万唯中考数学2020电子版_2020年中考数学模拟试卷(含详细参考答案解析)
2020年中考数学模拟试卷 一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.若a=﹣0.32,b=(﹣3)﹣2,c=(﹣)﹣2,d=(﹣)0,则( ) A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.a<d<c<b D.c<a<d<b 2.下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,已知AB∥DE,∠ABC=75°,∠CDE=145°,则∠BCD的值为( ) A.20° B.30° C.40° D.70° 4.下列运算正确的是( ) A.x2+x2=x4 B. a2•a3=a5 C.(3x)2 =6x2 D.(mn)5÷(mn)=mn4 5.不解方程,判别方程2x2﹣3x=3的根的情况( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个实数根 D.无实数根 6.在反比例函数y=的图象的每一支位上,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( ) A.m>7 B.m<7 C.m=7 D.m≠7 7.⊙O的半径是13,弦AB∥CD,AB=24,CD=10,则AB与CD的距离是( ) A.7 B.17 C.7或17 D.34 8.如图所示,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边的中点,菱形ABCD的周长为36,则OH的长等于( ) A.4.5 B.5 C.6 D.9 9.如图,已知直线y1=k1x+m和直线y2=k2x+n交于点P(﹣1,2),则关于x的不等式(k1﹣k2)x>﹣m+n的解是( ) A.x>2 B.x>﹣1 C.﹣1<x<2 D.x<﹣1 10.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示.根据图象所提供的信息有:①甲队挖掘30m时,用了3h;
②挖掘6h时甲队比乙队多挖了10m;
③乙队的挖掘速度总是小于甲队;
④开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时,x=4.其中一定正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题(共8小题,满分32分,每小题4分) 11.若使代数式有意义,则x的取值范围是 . 12.把多项式3a3b﹣27ab3分解因式的结果是 . 13.已知菱形的周长为20cm,一条对角线长为6cm,则这个菱形的面积是 cm2. 14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E是⊙O上一点,且=,连接OE.过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为 . 15.两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月.总工程全部完成,设乙队单独施1个月能完成总工程的,根据题意,得方程 . 16.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为 . 17.如果点(m,﹣2m)在双曲线上,那么双曲线在 象限. 18.一组按规律排列的式子:,﹣,,﹣,…(a≠0),其中第10个式子是 . 三.解答题(共5小题,满分38分) 19.计算:4sin60°﹣|﹣1|+(﹣1)0+ 20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣1,﹣1)、B(﹣3,3)、C(﹣4,1) (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点B的对应点B1的坐标;
(2)画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2,并写出点C的对应点C2的坐标. 21.为了测量白塔的高度AB,在D处用高为1.5米的测角仪 CD,测得塔顶A的仰角为42°,再向白塔方向前进12米,又测得白塔的顶端A的仰角为61°,求白塔的高度AB.(参考数据sin42°≈0.67,tan42°≈0.90,sin61°≈0.87,tan61°≈1.80,结果保留整数) 22.为弘扬中华优秀传统文化,某校开展“经典诵读”比赛活动,诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示这三个材料),将A,B,C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗匀后放在桌面上,比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片,记下内容后放回,洗匀后,再由小智从中随机抽取一张卡片,他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛. (1)小礼诵读《论语》的概率是 ;
(直接写出答案) (2)请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率. 23.某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计,并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图.根据图中信息解答下列问题:
(1)该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋,A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个,请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数? 四.解答题(共5小题,满分50分) 24.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数的图象相交于A,B两点,且与坐标轴的交点为(﹣6,0),(0,6),点B的横坐标为﹣4. (1)试确定反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)直接写出不等式的解. 25.如图,O为菱形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. (1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求⊙O的半径. 26.某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销. (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元? 27.如图,在等边△ABC中,BC=8cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s). (1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:△ADE≌△CDF;
(2)填空:
①当t为 s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形;
