高考二轮复习数学理配套讲义14,函数的图象与性质_

微专题14　函数的图象与性质 命 题 者 说 考 题 统 计 考 情 点 击 2018·全国卷Ⅱ·T3·函数的图象 2018·全国卷Ⅱ·T11·函数的奇偶性、周期性、对称性 2018·全国卷Ⅲ·T7·函数的图象 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，难度一般。主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断。

2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大。

考向一 函数的概念及其表示 【例1】　(1)(2018·重庆调研)函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　) A．(2,3) B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) (2)(2018·石家庄模拟)已在f (x)＝(0<a<1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝(　　) A．－2　　　B．2 C．3　　　　D．－3 解析　(1)由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)。故选D。

(2)由题意得，f (－2)＝a－2＋b＝5　①，f (－1)＝a－1＋b＝3　②，联立①②，结合0<a<1，得a＝，b＝1，所以f (x)＝则f (－3)＝－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log39＝2。故选B。

答案　(1)D　(2)B (1)函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可。

(2)分段函数问题常见类型及解题策略 ①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算。②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小。③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提。④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程。

变|式|训|练 1．函数f (x)＝的定义域是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1,2)∪(2，＋∞) D．(－1,2)∪(2，＋∞) 解析　要使f (x)＝有意义，需使即所以函数f (x)的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)。故选D。

答案　D 2．若函数f (x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________。

解析　当x≤2时，y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，符合条件；
所以只需使y＝2＋logax(x>2)的值域是[4，＋∞)的子集，即其最小值ymin≥4，故当a>1时，ymin＝2＋loga2≥4，即loga2≥2，解得1<a≤。当0<a<1时，无最小值，故无解。综上所述，实数a的取值范围是(1，]。

答案　(1，] 考向二 函数的图象及应用 微考向1：函数图象的识别(基础型) 【例2】　(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)＝的图象大致为(　　) 解析　因为x≠0，f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，排除A；
因为f (1)＝e－e－1>0，所以排除D；
x→＋∞时，y→＋∞，所以排除C。故选B。

答案　B 辨识函数图象的两种方法 (1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象。

(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；
从函数的值域，判断图象的上下位置。

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势。

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

④从函数的周期性，判断图象的循环往复。

⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项。灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象。

变|式|训|练 (2018·湘东五校联考)函数f (x)＝cosx的图象的大致形状是(　　) 解析　因为f (x)＝cosx，所以f (－x)＝cos(－x)＝－cosx＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A、C，又当x∈时，ex>e0＝1，－1<0，cosx>0，所以f (x)<0，可排除D。故选B。

答案　B 微考向2：函数图象的应用(应用型) 【例3】　已知函数f (x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________。

解析　 对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，即f (x)max≤g(x)min。观察f (x)＝的图象可知，当x＝时，函数f (x)max＝。因为g(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，所以g(x)min＝|k－1|。所以|k－1|≥，解得k≤或k≥。故实数k的取值范围是∪。

答案　∪ 对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现。

变|式|训|练 (2018·南宁摸底)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x＋2)＝f (2－x)，当x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(1,4) C．(1,8) D．(8，＋∞) 解析　因为∀x∈R，f (x＋2)＝f (2－x)，所以f (x＋4)＝f (2＋(x＋2))＝f (2－(x＋2))＝f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是一个周期函数，且T＝4。又因为当x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1＝()－x－1，所以当x∈[0,2]时，f (x)＝f (－x)＝()x－1，于是x∈[－2，2]时，f (x)＝()|x|－1，根据f (x)的周期性作出f (x)的图象如图所示。若在区间(－2,6)内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a>1且y＝f (x)与y＝loga(x＋2)(a>1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，因为f (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，所以对于函数y＝loga(x＋2)(a>1)，当x＝6时，loga8<1，解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)。故选D。

答案　D 考向三 函数的性质及应用 微考向1：函数单调性的应用(应用型) 【例4】　(1)函数f (x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f (x1)>x1f (x2)，记a＝f (2)，b＝f (1)，c＝－f (－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b (2)已知函数f (x)＝(a－2)ax(a>0且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是________。

