了,由此该方程(1-5)的解为 , (为常数), , 将代入方程(1-6),得 , 这个方程称为n阶贝塞尔方程。由式(1-4)得 . 由于圆盘上的温度是有限的,特别在圆心处也应如此,于是,因此原定解问题的最后解决归结为求解下列问题:
的特征值与特征函数。
若令,并记,则得 . (1-7) 上式是贝塞尔方程最常见的形式,它是一个具有变系数的二阶线性常微分方程,它的解称为贝塞尔函数。
二、 贝塞尔函数的基本概念 (一) 贝塞尔函数的定义 定义满足本征方程 (2-1) 的函数为贝塞尔函数,为贝塞尔函数的阶。本征方程也可以表述为 在圆柱坐标系和球坐标系中解波动方程,用分离变量法都可得到径向函数满足的微分方程正好就是贝塞尔方程. 圆柱波径向方程 球波径向方程 令上式可写成 这是半奇数阶的贝塞尔方程。
方程(2-1)是在解决圆盘上温度分布的具体情况下得到的,因此方程中的常数一般取为整数或零。当和为任意实数或复数时,该方程也被称为贝塞尔方程,其解也叫做贝塞尔函数。
我们使用Frobenius方法求解贝塞尔方程。注意到n阶贝塞尔方程中与前得系数在x=0处为零,即该方程在x=0处退化。如果用x2除以方程的两边,则y与前得系数在x=0处有奇性。正因为如此,在用幂级数方法求解方程(2-1)时,要设该方程的级数解为 (2-2) 其中为常数。下面来确定r和,为此将式(2-2)及 , . 代入方程(2-1)中,得到关于x的恒等式 故有 (2-3) (2-4) (2-5) 由于c00,得r=n,或r=-n由(2-4)得c1=0; 1. 第一类贝塞尔函数 贝塞尔方程有如下形式的级数解,其中, 为任意实数, 展开系数有递推公式. 实际上将代入方程(2-1)得 . 比较同次项的系数,得 , 即 . (i)取r=n,则有 . 于是用表示的奇数项; 而偶数项都可用表示,即 . 因此级数解的一般项为 , 其中为任意常数,当取一定值,就得到贝塞尔方程的一个解(由比值法知,级数解的收敛半径). 取常数,这样选取有两个好处:一是可使一般项系数中的次数与的次数相同;
二是可以运用下列恒等式 使分母简化,从而使一般项的系数变成 , 由此得到的贝塞尔方程的级数解,此级数的和函数称为阶第一类贝塞尔函数,记为, (2-6) 为正整数或零时,, 因此为正整数时 . 显然,当为偶数时,为偶函数;
当为奇数时,为奇函数。
(ii)当,同样可得贝塞尔方程的另一特解 (2-7) 对于上式应注意两点:
1) 由于时,,对于的项,系数为0,于是 2) 比较(2-6)与(2-7)两式可知,不论为何实数,总可以用(1.4.2)式统一地表示第一类贝塞尔函数。
2. 第二类贝塞尔函数 1) 当不为整数时,分析函数与在附近的性态(设),可知与线性无关,因此贝塞尔方程的通解为 其中为任意常数. 当n为整数时,与线性相关,他们之间有关系式 . 事实上,我们不妨设为正整数(这不失一般性,因为当为负整数时,会得到同样的结果),则在式(2-6)中,当时,将为负整数或零,对于这些值为无穷大,所以 令,得 即与线性相关. 这时与已不能构成贝塞尔方程的通解了. 为了求出贝塞尔方程的通解,需要构造另一个与线性无关的解. 通常用线性组合与极限方法作出贝塞尔方程的另一个解(记作). 2) 当不是整数时,令 ; 当为整数时,取 . 由上面两式所定义的函数阶第二类贝塞尔函数或称为诺依曼(Neumann)函数。它的级数表达式为 , 其中;
当时,去掉第二项有限和. 特别地,在的小邻域内有近似公式 , . 3) 不论n为何实数,与贝塞尔方程的另一个解线性无关,因为当x=0时,为有限值,而为无穷大,所以与线性无关。因此贝塞尔方程的通解可表示为 , 式中,为任意常数,为任意实数. 在一些定解问题中,是零或正整数,且相应的本征值问题带有自然边值条件:有界,因此,贝塞尔方程的通解不能取式,而应取式. 因为当时,,于是在中常取,即在条件下,贝塞尔方程的解为 其中为任意常数. 3. 第三类贝塞尔函数 用第一类和第二类贝塞尔函数可以定义复数型的第三类贝塞尔函数,也称为汉克尔(Hankel)函数: , . 其中是虚数单位,为任何实数。由于它们是贝塞尔方程的两个线性无关解,因此,对任何实数,贝塞尔方程通解的另一表达式为 . 其中为任意常数. 当时,三类贝塞尔函数的渐近表达式为 ;
; , . 4. 虚宗量的贝塞尔函数 圆柱形区域内,如果上下两底的边值条件是齐次的,侧面的边值条件是非齐次时会遇到如下的微分方程:
