哥德尔与人工智能

陈 龙

说起人工智能，我们可能首先会想起著名的1956 年达特茅斯会议①有关人工智能详细的历史和发展，可以参见尼克：《人工智能简史》，北京：人民邮电出版社2021年版。，以及其后尤其是近些年来人工智能在定理证明、棋类竞技和语言处理等方面取得的非凡成就。除了和传统的身心问题这一哲学难题密切相关之外②如果我们将“身”的概念推广到包括“脑”，而且假定大脑的运作和机器基本无异。，人工智能引起人们极大兴趣的另外一个主要原因是其令人瞩目的进展为人类提供的反思契机：人类智能的本质是什么，它一定胜过人工智能吗？事实上，早在1950 年，被誉为“计算机科学之父”与“人工智能之父”的阿兰·图灵（Alan Mathison Turing）就在“计算机与智能”①Allen Turing,“Computing Machinery and Intelligence”,Mind,1950,Vol.49,No.236,pp.433-60.的论文中第一次提出了用机器来实现智能的想法，并设计了一种后来被称为“图灵测试”的模仿游戏来验证机器是否具备智能。虽然对“图灵测试”这一行为主义标准能否刻画人类智能一直都有质疑②最著名的反对意见便是塞尔的“中文屋论证”。John R. Searle,“Minds, Brains, and Programs”, Behavioral and Brain Sciences,1980,Vol.3,No.3,pp.417-57.，但是图灵的工作是奠基性的，他不仅为机器智能提供了“图灵机”这样一个足够精确的模型，并且还设想了这一模型可能的延伸和推广，使得我们关于人工智能范围和限度的讨论不再只是单纯的思辨和想象，而是建立在一个稳定而坚实的立足点之上。诚然，我们对人类智能本质的理解还缺乏清晰的认识，传统上以问题解决为核心的模型还未充分考虑到环境交互和学习试错等其他因素，我们同样也面临着现有模型对随机性和复杂度考量之不足以及未来可能模型的多样性的挑战。然而，如果单纯从逻辑和数学这个更为抽象而非可行性的角度来考察的话，我们可以将机器能否具有智能这一稍显含糊的问题规约为机器能证明的数学是否和人类一样多这个更加清晰的问题，即从证明数学命题外延的角度来比较理想的人类心灵的数学能力和理想机器的数学能力强弱。以此为焦点，哥德尔不完全性定理（Gödel’s Incompleteness Theorem,以下简称GT）便扮演了一个重要角色，因为它一劳永逸地为形式系统③一个形式系统可以看做是一台理想的证明定理图灵机。在数学领域内的证明能力划定了界限。哥德尔不完全性定理是为了解决1900 年希尔伯特提出的20 世纪需要解决的23 个数学问题之一所得的划时代数学结果④哥德尔是为了解决分析希尔伯特第二问题，即分析的一致性。更确切的说，哥德尔是在他试图解决分析相对于算术的一致性过程中发现其不完全性定理的，具体的细节可以参见他1970 年写给Yossef Balas 的信件。Kurt Gödel,Collected Works,Volume Ⅳ,Oxford:Oxford University Press,2003,p.9-10.。而100 年后美国数学家斯梅尔也设想了21 世纪需要解决的18 个数学问题,其中的第18 个问题便是“人类智能的极限和人工智能的极限是什么？”⑤Steve Smale,“Mathematical Problems for the Next Century”, The Mathematical Intelligencer, 1998, Vol.20, No.2,pp.7-15.并且指出,这个问题与哥德尔不完全性定理密切相关。哥德尔不完全性定理可以按照下述形式陈述⑥以下表述源自王浩。参见王浩：《哥德尔思想概说》，《科学文化评论》2004年第6期，第79-86页。：

