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《基本不等式》教案4篇

时间：2024-01-17 11:11:04来源：百花范文网本文已影响人

《基本不等式》教案一、教学目标知识与技能：1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的2倍的不等式的证明。2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数下面是小编为大家整理的《基本不等式》教案4篇,供大家参考。

《基本不等式》教案4篇

《基本不等式》教案篇1

一、教学目标

知识与技能：

1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的2倍的不等式的证明。

2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及几何解释。

过程与方法

本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形俩方面深入的探究不等式的证明，从而进一步突破难点。基本不等式的证明要注重严密性，每一步都有理论依据，培养学生的逻辑能力。

情感，态度与价值观

培养学生举一反三地逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；

难点：理解“=”成立的充要条件。

三、教学过程：

1.动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的。

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形两条直角边长为，

那么正方形的边长为 .于是，

4个直角三角形的面积之和，

正方形的面积 .

由图可知，即 .

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠).假设两个正方形的面积分别为和 ( )，考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：

2.代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若，则 .

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

(1)若，则 ;(2)若，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明。

证法一(作差法)：

，当时取等号。

(在该过程中，可发现的取值可以是全体实数)

证法二(分析法)：由于，于是

要证明？，只要证明？，即证？，

即？，该式显然成立，所以，当时取等号。

得出结论，展示课题内容

基本不等式：

若，则 (当且仅当时，等号成立)

深化认识：

称为的几何平均数；称为的算术平均数

《基本不等式》教案篇2

【教学目标】

1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2.过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3.情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；

【教学难点】

基本不等式等号成立条件

【教学过程】

1.课题导入

基本不等式的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系

2.讲授新课

1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

2.得到结论：一般的，如果

3.思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

当

所以，，即

4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a、b ，可得，

通常我们把上式写作：

2)从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证 (1)

只要证 a+b (2)

要证(2)，只要证 a+b- 0 (3)

要证(3)，只要证 ( - ) (4)

显然，(4)是成立的。当且仅当a=b时，(4)中的等号成立。

3)理解基本不等式的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2=CA·CB

即CD= .

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立。

因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。

2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

例1 已知x、y都是正数，求证：

(1) ≥2;

(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形。

解：∵x，y都是正数 ∴ >0， >0，x2>0，y2>0，x3>0，y3>0

(1) =2即 ≥2.

(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0

∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3

即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc www.gaokaobaba.com

分析：对于此类题目，选择定理： (a>0，b>0)灵活变形，可求得结果。

解：∵a，b，c都是正数

∴a+b≥2 >0

b+c≥2 >0

c+a≥2 >0

《基本不等式》教案篇3