令,即得到贝塞尔方程 . 故有解, 定义 为第一类虚宗量的贝塞尔函数, 为第二类虚宗量的贝塞尔函数。
(二) 贝塞尔函数的递推公式 不同阶的贝塞尔函数之间存在一定的递推关系. 1) 第一组是微分公式:
(2-8) . (2-9) 先讨论零阶与一阶的贝塞尔函数之间的关系. 由于 有 , . 从而 , 即 . 将乘以并求导数,得 即 . 以上结果可以推广,现将乘以并求导,得 . 当时,(2-8)式化为 ;
当时,(2-9)式化为 . 由以上四式可得不定积分公式:
, , , . 2) 第二组是高阶用低阶表示的递推公式:
, (2-10) . (2-11) 这组公式由第一组公式推出:将(2-8)与(2-9)两式左端的导数求出来,经化简后相减相加即得。
又由(2-8)与(2-9)两式可以分别证明:
, (2-12) , (2-13) 其中记号表示运算 所有上述关于的递推公式对任何都成立。
(三) 半奇数阶贝塞尔函数 第一类贝塞尔函数和诺依曼函数一般说来不是初等函数,但半奇数阶第一类贝塞尔函数的一个重要特点是,它可以用初等函数来表示。比如,我们计算 这里用到了公式 . 类似地,可证 一般地,利用递推公式(2-13)可证得是初等函数:
(2-14) 利用(2-12)式可证得是初等函数:
(2-15) 用归纳法可以分别由(2-14)式和(2-15)式证明的明显表达式:
, (四) 贝塞尔函数的零点 贝塞尔函数的零点,就是方程的根,通常用表示阶贝塞尔函数的第个正零点(从小到大依次编号)。由的表达式知,当时,有零点,并且如果,则,因此零点是关于原点对称地分布的。下面是有关零点分布的几个重要性质,它对求解定解问题是很重要的。
1) 有无穷多个正零点,且都是单重零点。设,,…是方程的正根,则 . 当时, , 并且函数系在区间上是完备系。
零点的渐进公式是 (愈大愈精确)。
2) 的零点于的零点是彼此相间分布的。即的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅存在一个的零点,反之亦然。
3) 的最小正零点小于的最小正零点,即。
4) 指标较大时,相邻两零点的距离近似于。
下表列出了到的前9个正根. n m 0 1 2 3 4 5 1 2.405 3.832 5.136 6.380 7.588 8.771 2 5.520 7.016 8.417 9.761 11.065 12.339 3 8.654 10.173 11.620 13.015 14.373 15.700 4 11.792 13.324 14.796 16.223 17.616 18.980 5 14.931 16.471 17.960 19.409 20.827 22.218 6 18.071 19.616 21.117 22.583 24.019 25.430 7 21.212 22.760 24.270 25.748 27.199 28.627 8 24.352 25.904 27.421 28.908 30.371 31.812 9 27.493 29.047 30.569 32.065 33.537 34.989 (五) 贝塞尔函数的振荡特性 是一个衰减振荡函数,下图中画出了和在时的图像;
时的图像可以分别根据和的对称性得到。是偶函数,是奇函数。从下图中可以看出,和都有无穷多个实数零点。两者的零点彼此相间分布。
通常认为,贝塞尔函数的级数形式收敛速度很慢,这主要来源于的次幂项的函数的相互制约关系。随着求和次数的增大,函数项增大,当的指数项减小或的指数项增大时,但其增大速度小于函数项的增大速度时,该级数很快收敛。否则,的指数项随求和次数的增大而急速增大,但函数的增大速度远远小于它。这样,只有当足够大时,才能满足函数的增大速度远远大于的指数项增大速度,这时级数才能趋于收敛。但很大导致误差增大甚至溢出。
