2021年娄底中考数学试卷【湖南省娄底市2021年中考数学试卷（word版+答案+解析）】

湖南省娄底市2021年中考数学试卷 一、单选题（共12题；
共24分） 1.2021的倒数是（   ） A.   2021                      B. －2021                      C. 12021                      D. -12021 2.下列式子正确的是（   ） A. a3-a2=a                B. (a2)3=a6                C. a3⋅a2=a6                D. (a2)3=a5 3.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加.阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚.5万用科学记数法表示为（   ） A.   0.5×105                   B. 5×104                   C. 50×104                   D. 5×105 4.一组数据 17,10,5,8,5,15 的中位数和众数是（   ） A. 5，5                          B. 8，5                          C. 9，5                          D. 10，5 5.如图，点 E,F 在矩形 ABCD 的对角线 BD 所在的直线上， BE=DF ，则四边形 AECF 是（   ） A. 平行四边形                       B. 矩形                       C. 菱形                       D. 正方形 6.如图， AB//CD ，点 E,F 在 AC 边上，已知 ∠CED=70°, ∠BFC=130° ，则 ∠B+∠D 的度数为（   ） A. 40°                           B. 50°                           C. 60°                           D. 70° 7.从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（   ） A. 14                                 B. 12                                 C. 34                                 D. 1 8.2,5,m 是某三角形三边的长，则 (m-3)2+(m-7)2 等于（   ） A. 2m-10                          B. 10-2m                          C. 10                          D. 4 9.如图，直线 y=x+b 和 y=kx+4 与x轴分别相交于点 A(-4,0) ，点 B(2,0) ，则 {x+b>0kx+4>0 解集为（   ） A. -4<x<2               B. x<-4               C. x>2               D. x<-4 或 x>2 10.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ A 与直线 l:y=512x 只有一个公共点时，点A的坐标为（   ） A. (-12,0)                  B. (-13,0)                  C. (±12,0)                  D. (±13,0) 11.根据反比例函数的性质、联系化学中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 y=xa+x （a为常数且 a>0,x>0 ）的性质表述中，正确的是（   ） ①y随x的增大而增大；
②y随x的增大而减小；
③ 0<y<1 ；
④ 0≤y≤1 A. ①③                            B. ①④                            C. ②③                            D. ②④ 12.用数形结合等思想方法确定二次函数 y=x2+2 的图象与反比例函数 y=2x 的图象的交点的横坐标 x0 所在的范围是（   ） A. 0<x0≤14              B. 14<x0≤12              C. 12<x0≤34              D. 34<x0≤1 二、填空题（共6题；
共7分） 13.函数 y=x-1 中自变量x的取值范围是________. 14.如图所示的扇形中，已知 OA=20,AC=30,AB=40 ，则 CD= ________. 15.如图， △ABC 中， AB=AC=2,P 是 BC 上任意一点， PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点F，若 S△ABC=1 ，则 PE+PF= ________. 16.已知 t2-3t+1=0 ，则 t+1t= ________. 17.高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 ABCD 表示一个“鱼骨”， AB 平行于车辆前行方向， BE⊥AB,∠CBE=α ，过B作 AD 的垂线，垂足为 A＇ （A点的视觉错觉点），若 sinα=0.05,AB=300mm ，则 AA＇= ________ mm . 18.弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 1rad .已知 α=1rad, β=60° ，则 α 与 β 的大小关系是 α ________ β . 三、解答题（共8题；
共68分） 19.计算：
(2021-π)0+12+1+(12)-1-2cos45° . 20.先化简，再求值：
x-3x-1⋅(1-2x-10x2-9) ，其中x是 1,2,3 中的一个合适的数. 21.“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：
统计表：
  频数 频率 A历史类 50 m B科普类 90 0.45 C生活类 n 0.20 D其它 20 0.10 合计     （1）本次调查的学生共________人；

