【信号与系统西安邮电习题答案】

第一次 1.1 画出下列各个信号的波形[式中为斜升函数] 知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。

解题方法：首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与或结合时的变化情况；

‚若只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用或的性质直接画出或部分的普通函数的波形；

ƒ若是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。

(1) 解：正弦信号周期 (2) 解：， 正弦信号周期 (3) 解：， 正弦信号周期 (4) (5) 1.2 画出下列各信号的波形[式中为斜升函数] 知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。

解题方法：首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与或结合时的变化情况；

‚若只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用或的性质直接画出或部分的普通函数的波形；

ƒ若是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。

(1) (2) (3) 解：
(4) (5) 1.3 写出下图所示各波形的表达式 (1) 解：
(2) 解：
1.4 写出下图所示各序列的闭合形式的表示式 (a) 解：
(b) 解：
(课堂已讲)1.5 判别下列各序列是否为周期性的，如果是，确定其周期 (1) 解：
周期序列 (2) 解：，，m取3，；

，，；

故 (3) 解：，，故非周期；

，，；

故非周期 1.6 已知信号的波形如下图所示，画出下列各函数的波形 (1) (2) (3) 1.7 已知序列的图形如图所示，画出下列各序列的图形 (1) (2) 1.8 信号的波形图如下所示，试画出和的波形 解：
由图可知：，则 当时，；

当时， 当时， (课堂已讲)1.9 已知信号的波形如图所示，分别画出和的波形 解：
第二次 1.10 计算下列各题 ， (1) 解：
(2) 解：
(3) 解：
(4) 解：
(5) 解：
(6) 解：
(7) 解：
(8) 解：
(课堂已讲)1.11 设系统的初始状态为，激励为，各系统的全响应与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。

根据线性系统的定义，依次判断系统是否具有分解特性、零输入线性、零状态线性。

(1) 解：
满足可分解性 线性 线性 (2) 解：
满足可分解性 线性 非线性 系统非线性 (课堂已讲)1.12 下列微分或差分方程所描述的系统，是线性的还是非线性的？是时变的还是不变的？ (1) 解：常系数、线性、微分方程 故为，线性时不变系统 (2) 解：变系数、线性、差分方程 故为，线性时变系统 1.13 设激励为，下列等式是各系统的零状态响应，判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？ (1) 解：，， ，非线性 ，时不变 当，有，则，非因果 若，则，稳定 (2) 解：
，线性 若延迟输入为，则系统输出为 ，时变 若，有 若，则，非因果 若，则，稳定。

(3) 解：
非线性 ，时不变 若，有，，因果 若，则，稳定。

(4) 解：， ，非线性 ，时变 若，有，则，，且，非因果 若，则，稳定 1.14 已知某LTI系统在相同初始条件下，当激励为时，系统的完全响应为，当激励为时，该系统的完全响应为。试用时域分析法求初始条件变为原来的两倍而激励为时该系统的完全响应。

知识要点：本题主要考查LTI连续系统的齐次性和可加性以及可分解特性。

解题方法：利用零输入响应的齐次性和可加性，零状态响应的齐次性和可加性以及系统的可分解特性求解。

解：
， 1.15 某一阶LTI离散系统，其初始状态为，已知当激励为时，其全响应为；
若初始状态不变，当激励为时，其全响应为；
若初始状态为，当激励为时，求其全响应。

解：
第三次 2.1 已知描述连续系统的微分方程和初始状态为，，，试求其零输入响应。

解：求出齐次方程的齐次解，代入初始状态求解 方程的特征方程为， 特征根为，， 微分方程的齐次解为 又激励为0 ，， 即 ， 2.2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其值和。

解：利用微分方程两端各奇异函数项的系数相平衡的方法，判断是否发生跃变，并从积分，求得时刻的初始值 (1) ，，， 解：当时，方程右端不含有冲激项，则及其各阶导数不发生跃变，则 (2) 解：当时，代入方程得 令，中不含及其各阶导 (2) ， ，不含及其各阶导 (1) ，，不含及其各阶导 所以，， 代入(1)式中，并从积分：， 所以，故 代入(2)式中，并从积分：
所以，故 注意：其中，，。