三、 Fourier-Bessel级数 (一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义 在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时,往往需要把已知函数按贝塞尔函数系展成级数。由于贝塞尔函数系还是完备的,可以证明,任意在上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数,只要它在处有界,在处等于,则它必能展开成如下形式的绝对一致收敛的级数 . 我们利用正交性即可求得这个展开式的系数.事实上,我们在上式的两边同时乘以,并对从到积分,利用贝塞尔函数正交性及其模,有 , 即 , 由上式确定的成为Fourier-Bessel系数,级数式称为Fourier-Bessel级数. (二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 将幂函数按贝塞尔函数展开: 我们分别取前四项,前七项,前十项,和前一百项级数和,用matlab画出图像,然后与的图像进行对比。
下图是前四项和的逼近情况,纵坐标范围截取:
下图是前七项和的逼近情况,纵坐标范围截取:
下图是前十项和逼近情况,纵坐标范围截取:
下图是前100项和的逼近情况,可以看出已十分逼近. 将前四项和,前七项和,前十项和的图像放在一起:
从上图可以看出,随着级数和的项数的增加,幂函数的贝塞尔函数展开式的逼近情况越来越好。
下面将函数 展开成贝塞尔函数系的级数。设 其中 , . 令,则 因此我们得到 , . 此时,需要先求得贝塞尔函数的零点,这个任务可以用内插法来解决。我们要分别找出当时,的根。
用matlab编程求得 由matlab计算可得 前两项和的图像如下:
前六项和的图像如下:
前十项和的图像如下:
前十四项和的图像如下:
将他们放在一起比较:
从图中可以看出,随着项数的增加,级数和在上越来越趋近于。而级数和在右端点附近误差较大,是因为当时,. 又由于当时,,所以级数和的项数越多,级数和的数值越小,也就越趋近于。
四、 贝塞尔函数的应用 (一) 贝塞尔函数在光学中的应用 在与圆孔或其他光学物体有关的光学衍射问题中,人们经常要用到低阶第一类贝塞尔函数。在许多工程实际应用的场合,人们往往需要知道衍射物在较大尺寸范围内变化时,对应的贝塞尔函数的函数值。当自变量较大时,按贝塞尔函数的定义式进行的数值计算会出现超界现象.这表明在自变量较大的时候,按定义式算得的函数值就不正确了。寻求一个公式或算法,使得在大自变量的情况下,仍能求出精确的函数值是光学技术及工程实际中所要求的。
在时,阶贝塞尔函数可用以下近似公式即所谓的贝塞尔函数渐近公式表示:
(4-1) 式中 (4-2) (4-3) 对工程应用来说,(4-1)式的运用并不真的需要自变量取非常大,相反往往较小的值时,按渐近公式算得的函数值就已满足工程实际的精度要求。以零阶贝塞尔函数为例,取式(4-2), 式(4-3)的前两项,得 代入公式(4-1)得 (4-5) 按贝塞尔函数的级数表达式和渐近公式分别计算求得的函数值的部分结果及它们的差列于后表。由表可见,在后,用式(4-5)代替级数定义式求出的函数值的误差,显然对工程应用来说,这样的计算精度一般来说是足够的。同样对于一阶贝塞尔函数,当时,如用下式:
计算函数值,则误差。以上我们取了式(4-2)、(4-3)中的前两项,如果仅取它的第一项作渐近公式,则当时,用渐近公式求出的函数值的误差. X 7 8 9 10 11 12 级数式 0.30007927 0.17165081 -9.033361E-2 -0.24593577 -0.17119030 4.768931E-2 渐近式 0.30006669 0.17164510 -9.033298E-2 -0.24593324 -0.17118883 4.768924E-2 差 1.258334E-5 5.703423E-6 -6.343648E-7 -2.527512E-6 -1.474057E-6 6.643125E-8 X 13 14 15 16 17 18 级数式 0.20692610 0.17107348 -1.422447E-2 0.17489907 -0.16985425 -1.335581E-2 渐近式 0.20690535 0.17107297 -1.422450E-2 -0.17489880 -0.16985401 -1.335578E-2 差 7.478229E-7 5.363787E-7 2.492850E-8 -2.750175E-7 -2.379904E-7 -3.471612E-8 通过计算表明,最好在左右时就使用渐近公式。另外如果对式(4-2)、式(4-3)中,取更多的项,还能进一步提高渐近公式的数值计算精度。采用贝塞尔函数的渐近公式代替级数表达式求函数值的方法,除了能避免在自变量较大时出现错误外,还可提高计算速度,这一点对工程问题中的实时处理来说是十分有益的。
