2020年河南省中考数学试题(含答案解析):2020河南数学答案
2020年河南省中考数学试卷 (共23题,满分120分) 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的. 1.2的相反数是( ) A.﹣2 B. C. D.2 2.如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是( ) A. B. C. D. 3.要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( ) A.中央电视台《开学第一课》的收视率 B.某城市居民6月份人均网上购物的次数 C.即将发射的气象卫星的零部件质量 D.某品牌新能源汽车的最大续航里程 4.如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2的度数为( ) A.100° B.110° C.120° D.130° 5.电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( ) A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B 6.若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1 7.定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 8.国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( ) A.500(1+2x)=7500 B.5000×2(1+x)=7500 C.5000(1+x)2=7500 D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500 9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为( ) A.(,2) B.(2,2) C.(,2) D.(4,2) 10.如图,在△ABC中,AB=BC,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( ) A.6 B.9 C.6 D.3 二、填空题(每小题3分,共15分) 11.请写出一个大于1且小于2的无理数 . 12.已知关于x的不等式组其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解集为 . 13.如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 . 14.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 . 15.如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 . 三、解答题(本大题共8个小题,满分75分) 16.(8分)先化简,再求值:(1),其中a1. 17.(9分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋500g,与之相差大于10g为不合格.为检验分装效果,工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋,测得实际质量(单位:g)如下:
甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据,得到每袋质量x(g)的频数分布表. 质量 频数 机器 485≤x<490 490≤x<495 495≤x<500 500≤x<505 505≤x<510 510≤x<515 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据,得到以下统计量. 统计量机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 b 乙 499.7 a 31.81 10% 根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的a= ,b= ;
(2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由. 18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处,测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,1.41);
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议. 19.(9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;
方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;
按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示. (1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;
(2)求打折前的每次健身费用和k2的值;
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由. 20.(9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;
DB与AC垂直于点B,DB足够长. 使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B, . 求证: . 21.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点G的坐标;
(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 22.(10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图,点D是上一动点,线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度. 小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
(1)根据点D在上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值. BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现:
①“当点D为的中点时,BD=5.0cm”.则上表中a的值是 ;
②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由. (2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象;
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数). 23.(11分)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′,记旋转角为α,连接BB′,过点D作DE垂直于直线BB′,垂足为点E,连接DB′,CE. (1)如图1,当α=60°时,△DEB′的形状为 ,连接BD,可求出的值为 ;
(2)当0°<α<360°且α≠90°时, ①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;
如果不成立,请说明理由;
②当以点B′,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值. 2020年河南省中考数学试卷答案解析 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的. 1.2的相反数是( ) A.﹣2 B. C. D.2 【解答】解:2的相反数是﹣2. 故选:A. 2.如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、主视图和左视图是长方形,一定相同,故本选项不合题意题意;
B、主视图和左视图都是等腰三角形,一定相同,故选项不符合题意;
C、主视图和左视图都是圆,一定相同,故选项不符合题意;
D、主视图是长方形,左视图是正方形,故本选项符合题意;
故选:D. 3.要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( ) A.中央电视台《开学第一课》的收视率 B.某城市居民6月份人均网上购物的次数 C.即将发射的气象卫星的零部件质量 D.某品牌新能源汽车的最大续航里程 【解答】解:A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率,适合抽查,故本选项不合题意;