解析　(1)因为对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有x2f (x1)>x1f (x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f (－3)＝f (3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c。故选B。

(2)当0<a<1时，a－2<0，y＝ax单调递减，所以f (x)单调递增；
当1<a<2时，a－2<0，y＝ax单调递增，所以f (x)单调递减；
当a＝2时，f (x)＝0；
当a>2时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f (x)单调递增。又由题意知f (x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)。

答案　(1)B　(2)(0,1)∪(2，＋∞) (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。

(2)对于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0或>0，则f (x)在闭区间[a，b]上是增函数。

(3)若函数f (x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x1)<f (x2)⇔x1<x2，利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式转化为一般不等式。

变|式|训|练 1．(2018·晋城一模)已知函数f (x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．[－1,1) D．(－3，－1] 解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)>0，可得－3<x<1，故函数的定义域为{x|－3<x<1}。根据f (0)＝loga3<0，可得0<a<1，则本题即求函数g(x)在(－3,1)内的减区间。利用二次函数的性质可求得函数g(x)在(－3,1)内的减区间为[－1,1)。故选C。

答案　C 2．(2018·郑州一模)若函数y＝在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝(　　) A．　　　　B．2 C．　　　　D． 解析　可令|x|＝t，则1≤t≤4，y＝－，易知y＝－在[1,4]上递增，所以其最小值为1－1＝0；
最大值为2－＝，则m＝0，M＝，则M－m＝。故选A。

答案　A 微考向2：函数奇偶性、周期性、对称性的应用(综合型) 【例5】　(1)已知f (x)为奇函数，函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，若g(1)＝4，则f (－3)＝(　　) A．2　　　B．－2 C．－1　　　D．4 (2)(2018·安徽“江南十校”联考)f (x)是R上的奇函数，对任意实数x都有f (x)＝－f ，当x∈时，f (x)＝log2(2x－1)，则f (2 018)＋f (2 019)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析　(1)因为函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，点(1,4)与点(3,2)关于直线y＝x＋1对称，又g(1)＝4，则f (3)＝2，因为f (x)为奇函数，所以f (－3)＝－2。故选B。

(2)因为f (x)是R上的奇函数，且f (x)＝－f ，所以f ＝－f (x)。所以f ＝－f ＝f (x)，即f (x＋3)＝f (x)。所以函数f (x)的最小正周期为3，所以f (2 018)＋f (2 019)＝f (672×3＋2)＋f (673×3＋0)＝f (2)＋f (0)＝f (－1＋3)＋f (0)＝f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝0。故选A。

答案　(1)B　(2)A 利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值。记住以下结论：
若对于函数f (x)定义域内的任意一个x都有：
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，则函数f (x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期。

(2)f (x＋a)＝(a≠0，f (x)≠0)，则函数f (x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期。

(3)f (x＋a)＝－(a≠0，f (x)≠0)，则函数f (x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期。

变|式|训|练 1．(2018·贵阳摸底)函数f (x)＝a＋(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点，则函数f (x)的值域为(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) 解析　函数f (x)的定义域为R，且函数f (x)为奇函数，所以f (0)＝a＋＝0　①，又因为函数f (x)的图象过点，所以a＋＝a＋＝　②，根据①②可得a＝1，b＝－2，所以f (x)＝1＋。ex＋1>1⇒－2<<0⇒－1<1＋<1，所以函数f (x)的值域为(－1，1)。故选A。

答案　A 2．函数y＝f (x)满足对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)成立，且函数y＝f (x－1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________。

解析　因为函数y＝f (x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以f (x)是R上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故f (x)的周期为4，所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2)＝f (2 016)－f (2 016)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4。

答案　4 考向四 指数函数、对数函数和幂函数的性质 【例6】　(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析　解法一：因为a＝log2e>1，b＝ln2∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e>1，所以c>a>b。故选D。

