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    中英高中数学教材二项式定理内容的比较研究及启示

    时间：2023-01-14 16:30:09来源：百花范文网本文已影响人

    刘晓宇，郭 蕊

    (长春师范大学，吉林 长春 130032)

    二项式定理作为计数原理与计数公式的应用，是高中数学的重要内容。从新课程的三维目标来看，在知识与技能上，二项式定理与其他知识点相结合可以解决许多问题。人教版教材利用二项式定理计算集合子集的个数，Edexcel P2教材利用它估算高阶数值，发挥二项式定理的价值迫在眉睫；
    在过程与方法上，二项式定理运用“归纳—猜想—证明”的思维模式，为培养学生的数学思维创造了契机；
    在情感态度与价值观方面，二项式定理出自我国《详解九章算法》中的“杨辉三角”，二项式定理的学习是高中数学教学中开展德育教育的有利途径，实现二项式定理数学史在教学中的德育价值刻不容缓[1]。

    本文将着眼于中英两国教育在教材内容上的异同，选取二项式定理部分进行比较分析，以期对两国材有更深的认识，并得出启示。本文所选取的教材以中英两国现试行版本为蓝本，分别是《2019年新人教A版高中数学选择性必修三》以及2018年由英国剑桥大学出版社出版的Edexcel P2。两本教材在中英国家课程中占有重要地位，为本研究提供了有效的、可操作的材料[2]。

    1.1 教学要求比较

    教育教学离不开课程标准的指导。选取我国《普通高中数学课程标准》和英国《2017年A-Level教学考试大纲》中的二项式定理部分教学要求进行比较，见表1。

    表1 中英高中数学教学中二项式定理教学要求的比较

    从整体上看，我国课程标准对二项式定理部分的要求分为三个目标维度，更加注重学生的全面发展，是深刻完整的；
    英国数学考试大纲只在二项式定理的知识与技能方面作出了相应要求，偏向于对学生智育的培养，是具体详细的[3]。例如，在知识与技能方面，我国课程标准要求运用不同方法证明二项式定理，解决与二项式定理有关的简单问题；
    在过程与方法方面，我国课程标准鼓励学生通过学习二项式定理的证明过程感受从特殊到一般、从个别到整体的归纳思想，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的数学思维能力；
    在情感态度与价值观方面，我国课程标准通过对“杨辉三角”的学习感受中华数学史的博大精深，体会中国古代的数学文化，提高学生的数学学习兴趣，培养学生的爱国情怀。而在英国数学考试大纲中，教学重点放在对二项展开式的运用及二项式系数的计算上，要求通过帕斯卡三角形探索二项展开式，灵活运用二项展开式的规律求单个系数，进而探索二项式定理的用途，包括估算高阶数值、求表达式的近似值等。相比中国的课程标准，英国数学考试大纲中没有提到二项式定理的证明方法，也没有提到数学教学的德育渗透，不够全面和深刻。

    1.2 内容分布设置比较

    从内容选取来看，中英两国对二项式定理的证明都运用了数学归纳法，先给出式子(a+b)3、(a+b)4及(a+b)5，由特殊到一般，归纳总结二项展开式指数和系数的规律，然后对其内容拓展练习。但在探究(a+b)n展开式的证明过程中，两本教材采用了不同的数学史知识。人教版教材选取了我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的数字三角形阵——“杨辉三角”；
    而英国教材中则引用了法国数学家帕斯卡的“帕斯卡三角形”。两者在内容上如出一辙，但究竟是谁首先发现了二项展开式系数的规律？对于这一争论，中国学者作出考证，“杨辉三角”最早出现于《释锁》一书，可推断我国数学家发现此表不晚于11世纪；
    而帕斯卡的算术书出版于1527年，“杨辉三角”的发现比欧洲要早500年左右。二项式定理的发展之路详见表2。“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，中国教材将数学知识与数学历史相结合，使学生感受到了数学史强大的文化魅力[4]。

    表2 二项式定理的发展历程

    在内容编排顺序上，两国教材前后章节的连接有所不同。从整个章节来看，人教版教材将二项式定理作为第六章计数原理中的一节，前后贯穿排列组合与随机分布，优势是便于运用组合总结二项式定理的一般式，但缺点是本小节内容缺乏存在感，学生容易忽视二项式定理的深入学习；
    而在Edexcel P2教材中，二项式定理作为独立的章节供学生学习，这样可以加深学生对二项式定理的重视程度，有利于深入探索和学习。从章节内部来看，人教版分为二项式定理、二项式系数的性质和“杨辉三角”的性质与应用三个部分；
    Edexcel P2则分为五个小节，分别是帕斯卡三角形、阶乘符号、二项式定理展开式、解二项式定理问题、利用二项式定理估值。可见，人教版对二项式定理的研究更广泛，Edexcel P2教材对二项式定理的研究更深入。

    1.3 教材编排方式比较

    中英两国教材在编排方式上有所不同。人教版教材主要采用螺旋式排列，以引导探究式教学为主，教材设立了探究模块，先总结常见幂级数二项展开式的规律，随后引导学生用所学的计数原理写出其展开式，由简到繁层层深入。这种方法有益于学生具备逻辑思维，逐步获取知识经验；
    但缺点是重复过多，浪费时间。英国Edexcel P2教材则大多采用直线式排列，以目标接受式教学为主，开篇交代本章的学习目标，进入课程后将帕斯卡三角形呈现给学生，学生将知识点加以内化。结尾给出要点总结，包括帕斯卡三角形规律、二项式系数的性质、排列、组合、二项展开式、第n项的一般式和估值七个部分。教科书的很多知识点都是通过学生自行探究、动手交流实现的。优点是它可以避免不必要的重复，易于巩固所学的知识；
    但这种方式适合思维能力较强的学生，不利于激发学生学习数学的兴趣。

