北师大高中数学必修五电子课本 高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象与集合的关系是,或者,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 (或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且,则 (4)若且,则 或 真子集 AB (或BA) ,且B中至少有一元素不属于A (1)(A为非空子集) (2)若且,则 集合 相等 A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA (7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 (1) (2) (3) ⑷ Α⊆B⟺A∩B=A 并集 或 (1) (2) (3) ⑷A⊆B⟺A∪B=B 补集 ∁uA ⑴ (∁uA)∩A=∅, ⑵ ∁uA∪A=U, ⑶ ∁u∁uA=A, ⑷ ∁uA∩B=∁uA∪∁uB, ⑸ ∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB) ⑼ 集合的运算律:
交换律:
结合律: 分配律: 0-1律:
等幂律:
求补律:A∩∁uA=∅ A∪CuA=U ∁uU=∅∁u∅=U 反演律:∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB) ∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB) 第二章函数 §1函数的概念及其表示 一、映射 1.映射:设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 元素,在集合B中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 . 2.象与原象:如果f:A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的 叫做象, 叫做原象。
二、函数 1.定义:设A、B是 ,f:A→B是从A到B的一个映射,则映射f:A→B叫做A到B的 ,记作 . 2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才能称为同一函数。
3.函数的表示法有 、 、 。
§2函数的定义域和值域 一、定义域:
1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 2.常见的三种题型确定定义域:
① 已知函数的解析式,就是 . ② 复合函数f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域:
1.函数y=f (x)中,与自变量x的值 的集合. 2.常见函数的值域求法,就是优先考虑 ,取决于 ,常用的方法有:①观察法;
②配方法;
③反函数法;
④不等式法;
⑤单调性法;
⑥数形法;
⑦判别式法;
⑧有界性法;
⑨换元法(又分为 法和 法) 例如:① 形如y=,可采用 法;
② y=,可采用 法或 法;
③ y=a[f (x)]2+bf (x)+c,可采用 法;
④ y=x-,可采用 法;
⑤ y=x-,可采用 法;
⑥ y=可采用 法等. §3函数的单调性 一、单调性 1.定义:如果函数y=f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、<x2时,①都有 ,则称f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个 ;
②都有 ,则称f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 . 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为 . 2.判断单调性的方法:
(1) 定义法,其步骤为:① ;
② ;
③ . (2) 导数法,若函数y=f (x)在定义域内的某个区间上可导,①若 ,则f (x)在这个区间上是增函数;
②若 ,则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1.若f (x), g(x)均为增(减)函数,则f (x)+g(x) 函数;
2.若f (x)为增(减)函数,则-f (x)为 ;
3.互为反函数的两个函数有 的单调性;
4.复合函数y=f [g(x)]是定义在M上的函数,若f (x)与g(x)的单调相同,则f [g(x)]为 ,若f (x), g(x)的单调性相反,则f [g(x)]为 . 5.奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 . §4函数的奇偶性 1.奇偶性:
① 定义:如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ,则称f (x)为奇函数;
若 ,则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质,则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质,则f (x) . ② 简单性质:
1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称;
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2.与函数周期有关的结论:
①已知条件中如果出现、或(、均为非零常数,),都可以得出的周期为 ;
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线 轴对称,均可以得到周期 第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质 1.正整数指数函数 函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)叫作________指数函数;
形如y=kax(k∈R,a>0,且a≠1)的函数称为________函数. 2.分数指数幂 (1)分数指数幂的定义:给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的次幂,记作b=;
(2)正分数指数幂写成根式形式:=(a>0);
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是:=__________________(a>0,m、n∈N+,且n>1);
(4)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aman=________(a>0);
(2)(am)n=________(a>0);
(3)(ab)n=________(a>0,b>0). §3 指数函数(一) 1.指数函数的概念 一般地,________________叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____. 2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0,+∞) 性 质 过定点 过点______,即x=____时,y=____ 函数值 的变化 当x>0时,______;
当x<0时,________ 当x>0时,________;
当x<0时,________ 单调性 是R上的________ 是R上的________ §4 对数(二) 1.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,则:
(1)loga(MN)=________________;
(2)loga=________;
(3)logaMn=__________(n∈R). 2.对数换底公式 logbN=(a,b>0,a,b≠1,N>0);
特别地:logab·logba=____(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1). §5 对数函数(一) 1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是________.________为常用对数函数;
y=________为自然对数函数. 2.对数函数的图像与性质 定义 y=logax (a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 ______ 值域 ______ 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 共点性 图像过点______,即loga1=0 函数值 特点 x∈(0,1)时, y∈______;
x∈[1,+∞)时, y∈______. x∈(0,1)时, y∈______;
x∈[1,+∞)时, y∈______. 对称性 函数y=logax与y=x的图像关于______对称 3.反函数 对数函数y=logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数. 第四章 函数应用 §1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在 2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标. 3.方程f(x)=0有实数根 ⇔函数y=f(x)的图像与x轴有________ ⇔函数y=f(x)有________. 4.函数零点的存在性的判定方法 如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)____0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. 1.2 利用二分法求方程的近似解 1.二分法的概念 每次取区间的中点,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来_________________________________________________________________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε) (1)确定区间[a,b],使____________. (2)求区间(a,b)的中点,x1=__________. (3)计算f(x1). ①若f(x1)=0,则________________;
②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));
③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). (4)继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.