(二) 贝塞尔函数在调频制中的应用 在通讯所用的讯号中,一般应进行某一定方式的调制,即在发送的高频电流瞬时值 中,改变其中所包含的三个量(振幅,相角或频率)之一;
即是说要使发送的电流的振幅、相角或频率随着调制电流而变,此三种方式分别称为调幅、调相及调频。
在调频过程中,频率的周期性改变是按如下的规律进行:
, 其中是调制讯号的角频率,是调频系数,决定于调制讯号振幅的大小. 调频电流为 (4-6) (4-6)式中的代表调制时频率的改变,叫做调频指数或频率偏移系数。利用贝塞尔函数,式(4-6)可写为:
(4-7) 因, 此处代表频率的偏移,等于载频与调制系数的乘积,当调制讯号振幅不变时,亦是一恒定不变的量。利用这一关系式,(4-7)可写成下式:
(4-8) 由(4-8)式可见,调频电流包含有无穷个旁频,第个旁频的振幅为,阶的第一类贝塞尔函数;
但在实际通讯系统中,只需保留有限个旁频即可维持完满的通讯。为了说明这一点,我们把写成下面的形式:
其中 ;
当时,,由贝塞尔函数理论知,在时是的正的下降函数,而在时则将不复为的单调函数,故可知当 , 即有一的值, . 当时,即为正的下降函数,而且其减少的速度甚大,故在实际的发送系统中,从以后的旁频振幅是下降的,故发送系统的旁频宽度只需是,,即可得到满意的通讯。
试取贝塞尔方程 其中为任意数,当取整数值时,我们记作,如果,则在贝塞尔方程中,末一项为零,故上式变为 其通解为 因此我们可以认为 . 只有当和都相当大时,我们才能保证当稍微变动时我们仍有的关系,然后才能略去贝塞尔方程中的最后一项;
为了要顾及临界旁频以外的旁频振幅的变化情况,我们再来看贝塞尔方程,如,则 如以代替自变量,即得到一常系数线性微分方程 其解是 代入,即得到 亦即是说,当,我们得到 此处的和可能是的函数,如果将此式与阶的第一类贝塞尔函数的展开式 相比较,当时,将上式分母中的以斯特林公式代入,则在的展开式中我们可以只取第一项,即 , . 故我们可以取 即当时,取的形式. 附录 n=0 y=besselj(0,(-25:.5:25)’); plot((-25:.5:25)’,y) n=1 y=besselj(1,(-25:.5:25)’); plot((-25:.5:25)’,y) n=-1 y=besselj(0,(-25:.5:25)’); plot((-25:.5:25)’,y) y=besselj(2,(0:.5:25)’); plot((0:.5:25)’,y) hold on y=besselj(2,(-25:.5:0)’); plot((-25:.5:0)’,y) n=3 y=besselj(3,(-25:.5:25)’); plot((-25:.5:25)’,y) n=-3 y=besselj(-3,(-25:.5:25)’); plot((-25:.5:25)’,y) 前四项和 c=0; for j=1:4 a=besselj(2*j,(-200:200)'); b=[(2*j)^2]*a; c=c+b; end c=c*2; plot((-200:200)',c) hold on t=-20:20; y=t.^2; plot(t,y) axis([-10 10 -20 100]) 前七项和 c=0; for j=1:7 a=besselj(2*j,(-200:200)'); b=[(2*j)^2]*a; c=c+b; end c=c*2; plot((-200:200)',c) hold on t=-20:20; y=t.^2; plot(t,y) axis([-30 30 -30 200]) 前十项和 c=0; for j=1:10 a=besselj(2*j,(-200:200)'); b=[(2*j)^2]*a; c=c+b; end c=c*2; plot((-200:200)',c) hold on t=-20:20; y=t.^2; plot(t,y) axis([-40 40 -150 400]) 前一百项和 c=0; for j=1:100 a=besselj(2*j,(-200:200)'); b=[(2*j)^2]*a; c=c+b; end c=c*2; plot((-200:200)',c) hold on t=-20:20; y=t.