（2）m= ________， n= ________；

（3）补全条形统计图. 22.我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 ∠DPA 为 30° 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 ∠DPB 为 45° ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 1m/s ，取 3=1.732,2=1.414 ） 23.为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元. （1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；

（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值. 24.如图，点A在以 BC 为直径的⊙ O 上， ∠ABC 的角平分线与 AC 相交于点E，与⊙ O 相交于点D，延长 CA 至M，连结 BM ，使得 MB=ME ，过点A作 BM 的平行线与 CD 的延长线交于点N. （1）求证：
BM 与⊙ O 相切；

（2）试给出 AC,AD,CN 之间的数量关系，并予以证明. 25.如图①， E、F 是等腰 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两动点， ∠EAF=45°, CD⊥BC 且 CD=BE . （1）求证：
△ABE≌△ACD ；

（2）求证：
EF2=BE2+CF2 ；

（3）如图②，作 AH⊥BC ，垂足为H，设 ∠EAH=α, ∠FAH=β ，不妨设 AB=2 ，请利用（2）的结论证明：当 α+β=45° 时， tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ 成立. 26.如图，在直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与x轴相交于点 A(-1,0) 和点 B(3,0) ，与y轴交于点C. （1）求 b、c 的值；

（2）点 P(m,n) 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 l: y=x 于点Q. ①当 0<m<3 时，求当P点到直线 l: y=x 的距离最大时m的值；

②是否存在m，使得以点 O、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；
若存在，请求出m的值. 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 C 【考点】有理数的倒数 【解析】【解答】A：倒数是本身的数是1和-1，选项错误. B：－2021是2021的相反数，选项错误. C：
2021×12021=1 ，选项正确. D：
2021×(-12021)=-1 ，选项错误. 故答案为：C 【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可. 2.【答案】 B 【考点】同底数幂的乘法，合并同类项法则及应用，幂的乘方 【解析】【解答】A、 a3-a2=a ，因为 a3和a2 不属于同类项，不能进行加减合并，故A错误；

B、 (a2)3=a2×3=a6 ，故B正确；

C、 a3⋅a2=a3+2=a5 ，故C错误；

D、 (a2)3=a2×3=a6 ，故D错误. 故答案为：B. 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法分别进行计算，然后判断即可. 3.【答案】 B 【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：5万=50000= 5×104 . 故答案为：B. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可. 4.【答案】 C 【考点】中位数，众数 【解析】【解答】这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，5，8，10，15，17， 因此中位数为：
8+102=9 ，众数为：5， 故答案为：C. 【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；

众数：是一组数据中出现次数最多的数据，据此解答即可. 5.【答案】 A 【考点】平行四边形的判定，矩形的性质，三角形全等的判定（SAS） 【解析】【解答】解：由题意：
∵AD//BC,∴∠ADB=∠CBD ， ∴∠FDA=∠EBC ， 又 ∵AD=BC,BE=DF ， ∴△ADF≌△CBE(SAS) ， ∴AF=EC ， ∴∠AFD=∠CEB,∴AF//EC ， ∴ 四边形 AECF 为平行四边形， 故答案为：A. 【分析】证明△ADF≌△CBE(SAS) ，利用全等三角形的性质得出AF=EC ∠AFD=∠CEB  利用内错角相等两直线平行，可得AF∥CE，根据一组对边平行且相等可证四边形 AECF 为平行四边形. 6.【答案】 C 【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角及其性质 【解析】【解答】解：取 ED,FB 的交点为点 G ，过点 G 作平行于 CD 的线 MN ，如下图：
根据题意：
∠CED=70°, ∠BFC=130° ， ∴∠EFG=50° ， ∴∠EGF=180°-50°-70°=60° ， ∵MN//CD//AB ， ∴∠B=∠BGN,∠D=∠DGN ， ∴∠B+∠D=∠BGN+∠DGN=∠BGD ， ∵ED,BF 相交于点 G ， ∴∠EGF=∠BGD=60° ， ∴∠B+∠D=60° ， 故答案为：C. 【分析】取 ED,FB 的交点为点 G ，过点 G 作平行于 CD 的线 MN ， 利用邻补角定义及三角形内角和求出∠EGF=60°，根据平行线的性质得出∠B=∠BGN,∠D=∠DGN ， 从而可得 ∠B+∠D=∠BGN+∠DGN=∠BGD ，由对顶角相等可得∠EGF=∠BGD=60° ， 继而得出结论. 7.【答案】 B 【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形，概率公式 【解析】【解答】解：
∵ 分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；

