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    【数学分析十讲习题册、课后习题答案】

    时间：2021-03-04 10:03:21来源：百花范文网本文已影响人

    数学分析十讲习题册、课后习题答案 习 题 1-1 1．计算下列极限 （1）, 解：原式= == （2）；

    解：原式 （3） 解：原式 （4）， 解：原式 （5） 解：原式 = （6） ，为正整数；

    解：原式 2．设在处二阶可导，计算. 解：原式 3．设，，存在，计算. 解：
    习 题 1-2 1.求下列极限 （1）; 解：原式 ，其中在与之间 （2）; 解：原式===，其中在与之间 （3） 解：原式 ，其中在与之间 （4） 解：原式，其中其中在与之间 2．设在处可导，，计算. 解：原式 习 题 1-3 1．求下列极限 （1）, 解：原式 （2）; 解：
    （3）; 解：原式 （4）; 解：原式 2. 求下列极限 （1）; 解：原式 （2）; 解：原式 习 题 1-4 1．求下列极限 （1）；

    解：原式 （2）求；

    解：原式 （3）；

    解：原式 （4）；

    解：原式 此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为 ， 所以 从而 解得：
    3．设在处二阶可导，用泰勒公式求 解：原式 4. 设在处可导，且求和. 解 因为 所以 ,即 所以 习 题 1-5 1. 计算下列极限 (1) ; ; 解：原式 (2) 解：原式 2． 设，求 (1) ；

    解：原式 (2) ， 解：由于， 所以 3．设，求和. 解：因为，所以 且 从而有stolz定理， 且 所以， 4．设，其中，并且， 证明：. 证明：因，所以 ，所以 ，用数学归纳法易证，。

    又，从而单调递减， 由单调有界原理，存在，记 在两边令，可得 所以 习 题 1-6 1. 设在内可导，且 存在. 证明: 证明：
    2. 设在上可微， 和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则 从而 所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得 4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，， 所以 习 题 2-1 （此题已换） 1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数 证明：反证法. 假若且互质， 于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾 2. 求下列数集的上、下确界. （1） 解：
    （2） 解：
    （3） 解：
    （4）. 解：
    3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性， 在区间中必有有理数，则且 不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义， 有.若也是的上确界且 .不妨设，则对 有即 矛盾. 下确界的唯一性类似可证 习 题 2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取；

    若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取；

    若不是的下界，则取；
    ……， 按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：
    是的下界，不是的下界. 由区间套定理 ，且. 下证：
    都有，而， 即是的下界. 由于，从而当充分大以后， 有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界 2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界， 记使在其上无界的区间为；
    再二等分， 记使在其上无界的区间为，……，继续作下去， 得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知 在上无界 3.设,在上满足,,若 在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若， 则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若， 则记；
    若， 则记按此方式继续下去， 得一区间套，其中 根据区间套定理可知， 且有 . 因为在上连续，所以 注意到 可得 ， 再由 可知 ， . 习 题 2-3 1. 证明下列数列发散. (1), 证 因为， 所以发散. (2), 证明：因为 所以发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然 不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列， 由极限定义 对任意给定的，总存在正整数，当时，， 从而有；

    由于，对任意，存在正整数， 当时，，取， 则任意时， 所以，即 3. 设极限存在,证明：. 证明：记由海茵定理， 取，得 取，得 取，得，解得 （此题取消）4. 数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于 （此题改为4）5. 已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛 于不同的极限. 证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设. 又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项， 记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列， 设 ，显然 . 习 题 2-5 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性 (1) 解：
    所以，对，即为柯西列 (2) . 解：
    所以，对，即为柯西列 2. 满足下列条件的数列是不是柯西列? (1) 对任意自然数,都有 解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。

    (2), 解：
    所以，对，即为柯西列 (3). 证明：记，则单调递增有上界，从而必有极限，记 对 从而 故 是柯西列 习 题 3-1 1.设定义在上的函数在内连续,且和存在(有限). 问在上是否有界? 是否能取得最值? 解：在闭区间上构造辅助函数 则在上连续，从而在上有界. 由于，故 在上也有界，即存在，使得 . 令 ，则有 . 条件同上，但在上却不一定能取得极值. 例如：
    2.设在内连续,且.证明在内可取得最小值. 证明：因为，所以，当时，有 因为，所以，当时，有 从而当时，有 又在连续，从而一定可以取到最小值，即，使当时， 且；