GT 数学是不可穷尽的。

GT1 每个一致的形式数学理论一定包含不可判定的命题。

GT2 没有定理证明机器（或程序）能够只证明全部真的数学命题。

GT3 没有既一致又完全的形式数学理论。

GT4 数学是机械上（或算法上）不可穷尽的（或不可完全的）。

简单说来，哥德尔定理揭示了数学（甚至算术）的算法上的不可穷尽性（或不可完全性）。按哥德尔的看法，算法上不可穷尽这个事实，表明了不是人心胜过计算机，就是数学不由人心创造，或二者皆真。因此，这个定理和心灵与机器的数学证明能力有着明显的关系。一方面，人们确实很难抵挡从GT 这个确定的数学定理出发去试图证明“人心胜过机器”这一哲学论断，哥德尔自己以及著名“卢卡斯—彭罗斯论证”便是从这个角度出发去论证心灵与机器、人类智能与人工智能之间的关系的。另一方面，作为GT 哲学基础之一的“形式系统”概念便是由图灵所定义的“机械程序”——也等价于图灵机。吊诡的是，虽然哥德尔认为图灵的定义是“精确且毫无疑问充分的”，但是他同时也认为图灵的论证中包含一个“哲学错误”从而导致其论证有可能会被误解为支持“人类心智活动不可能超越任何机械程序”。本文拟从哥德尔对GT 的哲学意蕴以及他对图灵关于机械程序定义的看似不一致的评论出发，结合最新的哲学与人工智能方面的进展，对哥德尔与人工智能的关系做一个初步的探讨。

关于心脑与机器关系问题的争论也许最早可见于波斯特（E.Post）关于人心比机器优越的猜想。1921年波斯特就设想过大致相近的不完全性理论并推断①1941年波斯特写了“Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions-Account for an Anticipation”，其中便包括他于1921年起涉及到不完全性的部分笔记，全文首次公开发表于1965年。：

数学家远远不只比机器更灵巧，能更快地做到机器最终可以做到的事情。我们看到，机器永远不可能提出完备的逻辑，因为机器一旦造成，我们总能证明一个它不能证明的定理。②Emil Post,“Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions-Account of an Anticipation”,in Martin Davis(ed.),The Undecidable,New York:Raven Press,1965,p.417.

然而经过斟酌之后波斯特不久就修正了这个“看似草率”的推论：

“人不是机器”这个结论不能成立。我们所能说的只是，人无法制造一部能做出人类所有思考的机器。要说明这一点，我们可以想象制造一部能够证明相类于其自身心理运作的定律的“人—机器”复合体。③Emil Post,“Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions-Account of an Anticipation”,p.423.

1961 年，牛津哲学家卢卡斯（John Lucas）提出了类似波斯特上述第一个想法的论证④John R.Lucas,“Minds,Machines and Gödel”,Philosophy,1961,No.36,pp.112-127.，以GT 为基础来论证人心胜过机器的反机械论论证。卢卡斯的论证极具争议，引发了各种辩论和反对意见⑤Paul Benacerraf,“God, the Devil, and Gödel”, The Monist, 1967, No.51, pp.9-32; David Lewis,“Lucas against Mechanism”,Philosophy,1969,Vol.44,No.169,pp.231-233.，但也不乏支持者，其中最有名的是英国数学家、物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）。在1989年出版的《皇帝的新脑》一书中⑥Roger Penrose,The Emperor’s New Mind,Oxford:Oxford University Press,1989.中，彭罗斯不仅对卢卡斯的论证作了扩展，并且还从意识和量子力学等新的角度试图从GT出发直接论证“人心超过计算机”的结论。鉴于二者论证的若干相似之处，我们将类似的从GT出发为人心胜过机器辩护的论证称为“卢卡斯—彭罗斯论证”①此处我们不特别关注卢卡斯与彭罗斯论证的差异。有关彭罗斯论证的反对意见及讨论，参见：George Boolos,“On‘Seeing’the Truth of the Gödel Sentence”, Behavioral and Brain Sciences, 1990, Vol.13, No.4, pp.655-656;Martin Davis,“Is Mathematical Insight Algorithmic?”Behavioral and Brain Sciences,1990, Vol.13, No.4, pp.659-660;刘大为：《哥德尔定理：对卢卡斯—彭罗斯论证的新辨析》，《科学技术哲学研究》2017年第4期，第25-30页。。

卢卡斯—彭罗斯反机械论论证的核心可以表述如下：

无论我们造出多么复杂的机器，只要它是机器，就将对应于一个形式系统，那么依照哥德尔构造不可判定命题的方法就能找到一个在该系统内不可证的公式。机器不能把这个公式作为定理推导出来，但是人心却能看出它是真的。因此这台机器不是心灵的一个充分的模型。人们总想制造心灵的一种机械模型，即从本质上是“死”的模型，而心是“活”的，它总能比任何形式的、僵死的系统干得好。多亏了哥德尔定理，心灵总有最后的发言权。②John R.Lucas,“Minds,Machines and Gödel”,p.116.