②当t为 s时,四边形ACFE是菱形. 28.已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b. (1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围. 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.【分析】根据乘方的运算法则、负整数指数幂、零指数幂分别计算,再比较大小可得. 【解答】解:∵a=﹣0.32=﹣0.09, b=(﹣3)﹣2=, c=(﹣)﹣2=9, d=(﹣)0=1, ∴a<b<d<c, 故选:B. 【点评】本题主要考查有理数的大小比较,解题的关键是掌握乘方的运算法则、负整数指数幂、零指数幂. 2.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:第一个图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形,故错误;
第二个图形,是轴对称图形,不是中心对称图形,故错误;
第三个图形,是轴对称图形,不是中心对称图形,故错误;
第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形,故正确. 故选:B. 【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念:
轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合. 3.【分析】延长ED交BC于F,根据平行线的性质求出∠MFC=∠B=75°,求出∠FDC=35°,根据三角形外角性质得出∠C=∠MFC﹣∠MDC,代入求出即可. 【解答】解:延长ED交BC于F,如图所示:
∵AB∥DE,∠ABC=75°, ∴∠MFC=∠B=75°, ∵∠CDE=145°, ∴∠FDC=180°﹣145°=35°, ∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=75°﹣35°=40°, 故选:C. 【点评】本题考查了三角形外角性质,平行线的性质的应用,解此题的关键是求出∠MFC的度数,注意:两直线平行,同位角相等. 4.【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方计算判断即可. 【解答】解:A、x2+x2=2x2,错误;
B、a2•a3=a5 ,正确;
C、(3x)2 =9x2,错误;
D、(mn)5÷(mn)=(mn)4,错误;
故选:B. 【点评】此题考查同底数幂的乘法、除法,关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方法则解答. 5.【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3x﹣3=0,再计算△=(﹣3)2﹣4×2×(﹣3)=18+24>0,然后根据△的意义判断方程根的情况. 【解答】解:方程整理得2x2﹣3x﹣3=0, ∵△=(﹣3)2﹣4×2×(﹣3)=18+24>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:B. 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根. 6.【分析】根据反比例函数图象的性质得到:m﹣7>0,由此求得m的取值范围. 【解答】解:∵在反比例函数y=的图象的每一支位上,y随x的增大而减小, ∴m﹣7>0, 解得m>7. 故选:A. 【点评】本题主要考查反比例函数的性质,当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y随x的增大而减小. 7.【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB、CD的弦心距OE、OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论. 【解答】解:如图,AE=AB=×24=12, CF=CD=×10=5, OE===5, OF===12, ①当两弦在圆心同侧时,距离=OF﹣OE=12﹣5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17. 所以距离为7或17. 故选:C. 【点评】先构造半径、弦心距、半弦长为边长的直角三角形,再利用勾股定理求弦心距,本题要注意分两种情况讨论. 8.【分析】可先求得AB的长,再根据三角形中位线定理可求得OH的长. 【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,且周长为36, ∴AB=BC=CD=AD=9, 又∵O为BD中点,H为AD的中点, ∴OH为△ABD的中位线, ∴OH=AB=4.5, 故选:A. 【点评】本题主要考查菱形的性质,掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直平分是解题的关键. 9.【分析】根据图形,找出直线l1在直线l2上方部分的x的取值范围即可. 【解答】解:由图形可知,当x>﹣1时,k1x+m>k2x+n,即(k1﹣k2)x>﹣m+n, 所以,关于x的不等式(k1﹣k2)x>﹣m+n的解集是x>﹣1. 故选:B. 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式,根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大,利用数形结合求解是解题的关键. 10.【分析】根据函数图象可以判断题目中的各个小题是否正确,从而可以解答本题. 【解答】解:由图象可得, 甲队挖掘30m时,用的时间为:30÷(60÷6)=3h,故①正确, 挖掘6h时甲队比乙队多挖了:60﹣50=10m,故②正确, 前两个小时乙队挖得快,在2小时到6小时之间,甲队挖的快,故③错误, 设0≤x≤6时,甲对应的函数解析式为y=kx, 则60=6k,得k=10, 即0≤x≤6时,甲对应的函数解析式为y=10x, 当2≤x≤6时,乙对应的函数解析式为y=ax+b, ,得, 即2≤x≤6时,乙对应的函数解析式为y=5x+20, 则,得, 即开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时,x=4,故④正确, 由上可得,一定正确的是①②④, 故选:C. 【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数的思想和数形结合的思想解答. 二.填空题(共8小题,满分32分,每小题4分) 11.【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零,进而得出答案. 【解答】解:∵分式有意义, ∴x的取值范围是:x+2≠0, 解得:x≠﹣2. 故答案是:x≠﹣2. 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件,正确把握分式的定义是解题关键. 12.【分析】先提出公因式3ab,再利用平方差公式进行因式分解. 【解答】解:原式=3ab(a2﹣9b2)=3ab(a+3b)(a﹣3b). 故答案是:3ab(a+3b)(a﹣3b). 