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    与Hermite-Hadamard不等式有关的两个函数生成的不等式

    时间：2023-01-18 13:45:44来源：百花范文网本文已影响人

    时统业

    （海军指挥学院，江苏 南京 211800）

    对于[a,b]上的凸函数f若

    则式（1）称为Hermite-Hadamard不等式. 关于Hermite-Hadamard不等式的改进推广和加细可见文献[1-18].

    定义1设f:[a,b]→R，如果存在常数M，使得对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1) -f(x2)≤M x1-x2，则称f是[a,b]上的M- Lipschitz 函数.

    文[4]引入了两个可以加细Hermite-Hadamard不等式左边部分的定义在[0,1]上的函数，文[6]对于Lipshitz函数研究了涉及这两个函数的不等式，文[12]给出了一个Hermite-Hadamard不等式的推广：

    其中f是[a,b]上的凸函数，p∈(0,1).

    文[17]证明了当f是定义在[a,b]上的M- Lipschitz 函数时，F(t)是函数，特别地有

    本文将建立一些不等式，包括不等式（2～4）的加强. 在证明双边不等式时，因为当f是定义在[a,b]上的M- Lipschitz 函数时，( -f)也是定义在[a,b]上的M- Lipschitz 函数，在证明了右边不等式之后对( -f)应用已证结果则左边不等式也得证，所以我们只证明右边不等式.

    定理1设f是定义在[a,b]上的M- Lipschitz 函数，则对任意t∈(0,1)有

    推论1设f是定义在[a,b]上的M- Lipschitz函数，则对任意t∈(0,1)有

    将式（11）与式（13）相加，则式（9）从右边数起的第二个不等式得证. 又由函数 x2的凸性，式（9）的右边第一个不等式得证.

    定理3 设f是定义在[a,b]上的 M- Lipschitz函数，则对任意t∈[0,1)有

    证明 对任意常数 ε∈[ 0 ,b-a]，有

    对任意常数 ε∈[(b-a)]，有

    对任意常数 ε∈[ 0 ,b-a]，有

    综上所述，对任意常数 ε∈[(b-a)]，有

    注1在式（14）中取t=0可知式（16）当t=1也成立.

    推论2设f是定义在[a,b]上的M- Lipschitz 函数，则对任意t∈[0,1]有

    注2由定理2的式（9）及定理3的式（14）可知对任意t1,t2∈ [ 0,1]， 0 ≤t1＜t2≤ 1，有

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