∴ 现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 24=12 ， 故答案为：B. 【分析】 由四张形状、大小相同的卡片中分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆,然后利用概率公式计算即可. 8.【答案】 D 【考点】二次根式的性质与化简，三角形三边关系 【解析】【解答】解：
∵2,3,m 是三角形的三边， ∴5-2<m<5+2 ， 解得：
3<m<7 ， ∴(m-3)2+(m-7)2=m-3+7-m=4 ， 故答案为：D. 【分析】根据三角形的三边关系，可得3<m<7 ， 然后根据二次根式的性质求解即可. 9.【答案】 A 【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【解答】解：∵直线 y=x+b 和 y=kx+4 与x轴分别相交于点 A(-4,0) ，点 B(2,0) ， ∴观察图象可知 {x+b>0kx+4>0 解集为 -4<x<2 ， 故答案为：A. 【分析】根据图形可得当x＞-4时，直线y=x+b的图象在x轴上方，当x＜2时，直线y=kx+4的图象在x轴上方，然后求出x的公共部分即可. 10.【答案】 D 【考点】勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】如下图所示，连接 AB ，过 B 点作 BC//OA ， 此时 B 点坐标可表示为 (x,512x) ， ∴ OC=512|x| ， BC=|x| ， 在 Rt△OBC 中， OB=BC2+OC2=x2+(512x)2=1312|x| ， 又∵ ⊙A 半径为5， ∴ AB=5 ， ∵ BC//OA ， ∴ △AOB∽△OBC ， 则 OABO=ABOC=OBBC ， ∴ OA1312|x|=5512|x| ， ∴ OA=13 ， ∵左右两侧都有相切的可能， ∴A点坐标为 (±13,0) ， 故答案为：D. 【分析】连接 AB ，过 B 点作 BC//OA ，此时 B 点坐标可表示为 (x,512x) ，从而求出OC、BC、OB，证明△AOB∽△OBC ，可得OABO=ABOC=OBBC ， 代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标. 11.【答案】 A 【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质 【解析】【解答】解：
y=xa+x=x+a-aa+x=1-aa+x=-aa+x+1 ， 又∵ a>0,x>0 ， ∴随着x的增大， a+x 也会随之增大， ∴ aa+x 随着x的增大而减小， 此时 aa+x 越来越小，则 1-aa+x 越来越大， 故随着x的增大y也越来越大. 因此①正确，②错误；

∵ a>0,x>0 ， ∴ 0<aa+x<1 ， ∴ 0<1-aa+x<1 ， 故 0<y<1 ， 因此③正确，④错误；

综上所述，A选项符合. 故答案为：A. 【分析】利用反比例函数的性质，将原函数进行变形y=1-aa+x ， 由于a>0,x>0 ， 可得随着x的增大 aa+x 越来越小，则 1-aa+x 越来越大，据此判断①②；
由于a>0,x>0 ， 可得 0<aa+x<1 ，即得 0<1-aa+x<1 ，据此判断③④. 12.【答案】 D 【考点】反比例函数的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的图象 【解析】【解答】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：
由图知，显然 12<x0<1 ， 当 x0=34 时，将其分别代入 y=x2+2 与 y=2x 计算得；