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两会医护人员心得体会8篇两会医护人员心得体会篇120xx年春节,新型冠状病毒肺炎,以迅雷不及掩耳之势,席卷而来。国事家事天下事,因与自身生命安全息息相关,自
【学习心得体会】 日期:2022-10-27
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矫正心得体会6篇
矫正心得体会6篇矫正心得体会篇1今天,是自己出监后第一次参加阳光中途之家组织的社区矫正方面的教育
【学习心得体会】 日期:2022-12-24
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2024年主题教育民主生活会批评与自我批评意见(38条)(范文推荐)
2023年主题教育民主生活会六个方面个人检视、相互批评意见:1 理论学习系统性不强。学习习近平新时代中国特色社会主义思想不深不透,泛泛而学的时候多,深学细照的时候少,特...
【邓小平理论】 日期:2024-03-19
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2024年交流发言:强化思想理论武装,增强奋进力量(完整)
习近平总书记指出:“一个民族要走在时代前列,就一刻不能没有理论思维,一刻不能没有思想指引。”党的十八大以来,伴随着新时代中国特色社会主义思想在实践中形成发展的历程...
【三个代表】 日期:2024-03-19
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2024年度镇年度县乡人大代表述职评议活动总结
xx镇20xx年县乡人大代表述职评议活动总结为响应县级人大常委会关于开展县乡两级人大代表述职评议活动,进一步激发代表履职活力,加强代表与人民群众的联系,提高依法履职水平...
【马克思主义】 日期:2024-03-19
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“千万工程”经验学习体会(研讨材料)
“千万工程”是总书记在浙江工作时亲自谋划、亲自部署、亲自推动的一项重大决策,也是习近平新时代中国特色社会主义思想在之江大地的生动实践。20年来,“千万工程”先后经历...
【三个代表】 日期:2024-03-19
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2024年在市政协机关工作总结会议上讲话
同志们:刚才,XX同志对市政协机关20XX年工作进行了很好的总结,很精炼,很到位,可以感受到去年机关工作确实可圈可点。XX同志宣读了表彰决定,机关优秀人员代表、先进集体代...
【邓小平理论】 日期:2024-03-18
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在全区防汛防涝动员暨河长制工作推进会上讲话提纲【完整版】
区长,各位领导,同志们:汛期已经来临,我区城区防涝工作面临强大考验,形势不容乐观。年初,区城区防涝排渍指挥部已经召开专题调度会,修订完善应急预案,建立网格化管理机...
【马克思主义】 日期:2024-03-18
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2024年镇作风整治工作实施方案(完整文档)
XX镇作风整治工作实施方案为深入贯彻落实党的二十大精神及省市区委深化作风建设的最新要求,突出重点推进干部效能提升,坚持不懈推动作风整治工作纵深发展,根据《关于印发《2...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案【优秀范文】
xx市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案为持续优化法治化营商环境,激发市场主体活力和社会创造力,规范行政执法行为,创新行政执法方式,提升行政执法质效,着力解...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
【三个代表】 日期:2024-03-18
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2024年公路养护中心主任典型事迹材料(完整文档)
“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
【马克思主义】 日期:2024-03-17