如果我们将“机器”理解为生成定理的图灵机，那么由于形式系统定义的精确性以及不可判定命题的构造性，卢卡斯的上述论证从技术上而言似乎是不可反驳的。但是其反对者的主要理由是他对GT的运用，即到底是“人心能看出它‘不可判定语句’是真的”还是说“如果人心是一致的，那么人心能看出它是真的”？卢卡斯的论证若要成功，还需要一些其他的理想化假设，即“理想的”人心确实是一致的，并且我们也能认识到（或证明）这一点，而这些假设至少从哲学上而言是需要辩护的。考虑一个从上述角度出发的典型的反对意见，比如按照刘易斯的观点，卢卡斯的论证可以被看作是在为如下超穷的推理规则辩护：

R：如果S 是一个语句集，并且C 是对应于这个语句集的一致性语句的话，那么可以从S推出C。

相比于作为定理证明机器的任何形式系统F，人心，如果是一台机器的话，那么它在证明能力方面要比F 更强大，因为它还可以使用R 这条系统的推理规则。R 显然是一条可靠的规则：如果前提S 中的所有语句都是真的话，那么S 必定也是一致的，所以C 一定也是真的，因而R 是一条保真的推理规则。由于任何形式系统或机器都不能推导出它自身的一致性语句（否则会和GT 矛盾），但是能够使用规则R 的人心却可以③这里当然还需要假设人心能够使用形式算术系统（比如说皮亚诺算术PA）通常的其他规则，因此人心的算术能力至少和PA一样强大。，所以人心胜过任何机器。但是，刘易斯认为卢卡斯的论证不是决定性的，因为为了达到他的目标，他还需要额外论证我们有足够的能力去验证（verify）人心所能输出的所有定理。但是和一般的形式系统不同，由于使用了R 这条超穷规则，我们可能会面临一些有无穷多前提的证明从而不能保证这种验证一定会成功④卢卡斯后来回应说我们不需要心灵的所有定理输出，而只需要一个就足矣，但是刘易斯认为这种说法同样也有问题。参见John R.Lucas,“Mechanism:A Rejoinder”,Philosophy,1970,No.45,pp.149-151;David Lewis,“Lucas against Mechanism Ⅱ”,Canadian Journal of Philosophy,1979,Vol.9,No.3,pp.373-376.。

事实上，哥德尔自己对到底能从他的不完全性定理推出何种哲学结论也有过仔细的论证和思考，他的结论要显得更为谨慎。从最早公开发表的文本来看①哥德尔的析取式论证是他在1951年的吉布斯讲座上提出来的，而这篇演讲稿直到1995年全集第三卷才正式出版，他与王浩的对话在1974年就已经公开发布。，哥德尔认为由他的定理并不能直接得出下面所需结论：

另一方面，根据现有证明，仍然可能有（甚或真可以发现）实际上相当于数学直觉（即心灵的数学能力）的定理证明机器，但这却不可能证实；
我们甚至不可能证明，这样一部机器在证明有限数论定理时一定产生正确结果。②Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.

换言之，哥德尔定理并没有排除制造出实际上相当于数学心灵的机器M的可能性。但若真有这么一部机器，哥德尔用他的定理推断出两个结果：

A.不可能证明M真的有此能力；

B.也不可能证明它只产生正确定理。

假设我们可以证明M 只产生正确定理，这样的话我们就证明了M 的一致性。根据关于M 的假设（即它的能力相当于数学心灵），M 就应该能够证明它的一致性，这和哥德尔定理是直接矛盾的，因此B必然成立。类似的，如果我们假设“心灵能力”是正确而不会出错的，“证明”是指比较强的数学证明而非大概率的经验归纳的话，我们同样可以证明A也成立。

用哥德尔自己的话说，这一结果表明的是如下这个更为普遍的现象：

人类心灵不能够把他所有的数学直觉公式化或机械化，亦即，他如果能把某些直觉公式化，这一事实本身就会产生新的直觉性知识，例如这个公式化过程的一致性。这可称为数学的“不可完备性”（incompletability）。②Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.