B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数,适合抽查,故本选项不合题意;
C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量,适合采用全面调查(普查),故本选项符合题意;
D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程,适合抽查,故本选项不合题意. 故选:C. 4.如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2的度数为( ) A.100° B.110° C.120° D.130° 【解答】解:∵l1∥l2,∠1=70°, ∴∠3=∠1=70°, ∵l3∥l4, ∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°, 故选:B. 5.电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( ) A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B 【解答】解:由题意得:210×210×210B=210+10+10=230B, 故选:A. 6.若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1 【解答】解:∵点A(﹣1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y的图象上, ∴y16,y23,y32, 又∵﹣3<﹣2<6, ∴y1>y3>y2. 故选:C. 7.定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 【解答】解:由题意可知:1☆x=x2﹣x﹣1=0, ∴△=1﹣4×1×(﹣1)=5>0, 故选:A. 8.国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( ) A.500(1+2x)=7500 B.5000×2(1+x)=7500 C.5000(1+x)2=7500 D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500 【解答】解:设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x, 由题意得:5000(1+x)2=7500, 故选:C. 9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为( ) A.(,2) B.(2,2) C.(,2) D.(4,2) 【解答】解:如图,设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形, ∵顶点A,B的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0), ∴AC=6,OC=2,OB=7, ∴BC=9, ∵四边形OCDE是正方形, ∴DE=OC=OE=2, ∴O′E′=O′C′=2, ∵E′O′⊥BC, ∴∠BO′E′=∠BCA=90°, ∴E′O′∥AC, ∴△BO′E′∽△BCA, ∴, ∴, ∴BO′=3, ∴OC′=7﹣2﹣3=2, ∴当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2), 故选:B. 10.如图,在△ABC中,AB=BC,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( ) A.6 B.9 C.6 D.3 【解答】解:连接BD交AC于O, ∵AD=CD,AB=BC, ∴BD垂直平分AC, ∴BD⊥AC,AO=CO, ∵AB=BC, ∴∠ACB=∠BAC=30°, ∵AC=AD=CD, ∴△ACD是等边三角形, ∴∠DAC=∠DCA=60°, ∴∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=∠CDB=30°, ∵AB=BC, ∴AD=CDAB=3, ∴四边形ABCD的面积=23, 故选:D. 二、填空题(每小题3分,共15分) 11.请写出一个大于1且小于2的无理数 . 【解答】解:大于1且小于2的无理数是,答案不唯一. 故答案为:. 12.已知关于x的不等式组其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解集为 x>a . 【解答】解:∵b<0<a, ∴关于x的不等式组的解集为:x>a, 故答案为:x>a. 13.如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 . 【解答】解:自由转动转盘两次,指针所指区域所有可能出现的情况如下:
共有16种可能出现的结果,其中两次颜色相同的有4种, ∴P(两次颜色相同), 故答案为:. 14.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 1 . 【解答】解:设DF,CE交于O, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD=AB, ∵点E,F分别是边AB,BC的中点, ∴BE=CF, ∴△CBE≌△DCF(SAS), ∴CE=DF,∠BCE=∠CDF, ∵∠CDF+∠CFD=90°, ∴∠BCE+∠CFD=90°, ∴∠COF=90°, ∴DF⊥CE, ∴CE=DF, ∵点G,H分别是EC,FD的中点, ∴CG=FH, ∵∠DCF=90°,CO⊥DF, ∴CF2=OF•DF, ∴OF, ∴OH,OD, ∵OC2=OF•OD, ∴OC, ∴OG=CG﹣OC, ∴HG1, 故答案为:1. 15.如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 . 【解答】解:如图,作点D关于OB的对称点D′,连接D′C交OB于点E′,连接E′D、OD′, 此时E′C+E′C最小,即:E′C+E′C=CD′, 由题意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°, ∴∠COD′=90°, ∴CD′2, 的长l, ∴阴影部分周长的最小值为2. 故答案为:. 三、解答题(本大题共8个小题,满分75分) 16.(8分)先化简,再求值:(1),其中a1. 【解答】解:
=a﹣1, 把a1代入a﹣11﹣1. 17.(9分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分装的标准质量为每袋500g,与之相差大于10g为不合格.为检验分装效果,工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋,测得实际质量(单位:g)如下:
甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据,得到每袋质量x(g)的频数分布表. 质量 频数 机器 485≤x<490 490≤x<495 495≤x<500 500≤x<505 505≤x<510 510≤x<515 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据,得到以下统计量. 统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 b 乙 499.7 a 31.81 10% 根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的a= 501 ,b= 15% ;
(2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由. 【解答】解:(1)将乙的成绩从小到大排列后,处在中间位置的两个数都是501,因此中位数是501, b=3➗20=15%, 故答案为:501,15%;
(2)选择乙机器,理由:乙的不合格率较小, 18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处,测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,1.41);
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议. 【解答】解:(1)过A作AD⊥PM于D,延长BC交AD于E, 则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形, ∴BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m, ∵∠AED=90°,∠ACE=45°, ∴△ACE是等腰直角三角形, ∴CE=AE, 设AE=CE=x, ∴BE=16+x, ∵∠ABE=22°, ∴tan22°0.40, ∴x≈10.7(m), ∴AD=10.7+1.6=12.3(m), 答:观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m;