y1=916+2=4116,y2=234=83 ， ∵y2-y1=83-4116=548>0 ， ∴ 此时反比例函数图象在二次函数图象的上方， ∴34<x0≤1 故答案为：D. 【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，根据函数图象进行判断即可. 二、填空题 13.【答案】 x≥1 【考点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0， 解得：x≥1. 故答案为：x≥1. 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围. 14.【答案】 100 【考点】弧长的计算 【解析】【解答】解：设扇形圆心角度数为n°， ∵ OA=20,AB=40 ， ∴在扇形 AOB 中， AB=2π·OA·n360 ， 解得：
n=360π ， ∴在扇形 COD 中， OC=OA+AC=20+30=50 ， CD=2π·OC·n360=2π×50×360π360=100 故答案为：100. 【分析】先求出扇形圆心角度数360π ， 再求出OC=OA+AC=50，利用弧长公式计算即可. 15.【答案】 1 【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：连接 AP ，如下图， ∵ PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F ， S△ABC=S△APC+S△APB=1 S△APC+S△APB=12AC⋅PF+12AB⋅PE ∵AB=AC=2 ， S△APC+S△APB=PF+PE=1 ， ∴PE+PF=1 ， 故答案是：1. 【分析】连接 AP ， 由S△APC+S△APB=12AC⋅PF+12AB⋅PE=1，即可求出结论. 16.【答案】 3 【考点】代数式求值 【解析】【解答】解：
t+1t=t2t+1t=t2+1t ， 又∵ t2-3t+1=0 ， ∴ t2+1=3t ， 则 t+1t=t2+1t=3tt=3 ， 故答案为：3. 【分析】先求出t2+1=3t ， 由t+1t=t2+1t ， 然后代入计算即可. 17.【答案】 15 【考点】平行四边形的性质，解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：如图所示， ∵ A＇B⊥AD 且四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ A＇B⊥BC ， ∠A＇BC=∠ABC+∠A＇BA=90° ， 又∵ BE⊥AB ， ∴ ∠ABE=∠ABC+∠α=90° ， ∴ ∠A＇BA=∠α ， ∴ sin∠A＇BA=sinα=AA＇AB=0.05 ， 又∵ AB=300mm ， ∴ AA＇=AB·sin∠A＇BA=300×0.05=15 mm. 故答案为：15. 【分析】根据平行四边形的性质，可求出∠A＇BA=∠α ， 由于sin∠A＇BA=sinα=AA＇AB=0.05 ， 即可求出结论. 18.【答案】 ＜ 【考点】角的概念 【解析】【解答】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 1rad ， 当 β=60° 时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， ∴ 圆心角所对的弧长比半径大， ∴α<β ， 故答案是：＜. 【分析】当 β=60° 时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，从而求出圆心角所对的弧长比半径大，据此判断即可. 三、解答题 19.【答案】 解：
(2021-π)0+12+1+(12)-1-2cos45° =1+2-1(2+1)(2-1)+2-2×22 =1+2-1+2-2 =2 . 【考点】0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，分母有理化，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】根据零指数幂、分母有理化、负整数指数幂、特殊角三角函数值进行计算即可. 20.【答案】 解：
x-3x-1⋅(1-2x-10x2-9) =x-3x-1⋅[x2-9(x+3)(x-3)-2x-10(x+3)(x-3)] =x-3x-1⋅x2-2x+1(x+3)(x-3) =x-3x-1⋅(x-1)2(x+3)(x-3) =x-1x+3 ， ∵ x≠1 ， x≠±3 ， ∴ x=2 ， 原式 =2-12+3=15 . 【考点】利用分式运算化简求值 【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再进行乘法运算即可化简，最后选取一个使分式有意义的值代入计算即可. 21.【答案】 （1）200 （2）0.25；
40 （3）解：补全直方图如图所示：
. 【考点】频数（率）分布表，条形统计图 【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生有：90÷0.45=200（名），   故答案是：200；

