【2020年河北省中考数学试题(含答案解析)】 河北中考数学试题
2020年河北省中考数学试卷 (共26题,满分120分) 一、选择题(本大题有16个小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 2.墨迹覆盖了等式“x3x=x2(x≠0)”中的运算符号,则覆盖的是( ) A.+ B.﹣ C.× D.÷ 3.对于①x﹣3xy=x(1﹣3y),②(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3,从左到右的变形,表述正确的是( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 4.如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成,比较两个几何体的三视图,正确的是( ) A.仅主视图不同 B.仅俯视图不同 C.仅左视图不同 D.主视图、左视图和俯视图都相同 5.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图,第四次又买的苹果单价是a元/千克,发现这四个单价的中位数恰好也是众数,则a=( ) A.9 B.8 C.7 D.6 6.如图1,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线. 如图2,步骤如下, 第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E;
第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点P;
第三步:画射线BP.射线BP即为所求. 下列正确的是( ) A.a,b均无限制 B.a>0,bDE的长 C.a有最小限制,b无限制 D.a≥0,bDE的长 7.若a≠b,则下列分式化简正确的是( ) A. B. C. D. 8.在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( ) A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 9.若8×10×12,则k=( ) A.12 B.10 C.8 D.6 10.如图,将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉淇发现,旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形,并推理如下:
小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四边形…”之间作补充,下列正确的是 ( ) A.嘉淇推理严谨,不必补充 B.应补充:且AB=CD C.应补充:且AB∥CD D.应补充:且OA=OC 11.(2分)若k为正整数,则( ) A.k2k B.k2k+1 C.2kk D.k2+k 12.(2分)如图,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6km到达l;
从P出发向北走6km也到达l.下列说法错误的是( ) A.从点P向北偏西45°走3km到达l B.公路l的走向是南偏西45° C.公路l的走向是北偏东45° D.从点P向北走3km后,再向西走3km到达l 13.(2分)已知光速为300000千米/秒,光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米,则n可能为( ) A.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7 14.(2分)有一题目:“已知:点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC.如图,由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是( ) A.淇淇说的对,且∠A的另一个值是115° B.淇淇说的不对,∠A就得65° C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50° D.两人都不对,∠A应有3个不同值 15.(2分)如图,现要在抛物线y=x(4﹣x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下, 甲:若b=5,则点P的个数为0;
乙:若b=4,则点P的个数为1;
丙:若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 16.(2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 二、填空题(本大题有3个小题,共12分.17~18小题各3分;
19小题有3个空,每空2分) 17.已知:ab,则ab= . 18.正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则n= . 19.(6分)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数).函数y(x<0)的图象为曲线L. (1)若L过点T1,则k= ;
(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m= ;
(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有 个. 三、解答题(本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.(8分)已知两个有理数:﹣9和5. (1)计算:;
(2)若再添一个负整数m,且﹣9,5与m这三个数的平均数仍小于m,求m的值. 21.(8分)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和﹣16,如图. 如,第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由. 22.(9分)如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP. (1)①求证:△AOE≌△POC;
②写出∠l,∠2和∠C三者间的数量关系,并说明理由. (2)若OC=2OA=2,当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留π). 23.(9分)用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3. (1)求W与x的函数关系式. (2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚﹣W薄. ①求Q与x的函数关系式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍?[注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围] 24.(10分)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l'. x ﹣1 0 y ﹣2 1 (1)求直线l的解析式;
(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长;
