【指数函数知识点总结】 高中指数函数知识点
指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*. 负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)· ;
(2) ;
(3) . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域y>0 值域y>0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或 (2)若,则;
取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域:
解 (1)定义域为x∈R且x≠2.值域y>0且y≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为y≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3, 练习:(1);
(2);
(3);
【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解 选(c),在x轴上任取一点(x,0), 则得b<a<1<d<c. 练习:指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小:
(3)4.54.1________3.73.6 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 练习:
(1)1.72.5 与 1.73 ( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 (4)和 【例5】作出下列函数的图像:
(3) y=2|x-1| (4)y=|1-3x| 解 (2)y=2x-2的图像(如图2.6-5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的. 解 (3)利用翻折变换,先作y=2|x|的图像,再把y=2|x|的图像向右平移1个单位,就得y=2|x-1|的图像(如图2.6-6). 解 (4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7) (1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的值域;
(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数. 解 (1)定义域是R.</PGN0095A.TXT/PGN> ∴函数f(x)为奇函数. 即f(x)的值域为(-1,1). (3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1<x2.f(x1)-f(x2) 单元测试题 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1、化简,结果是( ) A、 B、 C、 D、 2、等于( ) A、 B、 C、 D、 3、若,且,则的值等于( ) A、 B、 C、 D、2 4、函数在R上是减函数,则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 5、下列函数式中,满足的是( ) A、 B、 C、 D、 6、下列是( ) A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 7、已知,下列不等式(1);
(2);
(3);
(4);
(5)中恒成立的有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、函数是( ) A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 9、函数的值域是( ) A、 B、 C、 D、 10、已知,则函数的图像必定不经过( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 11、是偶函数,且不恒等于零,则( ) A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低,则年后这批设备的价值为( ) A、 B、 C、 D、 二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上) 13、若,则 。
14、函数的值域是 。
15、函数的单调递减区间是 。
16、若,则 。
三、解答题:(本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、设,解关于的不等式。
18、已知,求的最小值与最大值。
19、设,,试确定的值,使为奇函数。
20、已知函数,求其单调区间及值域。
21、若函数的值域为,试确定的取值范围。
22、已知函数 (1)判断函数的奇偶性;
(2)求该函数的值域;
(3)证明是上的增函数。
指数与指数函数同步练习参考答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、 14、,令,∵ ,又∵为减函数,∴。
15、,令, ∵为增函数,∴的单调递减区间为。
16、 0, 三、17、∵,∴ 在上为减函数,∵ , ∴ 18、, ∵, ∴. 则当,即时,有最小值;
当,即时,有最大值57。
19、要使为奇函数,∵ ,∴需, ∴,由,得,。
20、令,,则是关于的减函数,而是上的减函数,上的增函数,∴在上是增函数,而在上是减函数,又∵, ∴的值域为。
21、,依题意有 即,∴ 由函数的单调性可得。
22、(1)∵定义域为,且是奇函数;
(2)即的值域为;
(3)设,且, (∵分母大于零,且) ∴是上的增函数。
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