^2; plot(t,y) axis([-40 40 -40 1000]) 前两项和 a(1)=3.832; a(2)=7.016; for i=1:2 m=besselj(1,a(i)*c); n=besselj(2,a(i)); b=b+(2*m/(a(i)*n)); end plot(c,b) 前六项和 a(1)=3.832; a(2)=7.016; a(3)=10.173; a(4)=13.324; a(5)=16.471; a(6)=19.616; for i=1:6 m=besselj(1,a(i)*c); n=besselj(2,a(i)); b=b+(2*m/(a(i)*n)); end plot(c,b) 前十项和 a(1)=3.832; a(2)=7.016; a(3)=10.173; a(4)=13.324; a(5)=16.471; a(6)=19.616; a(7)=22.760; a(8)=25.904; a(9)=29.047; a(10)=32.190; b=0; c=0:.01:1; for i=1:10 m=besselj(1,a(i)*c); n=besselj(2,a(i)); b=b+(2*m/(a(i)*n)); end plot(c,b) 前十四项 a(1)=3.832; a(2)=7.016; a(3)=10.173; a(4)=13.324; a(5)=16.471; a(6)=19.616; a(7)=22.760; a(8)=25.904; a(9)=29.047; a(10)=32.190; b=0; c=0:.01:1; for i=1:10 m=besselj(1,a(i)*c); n=besselj(2,a(i)); b=b+(2*m/(a(i)*n)); end plot(c,b) 内插法求零点 x=0:0.5:50; y=besselj(0,x); LD=[]; for k=1:1000, if y(k)*y(k+1)<0 h=interp1(y(k:k+1),x(k:k+1),0); LD=[LD,h] end end
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家乡赋 孙传志 今安康市,白河双丰镇,吾之家乡也。三环沃土,山水环抱。其北依山,山系五岭,山
【调研报告】 日期:2020-04-01
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【人教版1-6年级数学上册知识点精编】1-6年级数学人教版教材
人教版二年级数学上册知识点汇总第一单元长度单位一、米和厘米1、测量物体的长度时,要用统一的标准去测量
【调研报告】 日期:2020-11-08
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党史学习活动目的7篇
党史学习活动目的7篇党史学习活动目的篇1学好历史课奋进新征程历史就像是一面镜子,可以折射过去
【活动总结】 日期:2022-12-18
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2022年2月份主题党日活动记录5篇
2022年2月份主题党日活动记录5篇2022年2月份主题党日活动记录篇1尊敬的党组织:在今年的开学初,本人积极参加教研室组织的教研活动,在学校教研员的指
【活动总结】 日期:2022-08-12
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2022年村学党史活动简报6篇
2021年村学党史活动简报6篇2021年村学党史活动简报篇1一、高站点抓住组织。以走在前列、勇当
【活动总结】 日期:2022-12-17
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红旗颂朗诵稿原文【《红旗颂》朗诵词】
《红旗颂》朗诵词 女:晴空万里,红旗飘扬, 六十载风云,我们昂首阔步。 男:六十个春秋,
【职场指南】 日期:2020-02-16
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一年级新学期目标简短_一年级学生新学期打算
新学期到了,我是一年级下册的小学生了。 上课的时候,我要认真学习,不做小动作,认真听讲。我要认真学习,天天向上,努力学习,耳朵要听老师讲课,眼睛要瞪得大大的看老...