    故时，有 所以在处取到最小值 习 题 3-2 （此题已换）1. 设,,,. 证明:方程在和内恰好各有一个实根. 1. 证明开普勒(Kepler)方程有唯一实根 证明：令，则在连续且 ，， 由零点原理，使，即方程至少有一实根 又，所以在单调递增，所以方程有唯一实根 （此题已换）2. 设函数在（）内连续且有极值点. 证明: 存在使得 2.设，讨论方程实根的个数 解：step1.令，则，由零点原理，在至少有一实根，又，所以在 单调递增，从而方程在内有且仅有一实根。

    step2.令，则，且，所以 当时，函数单调递减；
    当时，函数单调递增，所以函数在点取得极小值。所以，当时，方程在无解；
    当时，在有一解；
    当时，在有两解 综上：当时，方程有一解；
    当时，有两解；
    当时，有三解 3.设在上连续, ,.证明存在使. 证法1 因为在上连续，所以存在最大值和最小值，且使，从而有.由介值定理知，使. 证法2 因为有界，所以存在收敛子列.而在上连续，故有 习 题10-2 1. 设在上连续， 为自然数. 证明：
    （1）若，则存在使得 证明：令，则，且 ，， 从而 若，使，取即可 否则，使，由零点原理，或，使 综上，，使，即 （2）若则存在使得 解：取，方法同上 2.设在上连续，且 证明：存在使 证：由已知经计算得 1）若或，由积分中值定理，，使，从而 2）否则，， a）若，同1），由积分中值定理 ，使 b）与异号，由中值定理， 使，且 所以，有零点原理，使 3. 设,求证 (1) 对任意自然数, 方程在内有唯一实根; 证明：时，在上有唯一实根 时，有，且，由零点存在原理， ，使，即在上有一实根 又，故严格单调递减，所以方程在内有唯一实根 (2) 设是的根,则. 证：对，，从而，有因为严格单调递减，故，即严格单调递增。又有界，所以收敛。

    设，由于，所以，在 ，令，有，所以，即 4. 设在上连续，不恒为常数,且.证明存在，使 ． 证：令，因为在上连续，不恒为常数,且，所以，使，于是 ， ，由零点原理：
    证明存在，使，即． 习 题4-1 1．证明函数没有原函数. 证：设存在原函数，即，则且，由于，由达布定理，，使，矛盾，所以无原函数 2．设在上可导， 证明：
    （1）若 则存在使 证明：若，则取或均可；
    否则，又达布定理，存在介于与之间，使综上存在使 （2）若 则存在使 证明：若，则取或均可；
    否则 ，由达布定理，存在介于与之间，使；

    综上存在使 习 题4-2 1．求下列函数的导函数，并讨论导函数的连续性. （1）；

    解：，则在连续，且 时，，，从而 时，，，从而 所以 从而在连续。

    所以在连续 （2）；

    解：显然在连续，且 时，，，从而；

    时，，，从而 所以 从而在连续。

    所以在连续 2. 设. 当分别满足什么条件时， （1）在处连续；

    解：，即，所以 （2） 在处可导；

    解：存在，即存在，所以 （3）在处连续？ 解：，由，即 ，所以 3．分别用两种方法证明符号函数不存在原函数. 证明：法一 设存在原函数，即，则且，由于，由达布定理，，使，矛盾，所以无原函数 法二 由单侧导数极限定理，导函数不存在第一类间断点，而有第一类间断点，从而 无原函数 习 题5-1 . 1. 设函数在上可导. （1）若，.证明存在使；

    证明：令，则，且，，由广义洛尔定理，使，即，所以 (2) 若，证明存在使得；

    证明：令，则，且，，由广义洛尔定理，使，即 ，所以 习 题5-2 1． 设在上可导，且，其中为常数.证明：存在，使. 证明：由积分中值定理，，使 令，则，且，由洛尔定理，， 使，即，从而 2． 设在上可导，且证明：存在，使 证明：由积分中值定理，，使 令，则，且，由洛尔定理， ，使，即，从而 3． 设在上可导，且.证明：存在使 证明：由积分中值定理，，使 令，则，且，由洛尔定理， ，使，即，从而 习 题6-1 1.若在区间上是凸函数，证明对任意四点，有. 其逆是否成立？ 证明：因为在区间上是凸函数，由三弦不等式，且 ，所以成立。其逆成立 2. 设均为区间上的凸函数，证明：也是上凸函数.. 证明：设，则对，有 ，且 ，从而 ，由凸函数的定义，也是上凸函数 习 题6-2 1. 验证下列函数是（严格）凸函数. （1） 解：，（），所以是上的严格凸函数 （2） 解：，（），所以是上的严格凹函数 习 题6-3 1．证明不等式 （1） 证：设，则（），所以是上的严格凸函数；
    从而，有，即 （2） 证：设，则（），所以是上的严格凸函数；
    从而，有，可得 ，即， 又因为，所以 习 题 9-1 1. 求下列函数项级数的收敛域 (1) ；

