求解TSP的变邻域蝙蝠算法
朱德鑫,蔡延光
(广东工业大学自动化学院,广东广州,510006)
旅行商问题(Traveling Salesman Problem,TSP)是一个经典的NP-hard组合优化问题。该问题具有重要的工程应用价值,在车间调度、物流运输等领域都有其应用。
蝙蝠算法(BA)是一种受启发于蝙蝠觅食行为的算法,最早由Yang Xin-she于2010年提出。自然界中蝙蝠利用自身独特的生物结构,通过超声波探测的信息定位周围环境和猎物,以进行规划飞行路线和捕食猎物。蝙蝠算法就是模仿此类行为而创造的一种新型群体智能优化算法。目前在车间调度、工程优化等领域中均得到应用。
本文提出一种变邻域蝙蝠算法(VNBA),在传统蝙蝠算法上混合三种变邻域策略改善算法局部特性,同时加入惯性权重平衡算法前期的全局搜索和后期的局部搜索,改善传统算法易陷入局部最优的困境。
旅行商问题可以描述为:一名销售员需要去往N个城市进行销售,已知各个城市的具体位置以及城市与城市间的具体距离,现需要规划一条路线,使得该路线能够经过每一个城市,且每个城市仅被经过一次,并最终回到出发点,同时总行程最短。假设遍历所有城市后形成的路线为:,则最短路径的求解为:
其中,式(1)表示最小化路程,式(2)表示两个城市间的距离。
2.1 蝙蝠速度和位置更新
蝙蝠算法的速度、位置更新公式如式(3)(4)(5)所示。其中β∈[0, 1]是从均匀分布中抽取的随机量。fmin和fmax代表种群脉冲频率上下限,fi代表第i只蝙蝠个体的脉冲频率,x*则代表当前代数下全局最优的蝙蝠所处位置,表示t+1时刻下蝙蝠个体的位置和速度。
2.2 蝙蝠响度和发射频更新
当蝙蝠最优解更新时,调整蝙蝠个体响度A和发射频r:
2.3 变邻域策略
虽然在求解较为复杂的组合优化问题上,蝙蝠算法具有较好的全局搜索能力,但在求解后期时,蝙蝠算法容易出现收敛精度较低和陷入局部极值的问题,为此加入三个邻域策略,以提高算法的搜索性能。
(1)2-opt策略
(2)exchange策略
(3)insert策略
在变邻域蝙蝠算法的迭代过程中,为使局部搜索性能更优,搜索空间更为多样性,将同时使用以上三种策略,在对当前某个蝙蝠个体的解Xi使用某一邻域搜索后产生新解Xnew,若新解比原解更优则替换掉原解且在当前邻域中继续搜索,否则保留原解进入下一个邻域搜索,达到设定的迭代次数后,停止邻域搜索并保留邻域搜索最优解。
2.4 惯性权重
由蝙蝠算法速度更新公式可知,当蝙蝠算法的速度更新时,会将当前蝙蝠与全局蝙蝠对比更新以此达到加快收敛速度的目的,但这也容易让蝙蝠算法陷入局部最优,为了平衡好算法的全局和局部的搜索能能力,使得蝙蝠算法能够在算法搜索的前期能有更好的全局寻优能力,在算法搜索的后期能有更好的局部寻优能力,此处在蝙蝠速度更新中加入惯性权重ω,加入惯性权重后的公式如式(8):
其中ω的设置为了契合旅行商问题,将其离散化,具体权重ω如式(9):
其中,t为算法当前迭代次数,T为全局最大迭代次数。由式子可知,在算法前期,惯性权重较小,增强全局搜索能力,后期惯性权重大,使得与上一代蝙蝠的关联性增大,提升局部搜索能力。
2.5 算法步骤
在蝙蝠算法中加入三种变邻域优化策略和惯性权重后,VNBA算法步骤如下:
Step1:初始化变邻域蝙蝠算法种群。
Step2:通过计算个体适应值找出蝙蝠种群中的最优蝙蝠蝙蝠,并记录对应个体的位置及其适应度值。
Step3:根据公式(1)(9)(3)更新每一只蝙蝠的脉冲频率fi、速度vi和位置xi,求解当前每只蝙蝠对应的适应度值,并与上一代的适应度值做比较,保留更优的个体。
Step4:随机生成一个随机数R1,若R1大于ri,则将全局搜索的最优蝙蝠个体进行三种变邻域搜索,否则保留原来的最优蝙蝠个体。
Step5:再随机生成一个随机数R2,若该数R2小于当前蝙蝠个体的响度Ai且新个体的适应度优于原个体的适应度时,则接受Step4中的个体解。同时更新个体i的响度A以及其脉冲发射率ri,否则不对其响度以及脉冲发射率进行更新。
Step6:计算全部个体对应的适应度值并作对比排序,寻找到当代全局最优解。
Step7:重复步骤Step3到Step6,直到迭代次数超过最大迭代次数时停止迭代,并且输出全局最优解。
实验选取5组TSP标准算例作为实验算例,并与遗传算法(GA)和蚁群算法(ACO)作对比。VNBA算法参数为:种群大小N=100,脉冲频率fmin=0,fmax=1、脉冲响度A=0.9、脉冲发射率ri=0.9、常数α=0.9,γ=0.9、惯性权重ωmin=0.2,ωmax=1;
GA算法参数为:种群大小N=100,变异概率Pm=0.05、交叉概率Pc=0.95、代沟GGAP=0.9;
ACO算法参数参数为:种群大小N=100,信息素因子α=1,启发函数因子β=5,信息素挥发因子ρ=0.1,信息素释放总量Q=1。每组算例测试20次。
由表1可知,VNBA算法Oliver30和Att48能找出最优解,其优化后的路径如图1、2所示。在求解50个点以上的TSP算例时,VNBA也能寻找到较优的解,且误差都在5%以内。同时VNBA的在各个算例的最优解都要优于GA、ACO算法的解,证明VNBA在求解TSP问题时的全局寻优性能更优。同时VNBA在各个算例中的平均解也更优,且平均解和最优解的差距较小,证明了VNBA算法也有较好的求解稳定性。
表1 各算法性能对比分析
图1 VNBA优化后的Oliver30路径图
图2 VNBA优化后的Att48路径图
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【马克思主义】 日期:2024-03-17