【简历资料】 日期:2019-10-26
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[信访复查复核制度作用探讨]信访复查复核有用吗
作为我国特有的一项制度,信访制度的出现并长期存在不是偶然的,虽然一些法学专家认为信访制度具有“人治”
【职场指南】 日期:2020-02-16
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[党员干部2019年主题教育个人问题检视清单及整改措施2篇] 党员干部
2019年主题教育问题检视清单及整改措施根据主题教育领导小组办公室《关于认真做好主题教育检视问题整改
【求职简历】 日期:2019-11-08
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网络维护工作内容_(精华)国家开放大学电大专科《网络系统管理与维护》形考任务1答案
国家开放大学电大专科《网络系统管理与维护》形考任务1答案形考任务1理解上网行为管理软件的功能【实训目
【职场指南】 日期:2020-07-17
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民族团结的素材资料13篇民族团结的素材资料篇1研究进一步推进新疆社会稳定和长治久安工作。会议指出,要全面贯彻执行党的民族政策,把民族团结作为各族人民的生命线
【简历资料】 日期:2022-08-16
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党委会与局长办公会的区别_局长办公会制度
为进一步加强xxx局工作的规范化、制度化建设,提高行政效能,规范议事程序,特制定本制度。一、会议形式1、局长办公会议由局长、副局长参加。由局长召集和主持。根据工作需要...
【求职简历】 日期:2019-07-30
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国开(中央电大)《当代中国政治制度》网上形考任务试题及答案_国开大学当代政治
国开(中央电大)《当代中国政治制度》网上形考任务试题及答案说明:1 试卷号:1190;2 课程代码:
【职场指南】 日期:2020-06-07
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如何凝心聚力谋发展【坚定信心谋发展凝心聚力促跨越】
当前,清河正处于在苏北实现赶超跨越基础上全面腾飞的战略机遇期,处于在全市率先实现全面小康基础上率先实
【简历资料】 日期:2020-03-17
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《铁拳砸碎“黑警伞”》警示教育片观后感
影片深刻剖析了广西北海市公安局海西派出所原所长张枭杰蜕变堕落的轨迹。观看警示教育片后,做为一名党员教
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3篇职场礼仪演讲稿供借鉴礼仪,是个人素质和素养的外在体现,更是企业形象的具体化体现。礼仪已经倍受人们
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学习总书记在全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会上的讲话心得体会2020年,一场骤然袭来的大疫,以如此刻骨铭
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2022年创建“无疫社区”工作汇报
全市开展党建引领“无疫社区(村)”创建工作以来,党工委坚决贯彻落实疫情防控要求,出实招、使硬招、用巧招,多措并举全力阻断疫情传播,持续巩固好来之不易的防疫成果。一...
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3篇团委宣传部个人工作计划报告合集 转眼前第一个学期的工作已经结束,面对第二个学期的到来,我深深地
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古诗词“吟唱法”进校园的可行性研究
林泽芳摘要:在小学语文课堂教学中,古诗词教学是一个非常重要的板块,也是影响学生语文学习能力强弱的关键
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优秀大学生入党自传(六) 入党自传大学生
本人xxx,是xx大学06级工商2班的学生,男,汉族,于1988年11月1日出生于xx省xx市的一个普通家庭。我父亲是一名工人,母亲也是一名工人,在这样一个温馨的家庭中成长着。虽然我...
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现浇楼板植筋【民用多层住宅现浇混凝土楼板裂缝成因及防治(汤铮飞,杨军利)】
摘要:近年来在民用建筑中普遍应用现浇钢筋混凝土楼板,但从应用中也发现现浇板普遍存在深浅不一的裂缝,就
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市人民政府关于省级重点工程产业类项目“回头看”工作情况的报告
下面是小编为大家整理的市人民政府关于省级重点工程产业类项目“回头看”工作情况
【其他范文】 日期:2022-10-10
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普通部党支部2019党建规范提升年工作方案为深入贯彻落实上级党组织工作会议及部署要求,扎实推进普通部
【节日庆典】 日期:2019-07-16
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2022市文联党组班子年年末专题民主生活会对照检查材料(五个带头)(范文推荐)
市文联党组班子2021年年末专题民主生活会对照检查材料(五个带头)根据市纪委机关、市委组织部、市委党史学习教育领导小组办公室下发的《关于开好党史学习教育专题民主生活会...
