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    孟津一高北大附中【2019-2020学年北大附中分校高一上学期期中数学试题（解析版）】

    时间：2020-08-19 12:20:36来源：百花范文网本文已影响人

    2019-2020学年北大附中分校高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】根据分数指数幂运算. 【详解】 . 故选：C 【点睛】 本题考查分数指数幂的运算法则，属于简单题型. 2．已知：集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先求集合，然后求. 【详解】 即 ， . 故选：A 【点睛】 本题考查集合的运算，重点是解集合，属于简单题型. 3．已知：且（ ） A．1 B．2 C． D．-1 【答案】A 【解析】首先求，再求. 【详解】 ，. 故选：A 【点睛】 本题考查分段函数求值，属于简单题型. 4．已知函数，其值域是，则其定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是一对一函数，所以根据值域解定义域，只需解不等式或. 【详解】 因为函数是一对一函数，所以可以根据值域解定义域， 由 ，解得， ， ， 定义域是：. 故选：D 【点睛】 本题考查根据值域求定义域，意在考查函数性质和解不等式，属于基础题型. 5．下列函数：（1），（2），（3），（4），（5）五个函数中，是奇函数且值域不是一切实数R的函数是（ ） A．（1），（3），（5） B．（1），（4） C．（4） D．（1），（3） 【答案】C 【解析】逐一分析选项，根据函数性质得到选项. 【详解】 （1）是奇函数，值域是，不满足条件；

    （2），满足，是偶函数，并且函数的值域是，不满足条件；

    （3），是奇函数，并且值域是，不满足条件；

    （4）是奇函数，并且值域是，满足条件. （5）定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，不满足条件；

    故选：C 【点睛】 本题考查函数性质，意在考查函数的基础知识的理解，属于简单题型. 6．下列函数在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】逐一分析选项，判断函数性质，得到答案. 【详解】 A.时，在单调递减，在上单调递增，故不正确；

    B.在单调递增，故正确；

    C.，在单调递减，故不正确；

    D.在单调递减，故不正确. 故选：B 【点睛】 本题考查函数的单调性，属于基础题型. 7．已知下列函数：（1），（2），（3），（4）中，是奇函数的是（ ） A．（1），（2）（3），（4） B．（2），（4） C．（2），（3），（4） D．（3），（4） 【答案】C 【解析】逐一分析函数，判断函数是否是奇函数，得到选项. 【详解】 （1） ，定义域是，不关于原点对称，故不是奇函数；

    （2） 的定义域是，关于原点对称， 并且，故函数是奇函数；

    （3）的定义域是， 并且，故函数是奇函数；

    （4） 的定义域是，关于原点对称，并且函数满足 ，故函数是奇函数. 故选：C 【点睛】 本题考查判断函数的奇偶性，属于基础题型，判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，那函数就是非奇非偶函数，若函数关于原点对称，再根据定义域判断与的关系，若或则函数是奇函数，若满足或则函数是偶函数. 8．已知，则函数的最小值是（ ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式 求最小值. 【详解】 ， 当且仅当时，等号成立， 即时，函数的最小值是2. 故选：B 【点睛】 本题考查利用基本不等式求函数的最小值，属于简单题型. 9．比较下列几个数的大小：，，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先让和0或1比较大小，然后再判断的大小. 【详解】 ， ， . 故选：D 【点睛】 本题考查指对数比较大小，意在考查转化与计算，属于简单题型. 10．空气质量指数（简称：）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照大小分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ） A．在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量 B．在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度 C．在北京这天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D．在北京这天的空气质量中，达到空气质量优的天数有天 【答案】C 【解析】分析：通过题目所提供的图表得出22个数据，研究在各区间上的数据个数，对选项逐一验证得到答案. 详解：因为， 所以在北京这天的空气质量中，按平均数来考察， 最后天的空气质量优于最前面天的空气质量， 即选项A正确；

    不低于100的数据有3个：， 所以在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度， 即选项B正确；

    因为12月29日的为225，为重度污染， 该天的空气质量最差，即选项C错误；

    在的数据有6个：， 即达到空气质量优的天数有天， 即选项D正确.故选C. 点睛：本题考查频率分布表的识别和应用，属于基础题，本题的技巧是判定选项A时，仅从各数据的大小关系上进行判定，避免了不必要的运算. 11．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导，求出函数的单调性，利用单调性来辨别函数的图象，以及函数值符号来辨别函数的图象。

    【详解】 ，. 解不等式，即，得；

    解不等式，即，得或. 所以，函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为。

    令，即，得或；

    令，即，得. 所以，符合条件的函数为B选项中的图象，故选：B. 【点睛】 本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；
    ②奇偶性；
    ③单调性；
    ④零点；
    ⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。