    解：，从而当时，，级数绝对收敛；
    当时，，级数绝对收敛；
    当时，发散；
    当时，发散，所以，级数的收敛域为 (2) . 解：，所以 当时，，级数发散；
    当时，，级数发散；
    当时，，级数绝对收敛；
    当时， ，级数绝对收敛；
    当时，级数发散；
    当时，级数发散；
    当时，级数收敛；

    所以原级数的收敛域为 习 题 9-2 1. 证明函数项级数在上一致收敛. 证明：，从而 所以对任意的， 由，得对，取，当时， 对任意的成立，因此，在 上一致收敛到 2. 设在区间上一致收敛于,且对任意有.试问是否存在,使当时,对任意有? 解：答案不正确；
    例 在内一致收敛到，且 ，有；
    但，和 ，使 习 题 9-3 1. 利用定理9.3.1＇证明下列函数项级数不一致收敛. (1) ,, 证：，级数的部分和，从而 ，在不连续，故级数不一致收敛。

    (2) ,. 证：，级数的部分和， 从而，在不连续，故级数不一致收敛。

    2. 设试问在上是否一致收敛?是否有 解：对，，但对，， 都，使，所以在上不一致收敛 另外， ，所以 3. 设试问在上是否一致收敛?是否有? 其中 解：对，有，从而 但对，，都，使 所以在上不一致收敛 又，， 所以 4. 求的收敛域，并讨论和函数的连续性. 解：设，则，有根值判别法，当时，级数绝对收敛；
    当时，级数发散；
    当时，级数发散；
    所以级数的收敛域为。

    对，总，使，从而在 上连续，且在一致收敛，从而在 上连续，故在上连续，由得 在上连续 习 题 9-4 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性. （1） ， ；

    解：对， 又在处取得最大值，从而对，取，则对 ，有，所以在一致收敛 （2）；

    （i）， 解：对， 对，取，则对，有，所以在一致收敛 （ii）；

    解：对， 对，，，，使 ，所以在不一致收敛 2. 讨论下列函数项级数的一致收敛性. （1） ，；

    解：对任意的，，而收敛，由M判别法，原级数一致收敛。

    （2） ，. 解：对任意的，，而收敛，由M判别法，原级数一致收敛。

    3. 设，. 证明函数项级数在上一致收敛，并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性. 解：由对任意的成立，从而 而收敛，由M判别法知在上一致收敛 （1），在上一致收敛，所以和函数在连续（定理1） （2），在上一致收敛，所以和函数在可积（定理2） （3）由，收敛，由M判别法知在上一致收敛，从而和函数在可微。（定理3） 习 题10-1 1．一块金属板平底锅在平面上占据的区域是, 已知板上点处的温度为.锅底上点处的蚂蚁为了逃向温度更低的地方, 它的逃逸方向为( D ). ；

    ；

    ；

    . 解：，而梯度方向是温度降低最快的方向 2．一个高为的柱体储油罐，底面是长轴为，短轴为的椭圆，现将储油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量为kg，油的密度为常数）. 解：储油罐平放一般指长轴平行与地面，当油罐中油面高度为时，垂直地面的截面面积为（平方米） 所以 4． 在一个形状为旋转抛物面的容器内，已经盛有的水，现又倒入的水，问水面比原来升高多少. 解：旋转抛物面容器的体积是深度的函数， ，从而，所以题中水面升高的高度为 习 题10-3 1. 设，证明：
    （1）当时，；

    证明：取，则，， 所以为上的严格凸函数，从而对，由定理6.2.3，恒有，即 所以 （2）当或时， ． 证明：取，则，， 所以为上的严格凸函数，从而对，由定理6.2.3，恒有，即 2. 设 证明: 证明：令，利用单调性可证（略）

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