2.3 描述系统的方程为，求其冲激响应和阶跃响应。

知识要点：本题主要考利用方程两端奇异函数系数相平衡的方法来判断是否发生跃变；
。

解题方法：选取新变量，使满足方程，设其冲激响应为；
系统的冲激响应为，在带入公式，求出阶跃响应式。

解法1：选新变量，则 当时，，， 特征方程为：，，，，， ，。

解法2：当时，系统的零状态响应， 设，从积分 (1) (2) ，，，不含及其各阶导数， 则，， 对(1)从积分,,, 对(2)从积分,,, 当时，,, ,,,, 2.4 信号和的波形如下图所示，设，求。

解：
(上课已讲)2.5 各函数波形如图所示，图(a)、（b)、（c)、(d) 中均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。

知识要点：本题主要考查卷积的基本性质：结合律、分配律、时移性质。

解题方法：利用卷积的基本性质，代入公式求解。

(1) 解：
(2) 解：
(3) 解：
2.6 求下列函数的卷积积分。

知识要点：本题主要考查。

解题方法：对于简单函数积分，直接代入积分定义公式求解。

(1) ， 解：
(2) ， 解：
(3) ， 解：
(4) ， 解：
(5) ， 解：
第四次 2.7 已知某系统的数学模型为，求系统的冲激响应；
若输入信号为，求系统的零状态响应。

解：
令，则 若设 方程右端含有 利用系数平衡法可知，中含有，中含有，则在处不连续，即；
在处连续， 又 对时，有，故冲激响应为其次解 ，，， ， 2.8 如果LTI系统的输入为，如下图所示，，求其零状态响应。

解：由图可知：
2.9 某LTI系统，其输入与输出的关系为，求该系统的冲激响应。

解：令，则，由输入输出关系可得 2.10 如下图所示的系统，它由几个子系统组合而成，各个子系统的冲击响应分别为，求复合系统的冲激响应。

知识要点：本题主要考查冲激响应等于输入时系统的零状态响应，；
两系统级联组成的复合系统的冲激响应等于两系统冲激响应的卷积；
系统的齐次性和可加性。

解题方法：根据系统的齐次性、可加性写出加法器的输出，进而利用系统级联的性质得出系统复合后的冲激响应。

解：设，则加法器输出为 3.1 求下面差分方程，，，所描述的LTI离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

知识要点：本题主要考查系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和，则有；
零状态响应，则有。

解题方法：由差分方程得到系统的齐次方程，求得含有待定系数的零输入响应，由初始值求得待定系数，对于零状态响应，由，以及激励可确定零状态响应的初始值，进而解差分方程求得零状态响应，从而可得到系统的全响应。

解：对于零输入响应有 特征方程：，，， 代入初始值：， ，，；

对于零状态响应有 (1) 初始值：
特征方程：,, 其特解为：
代入(1)式得 ，， ， ，，，， ；

全响应：
3.2 求差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。

解：当只有作用时，系统的单位序列响应为 特征方程为：，， 初始值，，， 3.3 求下图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。

知识要点：本题主要考查对于一阶差分方程所描述的LTI离散系统有，，和分别为单位序列响应和阶跃响应；
延迟器的输入为，则输出为。

解题方法：根据系统框图列写差分方程，求解系统单位序列响应，再代入公式求阶跃响应。

解：，， 对于单位序列响应，令，则，且， 初始值：，， 特征方程为：，， ，，， 单位序列响应为：；

对于阶跃响应，令，则，且， 初始值：，， 特征方程为：，， 令特解为：，则，， ，，， ，， 阶跃响应为：， 另解：
其中，， 第五次 3.4 各序列的图形如下图所示，求下列各式卷积和。

知识要点：本题主要考查，，。

解题方法：由各序列的波形图容易得出各序列的表示式，利用卷积的基本性质代入公式求解。

(1) 解：
(2) 解：
3.5 已知系统的激励和单位序列响应如下，求系统的零状态响应。

(1) 解：， (2) ， 解：
3.6 如图所示的复合系统由三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为：，，求复合系统的单位序列响应。

解：令，则加法器输出为 第六次 4.1 判断下列信号是否为周期信号，若是，求其基波角频率和周期 知识要点：本题主要考查。

解题方法：周期信号的基波角频率为信号中各频率成分中频率最小的信号的频率，且其余信号的角频率均为此角频率的整数倍，周期由公式求得。

(1) 解：与2不是整数倍关系，为非周期信号。

(2) 解：(s)，(s)，(s)。

4.2 周期信号的双边频谱如图所示，求其三角函数表达式。

知识要点：本题主要考查，；

， 其中，， 解题方法：根据频谱图列出各频率分量，带入三角函数表达式中即可求解。

解：由图可知，，，，，， ，，， 4.3 用直接计算傅里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。