【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式,解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法. 13.【分析】根据菱形的性质,先求另一条对角线的长度,再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解. 【解答】解:如图,在菱形ABCD中,BD=6. ∵菱形的周长为20,BD=6, ∴AB=5,BO=3, ∴AO==4,AC=8. ∴面积S=×6×8=24. 故答案为 24. 【点评】此题考查了菱形的性质及面积求法,难度不大. 14.【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数,再利用四边形内角和定理得出答案. 【解答】解:∵∠ACB=90°,∠A=56°, ∴∠ABC=34°, ∵=, ∴2∠ABC=∠COE=68°, 又∵∠OCF=∠OEF=90°, ∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°. 故答案为:112°. 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理,正确得出∠OCE的度数是解题关键. 15.【分析】设乙队单独施1个月能完成总工程的,根据甲队完成的任务量+乙队完成的任务量=总工程量(单位一),即可得出关于x的分式方程,此题得解. 【解答】解:设乙队单独施1个月能完成总工程的, 根据题意得:
+×+=1. 故答案为:
+×+=1. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 16.【分析】直接观察图象,抛物线与x轴交于1,对称轴是x=﹣1,所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标,从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解. 【解答】解:观察图象可知,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为(1,0),对称轴为x=﹣1, ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(﹣3,0), ∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1,x2=﹣3. 故本题答案为:x1=1,x2=﹣3. 【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法.一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值. 17.【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征:图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k可得k=﹣2m2<0,根据反比例函数的性质可得答案. 【解答】解:∵点(m,﹣2m)在双曲线(k≠0)上, ∴m•(﹣2m)=k, 解得:k=﹣2m2, ∵﹣2m2<0, ∴双曲线在第二、四象限. 故答案为:第二、四. 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征,以及反比例函数的性质,关键是掌握图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k. 18.【分析】式子的符号:第奇数个是正号.偶数个是负号,分子等于序号的平方,分母中a的指数是:序号的3倍减去1,据此即可求解. 【解答】解:∵=(﹣1)1+1•, ﹣=(﹣1)2+1•, =(﹣1)3+1•, … 第10个式子是(﹣1)10+1•=. 故答案是:. 【点评】本题主要考查了式子的特征,正确理解式子的规律是解题的关键. 三.解答题(共5小题,满分38分) 19.【分析】将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式,再进一步计算可得. 【解答】解:原式=4×﹣1+1+4 =2+4 =6. 【点评】本题主要考查实数的运算,解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质、零指数幂、二次根式性质. 20.【分析】(1)分别作出点A,B,C关于y轴的对称点,再首尾顺次连接即可得;
(2)分别作出点B,C绕点A按顺时针旋转90°后所得对应点,再首尾顺次连接可得. 【解答】解:(1)如图(1)所示,△A1B1C1即为所求,其中B1的坐标为(3,3). (2)如图(2)所示,△AB2C2即为所求,C2的坐标为(1,2). 【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和轴对称变换,解题的关键是熟练掌握轴对称变换与旋转变换的定义和性质,并据此得出变换后的对应点. 21.【分析】设AE=x,在Rt△ACE中表示出CE,在Rt△AFE中表示出FE,再由DH=CF=12米,可得出关于x的方程,解出即可得出答案. 【解答】 解:设AE=x, 在Rt△ACE中,CE==1.1x, 在Rt△AFE中,FE==0.55x, 由题意得,CF=CE﹣FE=1.1x﹣0.55x=12, 解得:x=, 故AB=AE+BE=+1.5≈23米. 答:这个电视塔的高度AB为23米. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形,难度一般. 22.【分析】(1)直接利用概率公式计算;
(2)画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出小红和小亮诵读两个不同材料的结果数,然后根据概率公式计算. 【解答】解:(1)小红诵读《论语》的概率=;
故答案为. (2)画树状图为:
共有9种等可能的结果数,其中小红和小亮诵读两个不同材料的结果数为6, 所以小红和小亮诵读两个不同材料的概率==. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率. 23.【分析】(1)用C品牌的数量除以所占的百分比,计算机求出鸡蛋的总量,再用A品牌的百分比乘以360°计算即可求出圆心角的度数;
(2)求出B品牌鸡蛋的数量,然后条形补全统计图即可;
(3)用B品牌所占的百分比乘以1500,计算即可得解. 【解答】解:(1)共销售绿色鸡蛋:1200÷50%=2400个, A品牌所占的圆心角:×360°=60°;
故答案为:2400,60;
(2)B品牌鸡蛋的数量为:2400﹣400﹣1200=800个, 补全统计图如图;
(3)分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为:×1500=500个. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 四.解答题(共5小题,满分50分) 24.【分析】(1)根据待定系数法就可以求出函数的解析式;
(2)求△AOB的面积就是求A,B两点的坐标,将一次函数与反比例函数的解析式组成方程即可求得;
(3)观察图象即可求得一次函数比反比例函数大的区间. 【解答】解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b, ∵一次函数与坐标轴的交点为(﹣6,0),(0,6), ∴ ∴, ∴一次函数关系式为:y=x+6, ∴B(﹣4,2), ∴反比例函数关系式为:;