(3)设直线y=a与直线l,l′及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值. 25.(10分)如图,甲、乙两人(看成点)分别在数轴﹣3和5的位置上,沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则:裁判先捂住一枚硬币,再让两人猜向上一面是正是反,而后根据所猜结果进行移动. ①若都对或都错,则甲向东移动1个单位,同时乙向西移动1个单位;
②若甲对乙错,则甲向东移动4个单位,同时乙向东移动2个单位;
③若甲错乙对,则甲向西移动2个单位,同时乙向西移动4个单位. (1)经过第一次移动游戏,求甲的位置停留在正半轴上的概率P;
(2)从如图的位置开始,若完成了10次移动游戏,发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对n次,且他最终停留的位置对应的数为m,试用含n的代数式表示m,并求该位置距离原点O最近时n的值;
(3)从如图的位置开始,若进行了k次移动游戏后,甲与乙的位置相距2个单位,直接写出k的值. 26.(12分)如图1和图2,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tanC.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动,到达点N时停止;
而点Q在AC边上随P移动,且始终保持∠APQ=∠B. (1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;
(2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;
(3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3≤x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);
(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK,请直接写出点K被扫描到的总时长. 2020年河北省中考数学试卷答案解析 一、选择题(本大题有16个小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 【解答】解:在平面内,与已知直线垂直的直线有无数条, 所以作已知直线的垂线,可作无数条. 故选:D. 2.墨迹覆盖了等式“x3x=x2(x≠0)”中的运算符号,则覆盖的是( ) A.+ B.﹣ C.× D.÷ 【解答】解:∵x3x=x2(x≠0), ∴覆盖的是:÷. 故选:D. 3.对于①x﹣3xy=x(1﹣3y),②(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3,从左到右的变形,表述正确的是( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 【解答】解:①x﹣3xy=x(1﹣3y),从左到右的变形是因式分解;
②(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3,从左到右的变形是整式的乘法,不是因式分解;
所以①是因式分解,②是乘法运算. 故选:C. 4.如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成,比较两个几何体的三视图,正确的是( ) A.仅主视图不同 B.仅俯视图不同 C.仅左视图不同 D.主视图、左视图和俯视图都相同 【解答】解:从正面看,两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形,故主视图相同;
从左面看,两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形,故左视图相同;
从上面看,两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形,故俯视图相同. 故选:D. 5.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图,第四次又买的苹果单价是a元/千克,发现这四个单价的中位数恰好也是众数,则a=( ) A.9 B.8 C.7 D.6 【解答】解:由统计图可知,前三次的中位数是8, ∵第四次又买的苹果单价是a元/千克,这四个单价的中位数恰好也是众数, ∴a=8, 故选:B. 6.如图1,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线. 如图2,步骤如下, 第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E;
第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点P;
第三步:画射线BP.射线BP即为所求. 下列正确的是( ) A.a,b均无限制 B.a>0,bDE的长 C.a有最小限制,b无限制 D.a≥0,bDE的长 【解答】解:以B为圆心画弧时,半径a必须大于0,分别以D,E为圆心,以b为半径画弧时,b必须大于DE,否则没有交点, 故选:B. 7.若a≠b,则下列分式化简正确的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵a≠b, ∴,故选项A错误;
,故选项B错误;
,故选项C错误;
,故选项D正确;
故选:D. 8.在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( ) A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 【解答】解:∵以点O为位似中心, ∴点C对应点M, 设网格中每个小方格的边长为1, 则OC,OM2,OD,OB,OA,OR,OQ=2,OP2,OH3,ON2, ∵2, ∴点D对应点Q,点B对应点P,点A对应点N, ∴以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ, 故选:A. 9.若8×10×12,则k=( ) A.12 B.10 C.8 D.6 【解答】解:方程两边都乘以k,得 (92﹣1)(112﹣1)=8×10×12k, ∴(9+1)(9﹣1)(11+1)(11﹣1)=8×10×12k, ∴80×120=8×10×12k, ∴k=10. 经检验k=10是原方程的解. 故选:B. 10.如图,将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉淇发现,旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形,并推理如下:
小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四边形…”之间作补充,下列正确的是 ( ) A.嘉淇推理严谨,不必补充 B.应补充:且AB=CD C.应补充:且AB∥CD D.应补充:且OA=OC 【解答】解:∵CB=AD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形, 故选:B. 11.(2分)若k为正整数,则( ) A.k2k B.k2k+1 C.2kk D.k2+k 【解答】解:((k•k)k=(k2)k=k2k, 故选:A. 12.(2分)如图,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6km到达l;