（2）m=50÷200=0.25，n=200×0.2=40；

【分析】（1）利用B类频数除以其频率，即得调查学生的总数；

（2）利用A类频数除以调查总人数，即得m值；
利用调查总人数乘以0.20，即得n值；

（3）利用（2）结论，直接补图即可. 22.【答案】 解：根据在P处测得A点的仰角 ∠DPA 为 30° 且A与P两点的距离为6千米知；

在 Rt△ADP 中， AP=6,∠DPA=30° ， ∴AD=12AP=3 (千米)， ∴DP=AP2-AD2=33≈3×1.732=5.196 ， 又由在P处测得B点的仰角 ∠DPB 为 45° ， ∴Rt△BDP 为等腰直角三角形， ∴BD=DP ， ∴AB=BD-AD=2.196 （千米）， ∴ 天舟二号从A处到B处的平均速度为：
v=st=219675≈29m/s ， 答：天舟二号从A处到B处的平均速度为 29m/s . 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出 AD=12AP=3 (千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论. 23.【答案】 （1）解：设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元， 根据题意得：
{x+2y=202x+5y=45 ， 解得：
{x=10y=5 ；

答：购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；

（2）解：设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为 w 元， ∴ w=10m+5(100-m)=5m+500 ， 根据题意得：
{5m+500≥7665m+500≤800 ， 解得：53.2≤m≤60. ∵m为整数， ∴m=54、55、56、57、58、59或60. ∴共有7种进货方案；

∵5>0， ∴ w 随m的增大而增大， ∴m=54时， w 有最小值，最小值为770元. 【考点】一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，根据“ 购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45 ”列出方程组，求解即可；

（2） 设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为 w元， 利用利润=单件利润×数量，列出w关于m的函数关系式，再根据“ 投入资金不少于766元又不多于800元”求出m的范围，根据一次函数的性质求解即可.     24.【答案】 （1）证明：如图所示， ∵ MB=ME ， BD 是 ∠ABC 的角平分线， ∴ ∠MBE=∠MEB ， ∠ABE=∠EBC ， 又∵ BC 为直径， ∴ ∠BAC=90° ， ∴ ∠ABE+∠MEB=90° ， ∴ ∠EBC+∠MBE=90° ， 即 BM 与⊙ O 相切. （2）解：∵ ∠ABE=∠EBC ， ∴ AD=CD ， ∴ AD=CD ， ∴ ∠DAC=∠DCA ， ∴ △ADC 为等腰三角形， 又∵ ∠BDC=90° ， ∴ ∠BDN=90° ， ∴ ∠N+∠NGD=90° ， 又∵ ∠NGD=∠BGF ，且由（1）可得 ∠MBC=90° ， NF∥BM ， ∴ ∠NFB=90° ， 即 ∠N=∠EBC=∠ABE=∠DCA ， ∴ △NAC 为等腰三角形， 在 △ADC 和 △NAC 中， ∠N=∠DAC=∠DCA ， ∴ △ADC ∽ △NAC ， ∴ ADNA=DCAC=ACNC ， ∴ AC2=DC·NC ， 又∵ AD=CD ， 故：
AC2=AD·NC . 【考点】等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出∠MBE=∠MEB ， ∠ABE=∠EBC ， 由BC为直径得出∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠ABE+∠MEB=90° ，从而可得∠EBC+∠MBE=90°=∠MBC ， 根据切线的判定定理即证；

（2） 由∠ABE=∠EBC 可得AD=CD 从而求出AD=CD ，继而可求出△ADC、△NAC为等腰三角形，证明△ADC ∽ △NAC ， 可得ADNA=DCAC=ACNC ， 从而求出 AC2=DC·NC ，继而得出结论.     25.【答案】 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵CD⊥BC， ∴∠DCB=90°， ∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE， 在△ABE和△ACD中， {AB=AC∠ABE=∠ACDBE=CD ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， （2）证明：∵△ABE≌△ACD， ∴∠BAE=∠CAD，AE=AD， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°， ∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF， 在△AEF和△ADF中， {AE=AD∠EAF=∠DAFAF=AF ， ∴△AEF≌△ADF（SAS）， ∴EF=DF， 在Rt△CDF中，根据勾股定理， DF2=CD2+CF2 ， 即 EF2=BE2+CF2 ；