解：由图可知，， 4.4 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。

知识要点：本题主要考查 若，则有；

若，则有；

若，则有，只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。

解题方法：根据已知信号波形找出满足的关系，即可找出其傅里叶级数中所含有的频率分量。

解：(a) 由的波形可知 ,,, 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波；

(b) 由的波形可知 的傅里叶级数中含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。

4.5 已知信号 (1) 求该周期信号的周期T和基波角频率，指出其谐波次数；

(2) 画出双边幅度谱和相位谱图；

(3) 计算信号的功率。

知识要点：本题主要考查；
；
；
。

解题方法：利用已知条件观察求出，并带入公式计算求出谐波分量；
根据、值，带入公式求出，并计算信号的功率。

解：(1)，，谐波次数为二次，三次，四次；

(2) 由题可知，，， ，，，；
可画出双边频谱图如下：
(3) 。

4.6 根据傅里叶变换的对称性求函数，的傅里叶变换。

解：
，取， ， (附注：) 4.7 求下列信号的傅里叶变换 知识要点：本题主要考查傅里叶变换的基本性质(包括时移性质、频移性质等)以及特殊函数的傅里叶变换。

解题方法：直接利用傅里叶变换的基本性质进行求解。

(1) 解法1：， 解法2：
(2) 解：
，， (3) 解：
第七次 4.8 若已知，试求下列函数的频谱。

知识要点：本题主要考查傅里叶变换的基本性质，包括时移性、微分和积分特性、尺度变换特性等。

解题方法：根据已知条件，直接利用傅里叶变换的基本性质求解。

(1) 解法一：, , , 解法二：
(2) 解：时域微分特性：
频域微分特性：
(3) 解：令,则, (4) 解：
且 4.9 求下列函数的傅里叶逆变换。

， (1) 解：
， (2) 解法一：
解法二：
4.10 试用下列方法求如图所示信号的频谱函数。

知识要点：本题主要考查傅里叶的线性特性和时移特性；

时域积分定理，即若，则有；

时域卷积定理，若，，则有 。

解题方法：根据的波形特征，直接利用傅里叶变换的相关性质求解。

(1) 利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)。

解：令，则 时移特性：， (2) 将看作门函数与冲激函数的卷积之和。

解：，且， 时移特性：， 4.11 如下图所示信号，的傅里叶变换已知，求信号的傅里叶变换。

解：
4.12 用傅里叶变换性质，求下图所示函数的傅里叶逆变换。

知识要点：本题主要考查傅里叶逆变换的公式；
傅里叶变换的对称性和时移特性。

解题方法：由的幅频图和相频图可得其闭合表达式，再利用傅里叶变换的基本性质求解。

解：由的幅频图和相频图可得 ， ，令， ，，， ，， 第八次 4.13 如图所示信号的频谱函数为，求下列各值。

知识要点：本题主要考查傅里叶变换定义；
傅里叶逆变换的定义；
能量等式。

解题方法：，，直接利用这些等式及能量等式求解。

(1) 解：
(2) 解：， 又， (3) 解：
， 4.14 利用能量等式，计算 解：，令， 4.15 一个周期为的周期信号，已知其指数形式的傅里叶系数为，求周期信号的傅里叶系数。