(2)∵“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m, ∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3=0.3m, 减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法. 19.(9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;
方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;
按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示. (1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;
(2)求打折前的每次健身费用和k2的值;
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由. 【解答】解:(1)∵y1=k1x+b过点(0,30),(10,180), ∴,解得, k1=15表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元, b=30表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡的费用为30元;
(2)由题意可得,打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元), 则k2=25×0.8=20;
(3)选择方案一所需费用更少.理由如下:
由题意可知,y1=15x+30,y2=20x. 当健身8次时, 选择方案一所需费用:y1=15×8+30=150(元), 选择方案二所需费用:y2=20×8=160(元), ∵150<160, ∴选择方案一所需费用更少. 20.(9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;
DB与AC垂直于点B,DB足够长. 使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B, AB=OB,EN切半圆O于F . 求证: EB,EO就把∠MEN三等分 . 【解答】解:已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,AB=OB,EN切半圆O于F. 求证:EB,EO就把∠MEN三等分, 证明:∵EB⊥AC, ∴∠ABE=∠OBE=90°, ∵AB=OB,BE=BE, ∴△ABE≌△OBE(SAS), ∴∠1=∠2, ∵BE⊥OB, ∴BE是⊙E的切线, ∵EN切半圆O于F, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠2=∠3, ∴EB,EO就把∠MEN三等分. 故答案为:AB=OB,EN切半圆O于F;
EB,EO就把∠MEN三等分. 21.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点G的坐标;
(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B, ∴点B(0,c), ∵OA=OB=c, ∴点A(c,0), ∴0=﹣c2+2c+c, ∴c=3或0(舍去), ∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3, ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴顶点G为(1,4);
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴对称轴为直线x=1, ∵点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度, ∴点M的横坐标为﹣2或4,点N的横坐标为6, ∴点M坐标为(﹣2,﹣5)或(4,﹣5),点N坐标(6,﹣21), ∵点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点, ∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5. 22.(10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图,点D是上一动点,线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度. 小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
(1)根据点D在上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值. BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现:
①“当点D为的中点时,BD=5.0cm”.则上表中a的值是 5 ;
②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由. (2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象;
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数). 【解答】解:(1)∵点D为的中点, ∴, ∴BD=CD=a=5cm, 故答案为:5;
(2)∵点A是线段BC的中点, ∴AB=AC, ∵CF∥BD, ∴∠F=∠BDA, 又∵∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF(AAS), ∴BD=CF, ∴线段CF的长度无需测量即可得到;
(3)由题意可得:
(4)由题意画出函数yCF的图象;
由图象可得:BD=3.8cm或5cm或6.2cm时,△DCF为等腰三角形. 23.(11分)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′,记旋转角为α,连接BB′,过点D作DE垂直于直线BB′,垂足为点E,连接DB′,CE. (1)如图1,当α=60°时,△DEB′的形状为 等腰直角三角形 ,连接BD,可求出的值为 ;
(2)当0°<α<360°且α≠90°时, ①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;
如果不成立,请说明理由;
②当以点B′,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值. 【解答】解:(1)∵AB绕点A逆时针旋转至AB′, ∴AB=AB',∠BAB'=60°, ∴△ABB'是等边三角形, ∴∠BB'A=60°, ∴∠DAB'=∠BAD﹣∠BAB'=90°﹣60°=30°, ∵AB'=AB=AD, ∴∠AB'D=∠ADB', ∴∠AB'D75°, ∴∠DB'E=180°﹣60°﹣75°=45°, ∵DE⊥B'E, ∴∠B'DE=90°﹣45°=45°, ∴△DEB'是等腰直角三角形. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BDC=45°, ∴, 同理, ∴, ∵∠BDB'+∠B'DC=45°,∠EDC+∠B'DC=45°, ∴BDB'=∠EDC, ∴△BDB'∽△CDE, ∴. 故答案为:等腰直角三角形,. (2)①两结论仍然成立. 证明:连接BD, ∵AB=AB',∠BAB'=α, ∴∠AB'B=90°, ∵∠B'AD=α﹣90°,AD=AB', ∴∠AB'D=135°, ∴∠EB'D=∠AB'D﹣∠AB'B=135°45°, ∵DE⊥BB', ∴∠EDB'=∠EB'D=45°, ∴△DEB'是等腰直角三角形, ∴, ∵四边形ABCD是正方形, ∴,∠BDC=45°, ∴, ∵∠EDB'=∠BDC, ∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB, 即∠B'DB=∠EDC, ∴△B'DB∽△EDC, ∴. ②3或1. 若CD为平行四边形的对角线, 点B'在以A为圆心,AB为半径的圆上,取CD的中点.连接BO交⊙A于点B', 过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E, 由(1)可知△B'ED是等腰直角三角形, ∴B'DB'E, 由(2)①可知△BDB'∽△CDE,且BB'CE. ∴1111=3. 若CD为平行四边形的一边,如图3, 点E与点A重合, ∴1. 综合以上可得3或1.
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