从P出发向北走6km也到达l.下列说法错误的是( ) A.从点P向北偏西45°走3km到达l B.公路l的走向是南偏西45° C.公路l的走向是北偏东45° D.从点P向北走3km后,再向西走3km到达l 【解答】解:如图, 由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形, 则AB=6km, 则PC=3km, 则从点P向北偏西45°走3km到达l,选项A错误;
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°,选项B,C正确;
则从点P向北走3km后,再向西走3km到达l,选项D正确. 故选:A. 13.(2分)已知光速为300000千米/秒,光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米,则n可能为( ) A.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7 【解答】解:当t=1时,光传播的距离为1×300000=300000=3×105(千米),则n=5;
当t=10时,光传播的距离为10×300000=3000000=3×106(千米),则n=6. 因为1≤t≤10,所以n可能为5或6, 故选:C. 14.(2分)有一题目:“已知:点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC.如图,由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是( ) A.淇淇说的对,且∠A的另一个值是115° B.淇淇说的不对,∠A就得65° C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50° D.两人都不对,∠A应有3个不同值 【解答】解:如图所示:∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补. 故∠A′=180°﹣65°=115°. 故选:A. 15.(2分)如图,现要在抛物线y=x(4﹣x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下, 甲:若b=5,则点P的个数为0;
乙:若b=4,则点P的个数为1;
丙:若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 【解答】解:y=x(4﹣x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(2,4), ∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4, ∴甲、乙的说法正确;
若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个, ∴丙的说法不正确;
故选:C. 16.(2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 【解答】解:当选取的三块纸片的面积分别是1,4,5时,围成的直角三角形的面积是, 当选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,围成的直角三角形的面积是;
当选取的三块纸片的面积分别是3,4,5时,围成的三角形不是直角三角形;
当选取的三块纸片的面积分别是2,2,4时,围成的直角三角形的面积是, ∵, ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是2,3,5, 故选:B. 二、填空题(本大题有3个小题,共12分.17~18小题各3分;
19小题有3个空,每空2分) 17.已知:ab,则ab= 6 . 【解答】解:原式=3ab, 故a=3,b=2, 则ab=6. 故答案为:6. 18.正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则n= 12 . 【解答】解:正六边形的一个内角为:, ∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍, ∴正n边形一个外角为:120°÷4=30°, ∴n=360°÷30°=12. 故答案为:12. 19.(6分)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数).函数y(x<0)的图象为曲线L. (1)若L过点T1,则k= ﹣16 ;
(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m= 5 ;
(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有 7 个. 【解答】解:(1)∵每个台阶的高和宽分别是1和2, ∴T1(﹣16,1),T2(﹣14,2),T3(﹣12,3),T4(﹣10,4),T5(﹣8,5),T6(﹣6,6),T7(﹣4,7),T8(﹣2,8), ∵L过点T1, ∴k=﹣16×1=﹣16, 故答案为:﹣16;
(2)∵L过点T4, ∴k=﹣10×4=﹣40, ∴反比例函数解析式为:y, 当x=﹣8时,y=5, ∴T5在反比例函数图象上, ∴m=5, 故答案为:5;
(3)若曲线L过点T1(﹣16,1),T8(﹣2,8)时,k=﹣16, 若曲线L过点T2(﹣14,2),T7(﹣4,7)时,k=﹣14×2=﹣28, 若曲线L过点T3(﹣12,3),T5(﹣8,5)时,k=﹣12×3=﹣36, 若曲线L过点T4(﹣10,4),T5(﹣8,5)时,k=﹣40, ∵曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点, ∴﹣36<k<﹣28, ∴整数k=﹣35,﹣34,﹣33,﹣32,﹣31,﹣30,﹣29共7个, ∴答案为:7. 三、解答题(本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.(8分)已知两个有理数:﹣9和5. (1)计算:;
(2)若再添一个负整数m,且﹣9,5与m这三个数的平均数仍小于m,求m的值. 【解答】解:(1)2;
(2)根据题意得, m, ∴﹣4+m<3m, ∴m﹣3m<4, ∴﹣2m<4, ∴m>﹣2, ∵m是负整数, ∴m=﹣1. 21.(8分)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和﹣16,如图. 如,第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由. 【解答】解:(1)A区显示的结果为:25+2a2,B区显示的结果为:﹣16﹣6a;
(2)这个和不能为负数, 理由:根据题意得,25+4a2+(﹣16﹣12a)=25+4a2﹣16﹣12a=4a2﹣12a+9;
∵(2a﹣3)2≥0, ∴这个和不能为负数. 22.(9分)如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP. (1)①求证:△AOE≌△POC;
