4-维幂零李代数的Hom-Lie代数结构
林丽芳,曾月迪,陈梅香
(莆田学院数学与金融学院,福建 莆田 351100)
在研究向量场上Witt代数和Virasoro代数的量子形变时,Hom-Lie代数的结构得到了学者的关注与研究[1].Hom-Lie代数作为李理论的一个重要研究方向,与李代数有着十分密切的关系.近年来一些特殊李代数上的Hom-结构得到了充分研究,比如一个5-维可解李代数[2]、(n-3)-filiform李代数[3]、扭Heisenberg李代数[4]、李代数W(2,2)[5].作为一类重要的李代数,幂零李代数的结构和表示在李理论的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通过确定基元的方法给出了低维幂零李代数的分类.本文根据低维幂零李代数在同构意义下的分类,确定了4-维幂零李代数的Hom-李代数结构.
定义1[1]设L为域上的向量空间,带有线性映射α:L→L,L上定义一个乘法运算[-,-]:L×L→L(称为方括号),如果满足以下条件:
(i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ∀x,y∈L;
(ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ∀λ1,λ2∈, ∀x1,x2,y∈L;
(iii)[x,y]=-[y,x],∀x,y∈L;
(iv)Hom-Jacobi等式:
[(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y]]=0, ∀x,y,z∈L,
则称(L,[-,-],α)为域上的一个Hom-Lie代数,当α=Id时,Hom-Lie代数就为Lie代数.
GRAAF[6]对低维幂零李代数的结构做出了如下分类:
引理[6]设L是特征为0的代数闭域上维数等于4的幂零李代数,e1,e2,e3,e4是L的一组基,则在同构的意义下,仅有如下三类(其中没有写出来的基元方括号运算为0):
L4,1:[ei,ej]=0;
L4,2:[e1,e2]=e3;
L4,3:[e1,e2]=e3, [e1,e3]=e4.
下面研究4-维幂零李代数L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代数结构,也就是确定其上的满足Hom-Jacobi等式的自同态.
定理1 对于任何一个双线性同态映射α,(L4,1,α)均可构成一个Hom-Lie代数.
证明 因为L4,1是可交换李代数,基元上的方括号运算等于0,即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4,所以对于任何一个双线性同态映射α,α保持基元的方括号运算和Hom-Jacobi恒等式,也即(L4,1,α)构成一个Hom-Lie代数.
定理2 若(L4,2,α)是一个Hom-Lie代数,则Hom-同态α在L4,2的基元上的作用可表示为
其中,a11a24-a21a14=0,a12a24-a22a14=0,a31,a32,a41,a42,a34,a44为任意常数.
证明 假设Hom-同态α在L4,2的基元上的作用为
将α作用在[e1,e2]=e3上,可得[α(e1),α(e2)]=α(e3),即
[a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4.
根据L4,2的基元运算,比较两边系数有
a13=a23=a43=0,a33=a11a22-a21a12.
(1)
将α作用在[e1,e4]=0上,可得[α(e1),α(e4)]=0,比较两边系数有
a11a24-a21a14=0.
(2)
将α作用在[e2,e4]=0上,可得[α(e2),α(e4)]=0,比较两边系数有
a12a24-a22a14=0.
(3)
因为L4,2上的基元运算为[e1,e2]=e3,而e3与其他基元的方括号运算为0,所以α显然满足Hom-Jacobi等式:
[α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.
结合(1)(2)(3)式,即得Hom-同态α在L4,2的基元上的作用如定理2.
定理3 若(L4,3,α)是一个Hom-Lie代数,则Hom-同态α在L4,3的基元上的作用可表示为如下四种情况:
证明 假设Hom-同态α在L4,3的基元上的作用为
由于[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e4,即方括号运算结果仅含有e3,e4,而α保持方括号运算,比较运算两边系数可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系数都为0,即
b13=b23=b14=b24=0.
(4)
将α作用在[e1,e2]=e3上,可得[α(e1),α(e2)]=α(e3),比较两边系数,并结合(4)有
b11b22-b21b12=b33,
(5)
b11b32-b31b12=b43.
(6)
将α作用在[e1,e3]=e4上,可得[α(e1),α(e3)]=α(e4),比较两边系数并结合(4)有
b34=0,
(7)
b44=b11b33.
(8)
将α作用在[e2,e3]=0上,可得[α(e2),α(e3)]=0,比较两边系数并结合(4)有
b12b33=0.
(9)
因为L4,3上的基元运算为[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e4,e4与其他基元的方括号运算为0,α(e3),α(e4)中e1的系数为0,所以α显然满足Hom-Jacobi等式:
由(9)可知,b12,b33的取值分为b12=0,b33≠0;
b12≠0,b33=0;
b12=0,b33=0三种情况.
当b12=0,b33=0时,式(5)(6)(8)可化为
b11b22=0,
(10)
b11b32=b43,
(11)
b44=0.
(12)
由(10)可知,b11的取值分为b11=0和b11≠0两种情况.
当b11=0时,由(11)可知,b43=0,结合(4)(7)(12),即得定理3中第三种情况.
当b11≠0时,由(10)可知,b22=0,结合(4)(7)(11)(12),即得定理3中第四种情况.
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区长,各位领导,同志们:汛期已经来临,我区城区防涝工作面临强大考验,形势不容乐观。年初,区城区防涝排渍指挥部已经召开专题调度会,修订完善应急预案,建立网格化管理机...
【马克思主义】 日期:2024-03-18
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2024年镇作风整治工作实施方案(完整文档)
XX镇作风整治工作实施方案为深入贯彻落实党的二十大精神及省市区委深化作风建设的最新要求,突出重点推进干部效能提升,坚持不懈推动作风整治工作纵深发展,根据《关于印发《2...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案【优秀范文】
xx市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案为持续优化法治化营商环境,激发市场主体活力和社会创造力,规范行政执法行为,创新行政执法方式,提升行政执法质效,着力解...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
【三个代表】 日期:2024-03-18
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2024年公路养护中心主任典型事迹材料(完整文档)
“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
【马克思主义】 日期:2024-03-17