解：
的傅里叶系数为 4.16 稳定的因果LTI系统输入输出关系由下列微分方程确定 (1) 求系统的冲击响应；

(2) 求系统的频率响应函数；

(3) 当输入时，计算输出。

知识要点：本题主要考查系统的频率响应，式中、分别为系统响应与激励的傅里叶变换。

解题方法：根据描述系统的微分方程，两边同时进行傅里叶变换，整理求解。

解：(1) (2) (3) 4.17 某LTI系统的频率响应为，若系统输入，求该系统的输出。

解：
4.18 某系统的零状态响应和输入信号的关系为， (1) 求该系统的冲击响应和频率响应；

(2) 证明和输入信号的能量相等。

知识要点：本题主要考查系统的频率响应，式中、分别为系统响应与激励的傅里叶变换；

能量等式。

解题方法：利用已知条件，直接代入公式求解。

解：(1) ,又，， (2) ，， 4.19 一个LTI系统的频率响应 若输入，求该系统的输出。

知识要点：本题主要考查时域卷积定理和频域卷积定理、傅里叶变换对称性；

。

解题方法：由频域卷积定理求出的傅里叶变换，代入公式求出，再求的傅里叶逆变换即得系统的输出。

解：，令，， ，， ， 又令，，，， 再 第九次 4.20 下图所示系统中，已知激励信号的傅里叶变换为，画出该系统A点和B点的频谱图。

知识要点：本题主要考查系统的频率响应，式中、分别为系统响应与激励的傅里叶变换。

解题方法：利用已知条件，直接代入公式求解。

解：， ， ， 4.21 某线性时不变系统的输入为如图所示的周期信号，系统的冲击响应为，求：
(1) 系统的频率响应；

(2) 的复傅里叶系数和系统的输出；

(3) 若输入信号的单位为伏，求该输出信号的平均功率。

知识要点：本题主要考查本题主要考查系统的频率响应，式中、分别为系统响应与激励的傅里叶变换；
一般周期函数的傅里叶变换；
能量等式。

解题方法：利用已知条件，直接代入公式求解。

解：(1) 由，则，， ，， (2) ，则，，又， ，， ， (3) 4.22 如图(a)的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)所示，其相频特性，若输入，，求输出信号。

解：，令， 又， 故，乘法器输出信号的傅里叶变换为 4.23 对下列信号求奈奎斯特采样速率。已知带限信号的最高频率为200Hz。

知识要点：本题主要考查傅里叶变换的基本性质；
时域取样定理。

解题方法：根据傅里叶变换的基本性质可以求得各信号的傅里叶变换，从而可以确定信号的最高频率，根据时域取样定理可以确定最小取样频率。

(1) 解：，， ，， ， (2) 解：，，， ，， 所以最高频率应为400Hz， (3) 解：，， 令，则，， 令，则，， ， (4) 解：， ，， 令，则，， ， 第十次 5.1 求下列函数的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。

(1) 解：， 又，，， (2) 解：，， 又，， 又 5.2求下图所示信号拉普拉斯变换，并注明收敛域。

解法一：令，则 又，， 解法二：
，， 5.3利用常用函数的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换。

(1) 解：，， (2) 解：
， (3) ，，若为因果信号， 解：，，，， (4) 解：
， (5) 解：， ，， (6) 解：， ， (7) 解：
， (8) 解：
，， 5.4如已知因果函数，求下列函数的象函数。

(1) 解：
， (2) 解：， 5.5 求象函数的原函数的初值和终值 解：
5.6 求下图所示在时接入的有始周期信号的象函数。

(a) 解：令第一周期内的信号以表示，则 ，， 由图可知周期为， (b) 解：令第一周期内的信号以表示，则 ，， 5.7 求下列各象函数的拉普拉斯变换。

(1) 解：
，， 原式 (2) 解：
， 原式 (3) 解：
(4) 解：
原式 (5) 解：
(6) 解：
， 5.8 求下列各象函数的拉普拉斯逆变换，并粗略画出它们的波形图。