(2)∵点A与点B是反比例函数与一次函数的交点, ∴可得:x+6=﹣, 解得:x=﹣2或x=﹣4, ∴A(﹣2,4), ∴S△AOB=6×6÷2﹣6×2=6;
(3)观察图象,易知的解集为:﹣4<x<﹣2. 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式.此题综合性较强,注意数形结合思想的应用. 25.【分析】(1)连接OM,过点O作ON⊥CD于N.只要证明OM=ON即可解决问题;
(2)设半径为r.则OC=2﹣r,OM=r,利用勾股定理构建方程即可解决问题;
【解答】解:(1)连接OM,过点O作ON⊥CD于N. ∵⊙O与BC相切于点M, ∴OM⊥BC,OM是⊙O的半径, ∵AC是菱形ABCD的对角线, ∴AC平分∠BCD, ∵ON⊥CD,OM⊥BC, ∴ON=OM=r, ∴CD与⊙O相切;
(2)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, ∵∠ABC=60°, ∴△ACB是等边三角形, ∴AC=AB=2, 设半径为r.则OC=2﹣r,OM=r, ∵∠ACB=60°,∠OMC=90°, ∴∠COM=30°,MC=, 在Rt△OMC中,∠OMC=90° ∵OM2+CM2=OC2 ∴r2+()2=(2﹣r)2, 解得r=﹣6+4或﹣6﹣4(舍弃), ∴⊙O的半径为﹣6+4. 【点评】本题考查切线的判定,菱形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型. 26.【分析】(1)设每次降价的百分率为x,(1﹣x)2为两次降价的百分率,40降至32.4就是方程的平衡条件,列出方程求解即可;
(2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可. 【解答】解:(1)设每次降价的百分率为x. 40×(1﹣x)2=32.4 x=10%或190%(190%不符合题意,舍去) 答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率啊10%;
(2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由题意,得 (40﹣30﹣y)(4×+48)=510, 解得:y1=1.5,y2=2.5, ∵有利于减少库存, ∴y=2.5. 答:要使商场每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价2.5元. 【点评】此题主要考查了一元二次方程应用,关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系,列出方程,解答即可. 27.【分析】(1)由题意得到AD=CD,再由AG与BC平行,利用两直线平行内错角相等得到两对角相等,利用AAS即可得证;
(2)①分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析,由当AE=CF时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形,可得方程,解方程即可求得答案;
②若四边形ACFE是菱形,则有CF=AC=AE=6,由E的速度求出E运动的时间即可. 【解答】(1)证明:∵AG∥BC, ∴∠EAD=∠DCF,∠AED=∠DFC, ∵D为AC的中点, ∴AD=CD, ∵在△ADE和△CDF中,, ∴△ADE≌△CDF(AAS);
(2)解:①当点F在C的左侧时,根据题意得:AE=tcm,BF=2tcm, 则CF=BC﹣BF=6﹣2t(cm), ∵AG∥BC, ∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形, 即t=8﹣2t, 解得:t=;
当点F在C的右侧时,根据题意得:AE=tcm,BF=2tcm, 则CF=BF﹣BC=2t﹣8(cm), ∵AG∥BC, ∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形, 即t=2t﹣8, 解得:t=8;
综上可得:当t=或8s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形. ②若四边形ACFE是菱形,则有CF=AC=AE=8, 则此时的时间t=8÷1=8(s);
故答案是:或8;
8. 【点评】此题考查了平行四边形的判定,菱形的判定,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题. 28.【分析】(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;
(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得△DMN的面积即可;
(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0), ∴a+a+b=0,即b=﹣2a, ∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a(x+)2﹣, ∴抛物线顶点D的坐标为(﹣,﹣);
(2)∵直线y=2x+m经过点M(1,0), ∴0=2×1+m,解得m=﹣2, ∴y=2x﹣2, 则, 得ax2+(a﹣2)x﹣2a+2=0, ∴(x﹣1)(ax+2a﹣2)=0, 解得x=1或x=﹣2, ∴N点坐标为(﹣2,﹣6), ∵a<b,即a<﹣2a, ∴a<0, 如图1,设抛物线对称轴交直线于点E, ∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣, ∴E(﹣,﹣3), ∵M(1,0),N(﹣2,﹣6), 设△DMN的面积为S, ∴S=S△DEN+S△DEM=|(﹣2)﹣1|•|﹣﹣(﹣3)|=, (3)当a=﹣1时, 抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣x+2=﹣(x+)2+, 有, ﹣x2﹣x+2=﹣2x, 解得:x1=2,x2=﹣1, ∴G(﹣1,2), ∵点G、H关于原点对称, ∴H(1,﹣2), 设直线GH平移后的解析式为:y=﹣2x+t, ﹣x2﹣x+2=﹣2x+t, x2﹣x﹣2+t=0, △=1﹣4(t﹣2)=0, t=, 当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0), 把(1,0)代入y=﹣2x+t, t=2, ∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是2≤t<. 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识.在(1)中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键,在(2)中联立两函数解析式,得到关于x的一元二次方程是解题的关键,在(3)中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键,本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.
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