    12．已知函数，则函数的零点（即的解）个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】，即的零点个数转化为函数和的图象的交点个数. 【详解】 ， 画出函数和的图象 由图象可知，两个函数有两个交点， 函数的零点个数有2个. 故选：C 【点睛】 本题考查函数零点个数的判断，转化为求两个函数的交点是常用思考方法，属于基础题型. 二、填空题 13．已知幂函数过点，则此函数的单调递减区间是________． 【答案】 【解析】代入点，求，再得函数的单调递减区间. 【详解】 ， 函数的单调递减区间是. 故答案是：
    【点睛】 本题考查幂函数解析式的求法和函数性质，属于简单题型. 14．若命题，使得，则________． 【答案】使得 【解析】根据特称命题的否命题的形式书写. 【详解】 命题，使得的否定是 使得. 故答案为：使得 【点睛】 本题考查特称命题的否定，属于基础知识的考查，属于简单题型. 15．已知定义在上的偶函数，当时，，则________． 【答案】6 【解析】利用函数是偶函数，，代入求值. 【详解】 是偶函数， . 故答案为：6 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型. 16．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】若满足条件，需满足分段函数每段都是递增函数，并且在分界点处满足，列不等式组求的取值范围. 【详解】 是上的单调递增函数，需满足 ， 解得：. 故答案为：
    【点睛】 本题考查根据分段函数单调性求参数，属于基础题型，容易忽略的是分界点处的两个函数值比较大小的不等式，这点需切记. 三、解答题 17．计算：
    （1） （2） 【答案】（1）；

    （2）4；

    【解析】（1）根据根式和分数指数幂的运算法则求解；

    （2）利用对数运算法则变形求解. 【详解】 解：（1）原式 （2）原式 【点睛】 本题考查根式，分数指数幂和对数的运算，意在考查转化与变形化简，属于基础题型. 18．已知集合：，，． （1）用列举法表示A和B，并求；

    （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），，；

    （2）；

    【解析】（1）首先解方程和，求解集合和，然后求；

    （2）根据（1）的结果，，若满足条件，需满足，即 求的范围. 【详解】 （1） ∴或， 又由于 解得 ∴ 由 或 ∴ （2）， ，且 ∴ 解得：或 【点睛】 本题考查解一元二次方程，以及理解集合语言，根据集合的关系求参数的取值范围，属于基础题型. 19．已知函数 （1）在坐标系内画出函数的大致图象；

    （2）若方程有两个根，求实数m的取值集合． （3）若方程有三个根，求实数m的取值集合． 【答案】（1）图见解析；

    （2）；

    （3）；

    【解析】（1）首先去绝对值，写成，然后画函数的图象；

    （2）根据（1）的图象，可知若方程有两个根，即与函数图象有两个交点，求的取值范围；
    （3）转化为与函数图象有3个交点，求的取值范围. 【详解】 解：（1）由，图像如下：
    （2）因为与x无关，故其图像是平行于x轴的直线，有两个实根，即与有两个交点，所以或，所以． （3）观察图像，当时，与有三个交点，这时有三个根．∴． 【点睛】 本题考查函数图象的应用，根据函数零点个数求参数，可以参变分离后转化为的零点个数，转化为和图象的交点个数求参数. 20．亚洲某大国GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率发展，大约多少年后该国GDP会翻两番（即为原来的4倍）？（，．结果精确到整数） 【答案】22年后 【解析】设大约x年后该国的GDP会翻两番，即，两边取以10为底的对数，求. 【详解】 解：设大约x年后该国的GDP会翻两番，依题意有：
    即， 两边取10为底的对数：
    ∴（保留整数位） 答：大约22年后该国GDP会翻两番． 【点睛】 本题考查指数型函数的应用，意在考查概括，抽象，计算应用的能力，属于基础题型. 21．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式，并画出函数的图象. 【答案】,图象见解析. 【解析】分三种情况讨论，在求的解析式时,关键是要根据图象,对的取值进行恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象. 【详解】 当时, 如图,设直线与分别交于C、D两点,则, 又 (2)当时, 如图,设直线与分别交于M、N两点,则, 又 (3)当时, 综上所述,图象如图， 【点睛】 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 22．已知定义域是R上的奇函数． （1）求a；

    （2）判断在R上的单调性，并用定义法证明；

    （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

    （4）设关于x方程有零点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）；

    （2）在R上单调递增，证明见解析；

    （3）；

    （4）；

    【解析】（1）根据奇函数的性质，，求；
    （2）根据（1）的结论，，变形为，利用单调性的的定义域证明；
    （3）函数是奇函数，不等式变形为，根据（2）可知，函数单调递增，所以恒成立，利用参变分离得恒成立，求的取值范围；
    （4）因为函数是奇函数，所以，所以，即：有零点，设，，转化为求函数的值域. 【详解】 （1）因为是R上的奇函数，所以，即：，∴，经检验，满足，所以． （2） ∴在R上单调递增，以下证明：
    对，且 由的单调递增性知 又，， ∴ ∴在R上单调递增． （3）由题意，对， 又 ∴ 又由（2）知：在R上单调递增 ∴ 令，易知其最小值是-4． ∴，即 （4）由题意知：有零点 即：
    在R上单调 ∴ 即：有零点 令：
    有零点 即：函数与函数有交点 易知：有最小值 ∴时，有零点． 【点睛】 本题考查指数型函数性质的判断，抽象不等式恒成立以及根据零点求参数取值范围，不管是恒成立求参数，或者根据零点求参数，都可以采用参变分离的方法，转化为求函数最值，或者求值域的问题.

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