②写出∠l,∠2和∠C三者间的数量关系,并说明理由. (2)若OC=2OA=2,当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留π). 【解答】解:(1)①在△AOE和△POC中, , ∴△AOE≌△POC(SAS);
②∵△AOE≌△POC, ∴∠E=∠C, ∵∠1+∠E=∠2, ∴∠1+∠C=∠2;
(2)当∠C最大时,CP与小半圆相切, 如图, ∵OC=2OA=2, ∴OC=2OP, ∵CP与小半圆相切, ∴∠OPC=90°, ∴∠OCP=30°, ∴∠DOE=∠OPC+∠OCP=120°, ∴. 23.(9分)用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3. (1)求W与x的函数关系式. (2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚﹣W薄. ①求Q与x的函数关系式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍?[注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围] 【解答】解:(1)设W=kx2(k≠0). ∵当x=3时,W=3, ∴3=9k,解得k, ∴W与x的函数关系式为Wx2;
(2)①设薄板的厚度为x厘米,则厚板的厚度为(6﹣x)厘米, ∴Q=W厚﹣W薄(6﹣x)2x2=﹣4x+12, 即Q与x的函数关系式为Q=﹣4x+12;
②∵Q是W薄的3倍, ∴﹣4x+12=3x2, 整理得,x2+4x﹣12=0, 解得,x1=2,x2=﹣6(不合题意舍去), 故x为2时,Q是W薄的3倍. 24.(10分)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l'. x ﹣1 0 y ﹣2 1 (1)求直线l的解析式;
(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长;
(3)设直线y=a与直线l,l′及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值. 【解答】解:(1)∵直线l:y=kx+b中,当x=﹣1时,y=﹣2;
当x=0时,y=1, ∴,解得, ∴直线l的解析式为y=3x+1;
∴直线l′的解析式为y=x+3;
(2)如图,解得, ∴两直线的交点为(1,4), ∵直线l′:y=x+3与y轴的交点为(0,3), ∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为:;
(3)把y=a代入y=3x+1得,a=3x+1,解得x;
把y=a代入y=x+3得,a=x+3,解得x=a﹣3;
当a﹣30时,a, 当(a﹣3+0)时,a=7, 当(0)=a﹣3时,a, ∴直线y=a与直线l,l′及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,则a的值为或7或. 25.(10分)如图,甲、乙两人(看成点)分别在数轴﹣3和5的位置上,沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则:裁判先捂住一枚硬币,再让两人猜向上一面是正是反,而后根据所猜结果进行移动. ①若都对或都错,则甲向东移动1个单位,同时乙向西移动1个单位;
②若甲对乙错,则甲向东移动4个单位,同时乙向东移动2个单位;
③若甲错乙对,则甲向西移动2个单位,同时乙向西移动4个单位. (1)经过第一次移动游戏,求甲的位置停留在正半轴上的概率P;
(2)从如图的位置开始,若完成了10次移动游戏,发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对n次,且他最终停留的位置对应的数为m,试用含n的代数式表示m,并求该位置距离原点O最近时n的值;
(3)从如图的位置开始,若进行了k次移动游戏后,甲与乙的位置相距2个单位,直接写出k的值. 【解答】解:(1)∵经过第一次移动游戏,甲的位置停留在正半轴上, ∴必须甲对乙错, 因为一共有四种情形,都对或都错,甲对乙错,甲错乙对, ∴P甲对乙错. (2)由题意m=5﹣4n+2(10﹣n)=25﹣6n. n=4时,离原点最近. (3)不妨设甲连续k次正确后两人相距2个单位, 则有|8+2k﹣4k|=2,解得k=3或5. 如果k次中,有1次两人都对都错,则有|6+2(k﹣1)﹣4(k﹣1)|=2,解得k=3或5, 如果k次中,有2次两人都对都错,则有|4+2(k﹣2)﹣4(k﹣2)|=2,解得k=3或5, …, 综上所述,满足条件的k的值为3或5. 26.(12分)如图1和图2,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tanC.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动,到达点N时停止;
而点Q在AC边上随P移动,且始终保持∠APQ=∠B. (1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;
(2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;
(3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3≤x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);
(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK,请直接写出点K被扫描到的总时长. 【解答】解:(1)如图1中,过点A作AH⊥BC于H. ∵AB=AC,AH⊥BC, ∴BH=CH=4,∠B=∠C, ∴tan∠B=tan∠C, ∴AH=3,AB=AC5. ∴当点P在BC上时,点P到A的最短距离为3. (2)如图1中,∵∠APQ=∠B, ∴PQ∥BC, ∴△APQ∽△ABC, ∵PQ将△ABC的面积分成上下4:5, ∴()2, ∴, ∴AP, ∴PM=AP=AM2. (3)当0≤x≤3时,如图1﹣1中,过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J. ∵PQ∥BC, ∴,∠AQP=∠C, ∴, ∴PQ(x+2), ∵sin∠AQP=sin∠C, ∴PJ=PQ•sin∠AQP(x+2). 当3≤x≤9时,如图2中,过点P作PJ⊥AC于J. 同法可得PJ=PC•sin∠C(11﹣x). (4)由题意点P的运动速度单位长度/秒. 当3<x≤9时,设CQ=y. ∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠B, ∴∠BAP=∠CPQ, ∵∠B=∠C, ∴△ABP∽△PCQ, ∴, ∴, ∴y(x﹣7)2, ∵0, ∴x=7时,y有最大值,最大值, ∵AK, ∴CK=5 当y时,(x﹣7)2, 解得x=7±, ∴点K被扫描到的总时长=(6﹣3)23秒. 方法二:①点P在AB上的时候,有11/4个单位长度都能扫描到点K;
②在BN阶段,当x在3~5.5(即7﹣1.5)的过程,是能扫到K点的,在5.5~8.5(即7+1.5)的过程是扫不到点K的,但在8.5~9(即点M到N全部的路程)能扫到点K.所以扫到的时间是[(9﹣8.5)+(5.5﹣3)]23(秒).
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