【其他范文】 日期:2022-10-24
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全国“两会”精神专题研讨会发言稿8篇全国“两会”精神专题研讨会发言稿篇1人大代表们要从倾诉者的口中提取出需攻克难题,从难题成形的万般因素中寻觅根源所在。下面
【发言稿】 日期:2022-08-23
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十二岁生日小寿星发言稿9篇十二岁生日小寿星发言稿篇1各位来宾、各位朋友:大家好!今天,我们欢聚在这里,共同庆祝**十二周岁生日。首先,我代表**的父
【发言稿】 日期:2022-10-14
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军转座谈会交流发言4篇军转座谈会交流发言篇1大家好,我叫贺丽,2015届选调生,来自康定市委组织部,现在省委编办跟班学习。今天,非常荣幸向大家汇报我的学习收
【发言稿】 日期:2022-10-27
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12岁生日小寿星发言4篇12岁生日小寿星发言篇1各位来宾、各位朋友:大家好!今天,我们欢聚在这里,共同庆祝**十二周岁生日。首先,我代表**的父母以
【发言稿】 日期:2022-07-31
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最新部队党代会讨论发言材料4篇最新部队党代会讨论发言材料篇1坚决拥护党的领导,听党的话,跟党走,
【发言稿】 日期:2022-12-19
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【发言稿】 日期:2022-10-12
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2022年度按纲建连形势分析支部成员发言(2022年)
支部一词应该来自于天干地支,干部一词亦同。如“己丑”,天干部分为己,只代表天干己自己,不包括其它,而地支部分丑则包括“癸辛己”三个天干。所以干部是指起骨干作用的某...
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被约谈的表态发言8篇被约谈的表态发言篇1各位领导、各位党员大家好:这天我能站在鲜红的党旗下,
【发言稿】 日期:2022-12-24
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【发言稿】 日期:2022-08-07
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2023年中国行政区划调整方案(设想优秀3篇
中国行政区划调整方案(设想优秀民政部第二次行政区划研讨会会议内容一、缩省的意义与原则1.意义1)利于减少中间层次中国行政区划层级之多为世界之最,既使管理成本
【周公解梦】 日期:2024-02-20
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学习周永开先进事迹心得体会3篇
学习周永开先进事迹心得体会【一】通过学习周永开老先生先进事迹后,结合自己工作思考,感慨万千。同样作为
【格言】 日期:2021-04-10
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XX老干局推进党建与业务深度融合发展工作情况调研报告:党建调研报告
XX老干局推进党建与业务深度融合 发展工作情况的调研报告 党建工作与业务工作融合发展始终是一个充满生
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中国共产党第三代中央领导集体的卓越贡献 --------------继往开来铸就辉煌 【摘要】改
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信息技术2.0能力点 [全国中小学教师信息技术应用能力提升工程试题题库及参考答案「精编」]
全国中小学教师信息技术应用能力提升工程试题题库及答案(复习资料)一、判断题题库(A为正确,B为错误)
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党的基层组织是党在社会基层组织中的战斗堡垒,是党的全部工作和战斗力的基础。加强和改进县级以下各类党的
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最新国家开放大学电大《现代教育原理》形考任务2试题及答案形考任务二一、多项选择题(共17道试题,共3
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集合推理_七,推理与集合
七推理与集合1 期中考试数学成绩出来了,三个好朋友分别考了88分,92分,95分。他们分别考了多少分
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党建基本工作有哪些(一) 基层党建工作包括哪些内容 选择了大学生村官这条路,你就与农村基层党
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【2020-2021学年高一英语外研版(2019)选择性必修第一册Unit3Faster,higher,strongerSectionⅠ导学讲义】
Unit3 Faster,higher,stronger背景导学MichaelJordan—Head
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关于三农工作重要论述心得体会3篇关于三农工作重要论述心得体会篇1习近平总书记指出:“建设现代化国家离不开农业农村现代化,要继续巩固脱贫攻坚成果,扎实推进乡村