数学直觉的不可或缺性以及数学真理的不可完备性是哥德尔数学哲学中的两个核心要点，也是从GT中能直接得到的最确定最可靠也许同时也是最强的哲学结论。在1951年《数学基础中一些基本定理及其推论》这一演讲中，哥德尔试图给出了一个比上述结论更为精细的一个论证，它就是著名的析取论题：

或者数学在如下意义上是不完全的，它那些显然的公理永远不能包含于一个有穷的规则中，也就是说人类心灵（即使在纯数学领域内）无穷地超出了任何有穷机器（或算法）的能力，或者存在着绝对不可解（absolutely undecidable）的数学问题。③Kurt Gödel,“Some Basis Theorems on the Foundations of Mathematics and Their Implications”,in Gödel,Collected Works,Vol Ⅲ,Oxford:Oxford University Press,1995,p.310.

后来的学者们将这个论证称为“哥德尔析取式论证”（Gödel’s Disjunctive Argument，以下简称GDA）①围绕GDA 的综述，国内已有不少学者专门讨论过，比如邢滔滔：《哥德尔定理正反观》，《科学文化评论》2008 年第2期，第86-108页；
郝兆宽：《哥德尔针对物理主义的一个论证》，《逻辑学研究》2014年第3期，第1-11页。。GDA中的第一个析取支断定的是人类心灵的抽象能力，它超出任何有穷机器，即便是在数学知识这个领域范围之内；
第二个析取支断定的是关于数学知识的界限：存在着永远不可判定，永远不能被人类所知的数学真理或命题。从不完全性定理出发大部分关于心灵和数学知识本性的讨论都基于此论题之上，大致可以分为三种观点：1）支持GDA，但是对两个析取支的哪一个为真保持未知状态，甚至认为它是不可知的；
2）支持第一个析取支为真（即人类心灵胜过机器）；
3）支持第二个析取支为真（即存在着绝对不可判定的数学真理或命题）。很多证据②比如哥德尔在与王浩的谈话中的一些论述。Wang Hao,“On Physicalism and Algorithmism: Can Machines Think?”,Philosophia Mathematica,1993,Vol.1,No.2,p.119.显示哥德尔本人从他的理性乐观主义出发倾向于相信第一个析取支为真，但是他认为不完全性定理本身还并不足以得出这个结论。

关于卢卡斯—彭罗斯以及哥德尔析取式论证最前沿同时从技术性角度而言也是最精致的讨论出现在科尔纳（Peter Koellner）的系列文章中③参见Peter Koellner,“On a Purported Proof That the Mind Is Not a Machine”,Thought,2018,Vol.7,No.2,pp.91-96;Peter Koellner,“On the Question of Whether the Mind Can Be Mechanized, I: From Gödel to Penrose”, Journal of Philosophy,2018,Vol.115,No.7,pp.337-360;Peter Koellner,“On the Question of Whether the Mind Can Be Mechanized,Ⅱ:Penrose’s New Argument”,Journal of Philosophy,2018,Vol.115,No.9,pp.453-484.。在科尔纳看来，即便是从比较理想的心灵与理想的机器的数学产出这么一个更加确定的角度来讨论心灵与机器的优劣问题，我们仍然很难从GT得出“心灵无法被完全机械化”这么一个反机械论论题④下文中我们用WMT 代表心灵可以被机械化这个弱机械论论题（weak mechanic thesis），因而“心灵无法被完全机械化”就可以表示为“¬WMT”。。一方面，从哲学角度考虑，“理想心灵”和“理想机器”这种核心概念的表述本身就包含了过多的理想化假设，使得它们的精确含义成疑，要得出任何富有成效的讨论结果似乎也很难。另一方面，如果我们抛开这些哲学疑虑而用更加精确的技术定义给上述概念一个确定含义的话，最终得到的技术性结果也是一个平凡的哲学结论，很难具有卢卡斯—彭罗斯或是哥德尔所希望的那样。具体来说，如果采用一个不分层（type-free）的关于真概念T 的公理化形式系统DT，然后再加上关于绝对可证性（等价于理想的人类可知性）K的一个不分层的公理系统以及K和T之间的一些基本桥接原则⑤比如说绝对可证的都是真的，即＆x(Kx∀Tx)，等等。，我们可以在DTK 系统中将弱机械论论题（WMT）表述为∃eK(K=Fe)⑥e是以自然数为论域的变元，这里的Fe表示的是某台理想的图灵机。K=Fe表示K和Fe有着同样的数学产出。。奇怪的是“非机械论论题”（¬WMT）这个语句在DTK 系统中可以被证明是不可判定的，即¬WMT 既不能被证明，也不能被驳斥（WMT也不能被证明）。因此，即便表述哥德尔析取式论证的这个析取式语句有确定的真值，在足够充分的假设条件下，我们本身也没有办法得知其真假，要想从GT 出发得出任何非平凡的哲学结论一定需要更多的哲学或是技术上的论证。科尔纳认为他的这一结论具有足够的普遍性，也就是说即便我们加强有关T 或是K 的公理，¬WMT依旧很可能是不可判定的。但是他并没有完全排除其他可能性，在他看来，留给目前学者最大的挑战是：寻求一个更加精细的包含绝对可证性和真谓词的形式理论来判定WMT，如果我们想从GT得出任何确切的哲学结论的话。