(1) 解：，， (2) 解：，， (3) 解：， ， 5.9 象函数的原函数是接入的有始周期信号，求周期并写出其第一个周期的时间表达式。

有始周期函数可写为，为在第一周期内的表示式， 解：
， ，， 第十一次 5.10 描述某LTI系统的微分方程为，已知，，，求系统的零输入响应和零状态响应。

解：
5.11 求微分方程所描述的LTI系统的冲激响应和阶跃响应。

， 解：
5.12 描述某LTI系统的微分方程为，初始条件为，，已知输入信号，求系统的零输入响应和零状态响应。

解：
5.13 已知系统函数，初始状态为，，求系统的零输入响应。

解法一：
零输入响应满足方程：
解法二：的极点即为齐次方程的特征根，即， ， 5.14 已知某LTI系统的阶跃响应，欲使系统的零状态响应，求系统的输入信号。

解：
5.15 描述某LTI连续系统的框图如图所示，已知当输入时，系统的全响应，(1) 列写系统的输入输出方程；
(2) 求系统的零输入响应。

解：
5.16 如图所示的复合系统，由4个子系统连接组成，若各个子系统的系统函数或冲激响应分别为：，，，求复合系统的冲激响应。

解：
5.17 如图所示系统，已知当时，系统的零状态响应，求系统、、。

解：
5.18 根据函数的象函数，求的傅里叶变换。

解：， 5.19 某因果信号的拉普拉斯变换为，求该信号的傅里叶变换。

解：
5.20 设某LTI连续系统的初始状态一定，已知当激励时，其全响应；
当激励时，其全响应；
当时，求系统的全响应。

解：， ， 第十二次 6.1 求序列的变换，并注明收敛域 解：， 6.2 根据下列象函数及所标注的收敛域，求其所对应的原序列。

(1) 解：为因果序列， (2) 解：为反因果序列， (3) 解：为双边序列， 6.3 已知，，，试利用变换的性质求下列序列的变换并注明收敛域。

(1) 解：
， (2) 解：， (3) 解：
(4) 解：
， ， (5) 解：
6.4 利用变换的性质求下列序列的变换。

(1) 解：
(2) 解：
6.5 因果序列的变换为：，求。

解：，， 6.6 若因果序列的变换，能否应用终值定理？若能，求出。

解：为因果序列，则由可知，其收敛域为， 在其收敛域内，故可应用终值定理。

6.7 求下列函数的逆变换 (1) 解：
，为因果序列 ， (2) 解：，为因果序列 6.8 求下列象函数的双边逆变换 (1) 解：
， 为反因果序列 (2) 解：
， 为因果序列 (3) 解：
， 为双边序列 第十三次 6.9 描述LTI离散系统的差分方程为，已知，，，求该系统的零输入响应，零状态响应及全响应。

解：
又 ， 可设零输入响应为：
又 6.10 下图为LTI离散系统框图，求系统的单位序列响应和阶跃响应。

解：
方法一：， 方法二：
6.11 如图所示系统，(1) 求该系统的单位序列响应；
(2) 如，求系统的零状态响应。

解：
6.12 设离散因果系统的阶跃响应为，已知系统对输入的零状态响应为，求系统的输入。

解：
6.13 如图所示的复合系统有三个子系统组成，如已知各子系统的单位序列响应或系统函数分别为，，，求输入时的零状态响应。

解：
6.14 一LTI因果系统的系统函数，收敛域，(1) 求系统的频率响应函数；
(2) 求输入序列时系统的稳态响应。

解：(1) (2) ，，， 第十四次 7.1 某离散系统差分方程为，求其系统函数及其零，极点。

解：考虑到零状态响应 零点为，极点为 7.2连续系统a和b，其系统函数的零，极点分布如图所示，且已知当时，。

(1) 求出系统函数的表达式；

(2) 写出幅频响应的表达式。

解：(1) ，， (2) ，包含虚轴， 为全通函数 7.3系统函数的零点在，极点在，且，写出其的表达式。

根据已知系统的零标点与写出待定系数的系统函数，将已知特殊值带入，可解出待定系数，从而可得出系统函数的幅频响应 解：
，， 7.4如图所示连续因果系统的系数为，判断该系统是否稳定。

只需判断系统函数的极点是否都在左半开平面即可 解：，， ，，极点不全在左半开平面，系统不稳定。

7.5如图所示离散因果系统的系数为，判断该系统是否稳定。

解：， ，极点不全在单位园内，系统不稳定。

7.6求如图所示连续系统的系统函数。

(a) 解：回路：，， 前向通路：，， 前向通路：，， (b) 解：回路：， 回路：， 前向通路：，， 前向通路：，， (c) 解：回路：， 回路：， 回路：，， 前向通路：，， 前向通路：，， 前向通路：，， 第十五次 7.7 求出如图所示系统的系统函数，并画出信号流图。

解：
， 7.8 若连续系统的系统函数为，试用直接形式模拟此系统，并画出其信号流图。

解：一般形式 级联形式 并联形式 7.9 若离散系统的系统函数为，试用直接形式模拟此系统，并画出其信号流图。

解：一般形式 级联形式 并联形式 第十六次 8.1 某连续因果系统的信号流图如下所示， (1) 利用梅森公式求系统函数，并判断系统的稳定性；

(2) 若选为状态变量，试列出系统的状态方程和输出方程。

解：(1) 回路：， 回路：， 前向通路：，， 前向通路：，， 极点：，在左半开平面，系统稳定。

(2) ， 状态方程为 输出方程为 8.2 已知连续系统状态方程中的系统矩阵，求其预解矩阵。

解法一：
解法二：， 的特征方程为 8.3 某连续系统的状态方和输出方程为， ，求系统传输函数，并判断系统是否稳定。

解法一：
，极点在左半开平面，系统稳定。

解法二：对方程取拉式变换，求零状态 另

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