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    周期情形下水波系统解映射的不一致连续性

    时间：2023-04-08 17:10:04来源：百花范文网本文已影响人

    王海权, 种鸽子

    (1. 太原理工大学 数学学院, 太原 030024; 2. 西北大学 数学学院, 西安 710127)

    本文主要考虑如下周期情形下水波系统的初值问题:

    (1)

    为估算方便, 取α=0将问题(1)化为如下形式:

    (2)

    其中a≠1.

    定义1[11-12]设s∈, 1≤p,r≤∞.非齐次的Besov空间d)定义为

    命题1[13-14]设s∈, 1≤p,r,pi,ri≤∞,i=1,2, 则有:

    4) 若(un)n∈是中的有界序列且在S′中趋于u, 则且

    6) 令m∈,f是一个Sm乘子, 则f(D)是从到的连续算子.

    对于输运方程的初值问题:

    ∂tu+v·u=g,u|t=0=u0,

    (3)

    有以下结论.

    1) 若r=1或者s≠1+1/p, 则

    2) 若s>0, 则

    对于问题(3)的一维情形, 有如下结论.

    引理3[7]令σ,α∈, 若n∈+,n≫1, 则对任意的1≤r≤∞, 有

    引理4[13]假设1≤p,r≤∞, 则下列结论成立:

    注3若在引理7中令μ(r)=r(1-lnr), 则M(x)=ln(1-lnx); 进一步, 对d>0, 有

    注4上述命题、 引理及定义对于周期情形也成立.

    下面给出问题(2)解的局部适定性结果.

    (4)

    下面通过构造近似解[5-6]的方法证明定理1.

    3.1 近似解估计

    首先, 构造如下近似解:

    uω,n(t)=ωn-1+n-3/2cos(nx-ωt),ρω,n(t)=ωn-1+n-1/2cos(nx-ωt),

    其中ω=±1,n∈+,n≫1.将构造的近似解代入问题(2)的方程, 并设

    从而

    于是有下列结论:

    引理9若ω=±1,n∈+,n≫1, 则有

    3.2 近似解与解的差估计

    设zω,n(t)=(uω,n(t),ρω,n(t))是如下问题的解, 即满足

    (5)

    其中

    由引理3可知,

    再根据引理8可知,zω,n(t)是问题(5)的唯一解, 并且解的最大存在时间

    为估算近似解与解的差, 设σ=uω,n-uω,n,η=ρω,n-ρω,n, 将其代入问题(5), 可得

    (6)

    其中

    由命题1中2)和引理8可得

    对问题(6)的第一个方程和第二个方程分别使用引理1中1)和引理2, 可得

    由命题1中2)可得

    由引理4可得

    由引理5可得

    根据引理3和引理8可知,

    由引理6可得

    进一步, 根据引理3和引理8可知, 存在M>0, 使得

    (7)

    (8)

    (9)

    引理10若ω=±1,n∈+,n≫1, 则有

    3.3 定理1的证明

    (10)

    利用命题1中2)和引理4分别估算式(10),(11)的每一项, 可得

    (12)

    (13)

    对于任意的0≤t≤T1

    再结合引理3对式(14)两边同时取极限, 可得

    定理1证毕.

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