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    [量子力学导论第5章答案]

    时间：2021-11-11 19:10:16来源：百花范文网本文已影响人

    第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明 证.若力学量不显含，则有, 令 则, 5.2）设力学量不显含，证明束缚定态， 证：束缚定态为:：。

    在束缚定态，有。

    其复共轭为。

    。

    5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）, 是的本征态，相应的本征值为 证：
    ,证毕。

    5.4）设表示的本征态（本征值为），证明 是角动量沿空间方向的分量 的本征态。

    证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327） 5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则 。

    是的一个分量， 是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值，。

    证：
    （） 又 ， 。

    不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。

    5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1） 证：式（1）左端 （2） 计算中用到了公式 。

    由于是厄米算符，有下列算符关系：
    （3） 式（2）取共轭，得到 （4） 结合式（2）和（4），得 证毕。

    5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：
    。

    （1） 势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2） 证明schrödinger方程在参照系中表为 在参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。

    ， 是时刻在点找到粒子的几率密度；

    ，是时刻在点找到粒子的几率密度。

    但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6） 从（1）式有 （6’） 由此可以得出， 和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7） 由（1）式， , , （3）式变为：
    （8） 将（7’）代入（8）式，可得 （9） 选择适当的，使得（9）（4）， 。

    （10） （10’） 从（10）可得 。

    （11） 是的任意函数，将（11）代入（10’），可得 积分，得 。

    为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到 （12） 代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：
    （13） 逆变换为 （13’） 相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。

    讨论：的函数形式也可用下法求出：
    因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定. 沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 （14） 据此，系和系中相应的平面波波函数为 ， （15） （1）、（14）代入（15），即得 此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。

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