考察哥德尔对人工智能看法的另外一个有趣的角度便是从他对图灵关于机械程序定义看似前后矛盾的双重态度，这不仅有助于我们更好地理解图灵机以及其他更加复杂模型在人工智能中所扮演的角色，也能更好地看出哥德尔和图灵在克服纯粹的机械主义和形式主义上殊途同归的努力。

作为机器智能模型最重要概念之一的“机械程序”也可以等价于“算法”或是“可计算程序”，在1936年以前它还只是一个直观的、非形式化的概念，可以大致理解为它是一个在有限的时间内、根据明确规定的运算规则、在有穷步骤内得出确切计算结果的机械步骤或能行可计算程序。在两千多年的数学实践中，这个直观的概念经常就足够清晰和明确了，比如说欧几里得关于求两个数最大公约数的方法便是人们最熟悉的经典算法之一。然而为了一些限定性问题比如一阶逻辑中的可判定问题，我们往往需要一个更加精确的数学定义。似乎奇迹般地在1936 年同时出现了好几个定义①他们分别是图灵、克里尼、丘奇和波斯特，相应的文章参见Allen Turing,“On Computable Numbers,with an Application to the Entscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical Society, Vol.42, No.1, pp.230-265; Stephen Kleene, General Recursive Functions of Natural Numbers, in M. Davis (ed.), The Undecidable, New York: Raven Press, 1936, pp.236-253; Alonzo Church,“An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory”,American Journal of Mathematics,1936,Vol.58,No.2,p.345;Emil Post,“Finite Combinatory Processes—Formulation I”,The Journal of Symbolic Logic,1936,Vol.1,No.3,pp.103-105。克里尼的工作主要是对哥德尔工作的一个扩展。波斯特和图灵的工作是完全独立的。，而且他们都被证明是外延等价的，所有能行可计算或是机械程序可计算的函数恰好就是一般递归函数或者图灵可计算函数，这个论断今天几乎被所有人毫无疑虑地接受，它就是著名的“丘奇—图灵论题”（Church-Turing Thesis）。事实上，哥德尔一开始也提出过等价于上述定义的一般递归概念，但是他并不确信自己的概念囊括了所有的递归形式及机械程序，只有在他读到图灵关于机械程序的分析之后才完全信服②有关哥德尔在丘奇—图灵论题发展中的角色以及这段极有意思的历史，参见Martin Davis,“Why Gödel Didn’t Have Church’s Thesis”, Information and Control, 1982,Vol.54, No.1-2, pp.3-24; Solomon Feferman,“Kurt Gödel:Conviction and Caution”,Philosophia Naturalis,1984,Vol.21,No.2,pp.546-562。，尤其是他认为图灵的分析使得不完全性定理可以以一种最为普遍的形式表述出来。在写于1965年关于1934年普林斯顿讲座的一段非常有名的附加说明中，哥德尔直言：

鉴于后来的发展，尤其是图灵的工作，我们现在可以给出关于形式系统这个概念的普遍定义，这个定义是精确且毫无疑问充分的。对于所有包含若干有穷数论的一致的形式系统，都存在不可判定的算术命题，并且这个系统自身的一致性在系统内不可证。