    1.4 教材例题习题比较

    对于二项式定理例题和习题，两教材都是先举出例题解析，每小节末尾搭配对应的练习，章节最后给出习题，由浅到深，由易到难，层层递进，但题量和题型难度略有不同[5]。

    从题量来看，两本教材的习题数量差异较大。人教版教材的题量少，习题具有代表性；
    而英国教材题量大，详细具体。如中国《选择性必修三》中有28道习题；
    英国Edexcel P2中有94道习题。从细节来看，英国教科书多数习题设置在课时训练中，中国教科书的习题大多设置在章节复习中。中国教科书中习题的分布为3道例题、9道课时练习、16道章节复习；
    英国教科书的习题包括9道例题、66道课时练习、28道章节复习。

    中英高中数学教学中二项式定理例题的比较见表3。从题型来看，中英两国教材都提到求正整数幂的展开式，如中国教材要求求奇数项和偶数项的二次项系数的和，英国教材要求列出展开式的前几项，都是二项式定理展开式的应用。不同点是中国教科书的习题在英国教科书中都能找到，但是英国教科书中的一些习题在中国教科书中没有体现[6]。比如，英国教材利用近似函数估算高阶数值、求取高阶多项式乘积的展开式、计算概率的近似表达式等，中国教材的这些内容被安排在大学阶段的数学分析中进行学习，在高中教材中没有提及。可以看出英国教科书比较注重二项式定理的深入学习，除了要求利用二项式定理解决生活中的实际问题外，还附带高阶数值等更高层级的知识点。

    表3 中英高中数学教学中二项式定理典型例题的比较

    2.1 在教材要求的设置上，教科书需要注意知识的整合性

    中国课程标准对二项式定理部分的要求贯穿知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度，比较全面；
    英国考试大纲虽然只在知识与技能上作出了相应要求，却比较注重知识的整合性，包括第一课时中二项式定理与多项式和多项式乘积的整合，第三课时中二项式定理与估值的整合，以及章节练习中二项展开式与概率的整合等。二项式定理是解决数学问题的有力工具，如何将新旧知识有效地结合起来值得我们思考，如何发挥教科书知识间的整合性值得深入研究。

    2.2 在内容分布的设置上，教科书要处理好数学史的培养教育问题

    英国教科书不惜篇幅地讲解帕斯卡三角形，强调帕斯卡三角形在欧洲数学史上的教学地位[7]，但事实上，“杨辉三角”的发现比欧洲要早500年左右，是中国数学史的文化瑰宝。我国教科书对“杨辉三角”的相关数学史内容并不是没有考虑，只是全都设计在数学探究中，将“杨辉三角”的性质与应用以研究报告的形式进行展示，与教科书正文内容的联系不够密切。很多学校的教师没有为学生开设相关专题讲座，其原因主要是高考不涉及这些内容，很多一线高中教师对数学史的重视程度不够。中国数学史是我国优秀传统文化的一部分，是需要我们学习并传承的。在教学中，可以指导学生通过对“杨辉三角”的学习，感受中华文化的博大精深，将智育与德育相结合，培养学生的爱国情怀。

    2.3 在编排方式的设置上，教科书应注重培养学生的“四基”及核心素养

    新课标下的“四基”是指培养学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。英国教科书总体遵循直线顺序编排几何知识内容，但也存在小螺旋编排结构。比如，“引言”交代学习目标，“结语”总结教学任务。我国高中数学课程采用以呈螺旋式上升方式编写的教科书，比如采用设问的方法计算常见幂级数的二项展开式等。两种编写方式各有所长。教科书可以将探究式学习与目标总结式教学联系起来，这样既可以引导学生自主探究学习，又可以使学生明确自己的学习任务。在强调知识点的同时，潜移默化地指导学生学会自我探究、归纳总结。

    2.4 在例题习题的设置上，教科书要注意学生认知发展规律

    英国教科书将二项式定理与估值、概率相结合，设置了一些具有创新性、挑战性、综合性的题目。中国教科书不涉及估值的学习，所以习题的难度相对简单，题型的选择相对统一。例题习题的设置要遵循学生认知发展规律，由简到繁，由易到难。中学生对客观世界的认识具有循序发展的规律，即由感知、理解、识理、会通到灵活运用。例题习题的设置要根据难易程度合理安排，不同类型的题量设置也要不同，因材施教才能做到灵活贯通。另外，题型的选取不能过于单调，要注重熟能生巧，培养学生的数学思维，提升其数学学习能力。

    本文对我国新人教A版高中数学选择性必修三和英国的Edexcel P2两本教材中的二项式定理进行比较研究。中外教材各有所长，我们不能一味地肯定国外教材的优点，空泛地学习他国文化[8]。应在对本国教材认同的基础上对国外教材进行研究，取其精华，弃其糟粕，逐步完善我国高中数学教科书的编写。

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