（3）解：将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD， ∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°， ∵ AB=2 ， ∴AC= AB=2 ， 在Rt△ABC中由勾股定理 BC=AB2+AC2=(2)2+(2)2=2 ∵AH⊥BC， ∴BH=CH=AH= 12BC=1 ， ∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ，BE=BH-EH=1-tanα，CF=CH-HF=1-tanβ， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°， ∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF， 在△AEF和△ADF中， {AE=AD∠EAF=∠DAFAF=AF ， ∴△AEF≌△ADF（SAS）， ∴EF=DF， 在Rt△CDF中， DF2=CD2+CF2 即 EF2=BE2+CF2 ， ∴ (tanα+tanβ)2=(1-tanα)2+(1-tanβ)2 ， 整理得 2tanα⋅tanβ=1-2tanα+1-2tanβ ， 即 tanα⋅tanβ=1-tanα-tanβ ， ∴ tanα+tanβ=1-tanα⋅tanβ ， ∴ tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ=1=tan45°=tan(α+β) ， ∴ tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ . 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形，三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】（1） 由△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， 根据垂直的定义可得∠DCB=90°， 从而可求∠DCA=90°-∠ACB=45°，根据SAS可证△ABE≌△ACD；

（2）证明△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根据勾股定理DF2=CD2+CF2 ，据此即得结论；

（3）将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD， 利用等腰直角三角形及解直角三角形，可求出EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ，BE=BH-EH=1-tanα，CF=CH-HF=1-tanβ，证明 △AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中， DF2=CD2+CF2 即 EF2=BE2+CF2  ， 即得(tanα+tanβ)2=(1-tanα)2+(1-tanβ)2  ， 据此进行整理即可求出结论.       26.【答案】 （1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）， ∴ {1-b+c=09+3b+c=0 ， 解得：
{b=-2c=-3 ， ∴b= -2 ，c= -3 ；

（2）解：①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 -2x-3 ， 设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m）， ∵0<m<3， ∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=- (m-32)2 + 214 ， ∵-1<0， ∴当 m=32 时，PQ有最大值，最大值为 214 ；

②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3， ∴C（0，-3）， ∴OB=OC=3， 由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m）， ∵PQ∥OC， 当OC为菱形的边，则PQ=OC=3， 当点Q在点P上方时， ∴PQ= -m2+3m+3=3 ，即 -m2+3m=0 ， ∴ m(m-3)=0 ， 解得 m=0 或 m=3 ， 当 m=0 时，点P与点O重合，菱形不存在， 当 m=3 时，点P与点B重合，此时BC= 2OC=32≠OC ，菱形也不存在；

当点Q在点P下方时， 若点Q在第三象限，如图， ∵∠COQ=45°， 根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合， 此时OA=1 ≠ OC=3，菱形不存在， 若点Q在第一象限，如图， 同理，菱形不存在， 综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形. 【考点】待定系数法求二次函数解析式，菱形的判定，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【分析】（1） 将点A（-1，0），B（3，0） 代入抛物线解析式中，可得关于b、c的方程组，解出b、c的值即可；

（2）① 由（1）知y=x2 -2x-3  ， 设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m）， 可求出PQ=m-( m2-2m-3)=- (m-32)2 + 214 ， 根据二次函数的性质求解即可；

②求出OB=OC=3，设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），由PQ∥OC，当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，分二种情况：
当点Q在点P上方时；
当点Q在点P下方时，即是若点Q在第三或第一象限，据此分别解答即可.    

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