图灵的贡献在于他给出了关于“机械程序”（或者说“算法”“计算程序”“有限组合程序”）这个概念的分析，并且证明了它和“图灵机”等价。一个形式系统可以简单的被当作是生成某些被称之为可证公式的机械程序。对于任意一个形式系统，都存在一个对应的生成相同公式的有穷程序，只要我们将其理解为“有穷机械程序”即可。当然这是形式系统这个概念的应有之义，因为其本质就在于对公式的运算都是机械的。（值得注意的是，是否存在不等价于任何算法的有穷非机械的程序这个问题和图灵对“形式系统”和“机械程序”定义的充分有效性毫不相干。“不完全性定理及其相关的一些结果”并没有对人类的理性的能力设定任何界限，它只是为数学中的纯粹形式主义的潜在可能性做出了一个界限。）①Kurt Gödel,On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems,in Kurt Gödel:Collected Works,Vol.Ⅱ,Oxford University Press,1934,pp.369-370.

哥德尔对GT与人类理性以及纯粹形式主义界限的澄清可以看作是对波斯特的一个回应。丘奇认为他（或图灵）关于机械程序的定义不存在正确与否的问题，“因为通常意义上的能行过程并没有一个精确的定义，因此这个工作假设其实也不会有精确的含义”②Alonzo Church,“Review: Emil L. Post, Finite Combinatory Processes-Formulation 1”, The Journal of Symbolic Logic,1937,Vol.2,No.1,p.43.。然而波斯特不这么看，他本人也通过对“有穷组合过程”的分析得出了一个关于机械过程的结论，但是他说这一分析的目的“不仅仅是要呈现一个具有逻辑效力，同样在其范围内也要在心理上的忠实（psychological fidelity）的系统”③Emil Post,“Finite Combinatory Processes—Formulation I”,pp.103-105.。

尽管波斯特同样也预料到了他的分析和丘奇分析的等价性，但是他只愿意眼下把这个分析作为一个“工作假设”。即便是未来更符合心理忠实的更强的分析被证明是和眼下这个分析是等价的，那也“只是将这个工作假设的地位转换为了一个自然律，而非定义或是公理”。在一个脚注中，波斯特批评了丘奇将能行可计算性与一般递归函数的等同视为一个定义的看法：

事实上眼下丘奇以及其他人的工作已经将这个论题的地位提升至远远超出了工作假设的地步。然而，将这个论题作为定义这一做法会隐藏这个论题的真正性质，即它是关于人类数学能力（mathematicizing power of Homo Sapiens）界限的一个根本性发现，从而导致我们忽视了要继续去确证它的必要性。③Emil Post,“Finite Combinatory Processes—Formulation I”,pp.103-105.

关于机械程序的分析和定义，哥德尔赞同波斯特而非丘奇，他同样也不认为关于这个定义仅仅只存在从实践的实用角度出发来考虑的合理与否的问题，它更涉及到概念分析正确性与充分性的问题。然而，与波斯特不同，哥德尔认为机械程序的精确定义以及最宽泛意义上的不完全性定理并没有给人类理性或是人类数学能力设定极限。正是在讨论相同的问题背景下哥德尔指出了图灵在论证“人类心智活动不可能超越任何机械程序”的“哲学错误”④在原文中哥德尔明确说关于图灵的哲学错误这个评论可以看作是对1965 年引文中“数学”一词的脚注。Kurt Gödel,“Some Remarks on the Undecidability Results”, in Kurt Gödel: Collected Works, Volume : Publications 1938-1974,Oxford:Oxford University Press,1972,pp.305-307.。哥德尔认为图灵在论证机械程序的过程中假定了可区分的人心状态的有限性，而忽略了人