解法二：log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，由图知c>a>b。故选D。

答案　D 对数值的大小比较方法 (1)化为同底的对数后利用函数的单调性比较。

(2)利用作差或作商法比较。

(3)利用中间值(0或1)比较。

(4)化为同真数的对数后利用图象比较。

变|式|训|练 解析　 答案　B 2．已知a是大于0的常数，把函数y＝ax和y＝＋x的图象画在同一平面直角坐标系中，不可能出现的是(　　) 解析　因为a>0，所以y＝＋x是对勾函数，若0<a≤1，则当x>0时，y＝＋x的值大于等于2，函数y＝ax和y＝＋x的图象不可能有两个交点。故选D。

答案　D 1．(考向一)(2018·江苏高考)函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x)＝则f (f (15))的值为________。

解析　因为函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，所以函数f (x)的最小正周期是4。因为在区间(－2,2]上，f (x)＝所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ＝cos＝。

答案　 2．(考向二)(2018·重庆六校联考)函数f (x)＝的大致图象为(　　) 解析　易知函数f (x)＝为奇函数且定义域为{x|x≠0}，只有D满足。故选D。

答案　D 3．(考向二)函数f (x)＝与g(x)＝|x＋a|＋1的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，－e] C．[e，＋∞) D．∅ 解析　 设y＝h(x)与y＝f (x)的图象关于y轴对称，则h(x)＝f (－x)＝作出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图象如图所示，因为f (x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点，所以y＝h(x)与y＝g(x)的图象有交点，所以－a≤－e，即a≥e。故选C。

答案　C 4．(考向三)已知函数f (x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 解析　设t＝x－1，则f (x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2,2]，记g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函数，由已知y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4。故选A。

答案　A 5．(考向四)(2018·洛阳联考)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 解析　因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72，所以a>b>c。故选D。

答案　D 6．(拓展型)(2018·广州调研)对于定义域为R的函数f (x)，若满足①f (0)＝0；
②当x∈R，且x≠0时，都有xf ′(x)>0；
③当x1<0<x2，且|x1|＝|x2|时，都有f (x1)<f (x2)，则称f (x)为“偏对称函数”。现给出四个函数：f1(x)＝－x3＋x2；
f 2(x)＝ex－x－1；
f3(x)＝f4(x)＝则其中是“偏对称函数”的函数个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　f1(0)＝0，f2(0)＝e0－0－1＝0，f 3(0)＝ln1＝0，f4(0)＝0，即四个函数均满足条件①。f 1′(x)＝－3x2＋3x，xf 1′(x)＝x(－3x2＋3x)＝－3x2(x－1)，当x>1时，xf 1′(x)<0，不满足条件②，则函数f 1(x)不是“偏对称函数”；
f 2′(x)＝ex－1，xf 2′(x)＝x(ex－1)，当x≠0时，恒有xf 2′(x)>0，故满足条件②；
f 3′(x)＝故xf 3′(x)＝故xf 3′(x)>0在x≠0时恒成立，故满足条件②；
因为当x≠0时，f4(x)＝x＝x·＝· ，所以f4(－x)＝·＝·＝·＝f4(x)，所以当x≠0时，f4(x)是偶函数，所以当x1<0<x2，且|x1|＝|x2|时，有f4(x1)＝f4(x2)，不满足条件③，所以f 4(x)不是“偏对称函数”；
当x1<0<x2，且|x1|＝|x2|时，有f 2(x2)－f 2(x1)＝ex2－x2－1－ex1＋x1＋1＝ex2－e－x2－2x2，构造函数H(x)＝ex－e－x－2x，则有H′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时取等号，即H(x)是(0，＋∞)上的增函数，则x∈(0，＋∞)时，H(x)>H(0)＝0，故f 2(x2)－f 2(x1)>0恒成立，所以f 2(x)满足条件③；
当x1<0<x2，且|x1|＝|x2|时，有f 3(x2)－f 3(x1)＝2x2－ln(－x1＋1)＝2x2－ln(x2＋1)，构造函数T(x)＝2x－ln(1＋x)。则当x∈(0，＋∞)时，T′(x)＝2－＝>0，所以T(x)是(0，＋∞)上的增函数，则当x∈(0，＋∞)时，T(x)>T(0)＝0，故f 3(x2)－f 3(x1)>0恒成立，故f 3(x)满足条件③。综上可知“偏对称函数”有2个。故选C。

答案　C

相关热词搜索：