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腐败案件学习心得体会12篇腐败案件学习心得体会篇1近期,通过学习姜国文等其他纪检监察干部违纪违法案件通报,我的心灵上感觉接受了一次洗礼,思想也受到了很大的震
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社区矫正人员学法心得体会汇报8篇社区矫正人员学法心得体会汇报篇1为扎实开展社区矫正工作,加强社区服刑人员监督管理,帮助其增强社会责任,8月17日,锡林浩特市
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【福生庄隧道坍塌处理方案】 福生庄隧道在哪里
(呼和浩特铁路局大包电气化改造工程指挥部,内蒙古呼和浩特010050)摘要:文章介绍了福生庄隧道
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矫正心得体会6篇矫正心得体会篇1今天,是自己出监后第一次参加阳光中途之家组织的社区矫正方面的教育
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五个一百工程阅读心得体会13篇五个一百工程阅读心得体会篇1凡益之道,与时偕行。在全国网络安全和信
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扶眉战役纪念馆心得体会11篇扶眉战役纪念馆心得体会篇1有那么一段历史,低诉着血和泪的故事,慢慢地,随岁月老去;有那么一群人,放弃了闲逸的人生,辗转奔波中
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双拥手抄报内容 [双拥标语300则]
双拥标语300则 1、开展双拥共建,构建和木垒。 2、坚持党对军队的绝对领导,走中国特色的精兵之
【培训心得体会】 日期:2021-10-27
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城管系统警示教育心得体会9篇城管系统警示教育心得体会篇1各党支部要召开多种形式的庆七一座谈会,组织广大党员进行座谈,回顾党的光辉历程,畅谈党的丰功伟绩,
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2024年主题教育民主生活会批评与自我批评意见(38条)(范文推荐)
2023年主题教育民主生活会六个方面个人检视、相互批评意见:1 理论学习系统性不强。学习习近平新时代中国特色社会主义思想不深不透,泛泛而学的时候多,深学细照的时候少,特...
【邓小平理论】 日期:2024-03-19
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2024年交流发言:强化思想理论武装,增强奋进力量(完整)
习近平总书记指出:“一个民族要走在时代前列,就一刻不能没有理论思维,一刻不能没有思想指引。”党的十八大以来,伴随着新时代中国特色社会主义思想在实践中形成发展的历程...
【三个代表】 日期:2024-03-19
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2024年度镇年度县乡人大代表述职评议活动总结
xx镇20xx年县乡人大代表述职评议活动总结为响应县级人大常委会关于开展县乡两级人大代表述职评议活动,进一步激发代表履职活力,加强代表与人民群众的联系,提高依法履职水平...
【马克思主义】 日期:2024-03-19
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“千万工程”经验学习体会(研讨材料)
“千万工程”是总书记在浙江工作时亲自谋划、亲自部署、亲自推动的一项重大决策,也是习近平新时代中国特色社会主义思想在之江大地的生动实践。20年来,“千万工程”先后经历...
【三个代表】 日期:2024-03-19
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2024年在市政协机关工作总结会议上讲话
同志们:刚才,XX同志对市政协机关20XX年工作进行了很好的总结,很精炼,很到位,可以感受到去年机关工作确实可圈可点。XX同志宣读了表彰决定,机关优秀人员代表、先进集体代...
【邓小平理论】 日期:2024-03-18
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在全区防汛防涝动员暨河长制工作推进会上讲话提纲【完整版】
区长,各位领导,同志们:汛期已经来临,我区城区防涝工作面临强大考验,形势不容乐观。年初,区城区防涝排渍指挥部已经召开专题调度会,修订完善应急预案,建立网格化管理机...
【马克思主义】 日期:2024-03-18
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2024年镇作风整治工作实施方案(完整文档)
XX镇作风整治工作实施方案为深入贯彻落实党的二十大精神及省市区委深化作风建设的最新要求,突出重点推进干部效能提升,坚持不懈推动作风整治工作纵深发展,根据《关于印发《2...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案【优秀范文】
xx市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案为持续优化法治化营商环境,激发市场主体活力和社会创造力,规范行政执法行为,创新行政执法方式,提升行政执法质效,着力解...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
【三个代表】 日期:2024-03-18
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2024年公路养护中心主任典型事迹材料(完整文档)
“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
【马克思主义】 日期:2024-03-17