心的状态数目在其发展中可以通过类似理解抽象概念这样的活动来汇聚至无穷，因而图灵的论证是不充分的，其结论也是可以避免的。一方面，图灵在分析机械程序过程中对计算者可区分状态的有限性假设是否也可以看成是对“心智活动不可能超越任何机械程序”的论证，这是有待更加清晰地说明的。另一方面，哥德尔的这个评论是否可以看成是某种不一致，即他愿意接受图灵对机械程序的分析结果，但同时也认为图灵给出的论证中包含“哲学错误”，这一点也远非毫无争议①这个问题本身需要另行撰文讨论，此处我们不能展开，详细的讨论可以参见Judson Webb,Introductory Note to Remark 3 of Gödel(1972),in Kurt Gödel:Collected Works,Vol.Ⅱ,1990,pp.292-304。。从哥德尔的评论中可以明确的是，哥德尔意识到一旦我们可以给出关于机械程序的精确定义，那么不完全性定理就会对任何纯粹的形式主义构成一个逻辑界限，到底它是否同时也构成关于人类心灵或理性的限制，这需要更多的论证。哥德尔认为我们具有通过理解抽象对象和概念而来的数学直觉能力，这会是人心超出机械程序之处。虽然图灵在给出机械程序充分性分析的过程中假定了心灵状态的有限性，但是这只是他在分析这个特定概念过程中的假设，而并非他对人心理性能力的普遍规定。事实上，早在他的博士论文中他就提出过用“序数逻辑”②Allen Turing, Systems of Logic Based on Ordinals, in Martin Davis(ed.),The Undecidable, New York: Raven Press,1939,pp.154-222.会尝试克服GT 所带来的限制性结果。而在后期思考机器与智能的过程中他也突破了图灵机这个完全机械的模型，而考虑过会修改自身程序的机器，或是通过试错以及学习来进步的机器③Allen Turing, Intelligent Machinery, in Jack Copeland(ed.), The Essential Turing, Oxford: Oxford University Press,1948,pp.395-432.。换言之，如果说哥德尔是从数学直觉这种更加偏哲学化的方式来论证人心超出纯粹机械主义之处，作为计算机科学家的图灵是从智能机器这种更加偏实践性的角度去超越初级层面的机械程序，二者其实可以看作是互补而非对立的。仅从数学定理证明与发现这个领域来看，最新的成果恰好可以看作是对二者的共同确证：数学直觉是不可或缺的，但是它同样可以借助机器来获得。传统的机器在辅助数学定理证明方面一般是通过海量的数据计算这样蛮力方法，或是辅助验证证明中的细节发现错误，而很难自己去制造或是生成一个有趣的猜想，或是以某种人类也能理解的方式证明某个问题。但是通过将推理和学习结合起来的方法引入传统的机器，它们便能产生一些看似只有靠数学家的智慧才能生成的直觉。通过其强大的数据处理以及模式识别能力，最新的人工智能可以帮助数学家们看到以往不曾注意到或是几乎不可理解的一些联系，在纽结理论以及对称性理论方面由机器和数学家们一起取得的一些成就④详细的成果可以参见Davide Castelvecchi,“DeepMind’s AI Helps Untangle the Mathematics of Knots”, Nature,2021,Vol.600,No.7888,pp.202-202。。正如这些作者们强调的，他们的动机不是要用机器来直接生成猜想或是定理，而是“集中于帮助专业数学家们获得可靠的直觉，以此可产生有趣且有深度的成果”⑤Alex Davies,Petar Veličković,Lars Buesing,et al.,“Advancing Mathematics by Guiding Human Intuition with AI”,Nature,2021,Vol.600,No.7887,pp.70-74.。因而，与其把直觉和机械方法对立起来，二者其实可以以一种互惠的方式互促发展，进而有可能发展出一种人工式的直觉（artificial style of intuition）。

与图灵不同，哥德尔虽然没有直接参与过电子计算机或是人工智能的实际发展，但是作为机械程序最有名的限定性结果——哥德尔不完全性定理——的发现者，他对机械程序和人心关系的思考是极具启发性的。由GT 所引发的卢卡斯—彭罗斯论证以及哥德尔析取式论证依旧是心灵哲学中最重要的难题之一，人工智能中的最新发展所揭示的数学直觉与机械方法的互动和互惠也揭示了哥德尔和图灵对超越纯粹形式主义和机械主义探索的丰富性。对相关问题的进一步深入研究最终会促进数理逻辑、认知哲学和人工智能的进步与发展。最后，借用图灵的一句话作为本文的结语：“我们无法看得很远，但目光所及之处已有大量的工作要做。”①图灵的原文是：“We can only see a short distance ahead,but we can see plenty there that needs to be done”，参见Allen Turing,“Computing Machinery and Intelligence”,pp.433-460。

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