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    基于重心与投掷角度对纸飞机留空时间影响的分析*

    时间：2023-07-01 17:35:04来源：百花范文网本文已影响人

    王微 ，赵明程

    (1.菏泽学院数学与统计学院，山东 菏泽 274015；

    2.菏泽学院化学化工学院，山东 菏泽 274015)

    1.1 条件假设

    1)假设每一次掷出纸飞机其瞬时速度的大小和方向不变.

    2)假设忽略空气摩擦生成的热量.

    3)假设测试环境的空气密度恒定不变.

    4)假设在纸飞机飞行过程中翼面与机身张开角度不变

    1.2 符号说明

    本文所用符号说明见表1.

    表1 符号说明

    纸飞机留空时间的长短必须具备滑行过程中有良好的稳定性和较大的升阻比.滑翔机最重要的部分是主翼.它必须在飞行期间支持飞机.机翼横截面的形状称为翼型.弦线是从机翼的前缘到机翼的后缘绘制的直线.弦线与风向的夹角称为迎角.当飞机的机头升高或降低时,迎角会发生变化.当飞机滑行时,风压作用于机翼.产生垂直分量的升力和水平的拖动力.留空时间较长的飞机将具有较大的升阻比.

    机翼形状能够影响升力与阻力比,比如机翼弯曲程度、外倾量应不超过弦长的6%等.为减少纸飞机的阻力，可以使表面尽可能光滑，这样飞机在空中飞行时摩擦力变小.

    图1 空气气流分析及其纸飞机后视图张角变化

    由图1所示，纸飞机在飞行过程中收到了空气流体的作用，随即机翼会发生延伸，为了更方便地研究空气气流对纸飞机的影响，本文引入“流线曲率定理”,其定理指出,机翼上表面的压力小于远处的压力,下表面的压力大于远处的压力；
    因此,机翼上下表面的压力差产生升力.压力场和流动曲率之间的这种关系非常有用.这个理论解释了为什么在由流线同心圆组成的旋涡的中心存在如此低的压力.这也是一种直观地解释为什么翼型产生升力的原因[1].设r为质心到原点的距离,其方程为

    从物理上来说,利用Rankine-Hugoniot将“跳跃”(不连续)转化为流量(密度、速度、压力),从而得到弱解.在实际应用中,一些不连续性通过粘度和传热得到了消除.

    其中Rankine-Hugoniot 条件，是描述了一维流动中冲击波或燃烧波(爆燃或爆轰)两侧状态之间的关系.流体或固体中的一维变形[1].

    在变坐标系中，Rankine-Hugoniot 条件可以表示为

    ρ1u1=ρ2u2=m，

    在空气动力学的许多领域中，正确计算连续量在不连续的区域(例如冲击波或边界层),用欧拉方程有限差分方法，一般将太多的时间点和空间计算在内,在这种情况下,必须避免守恒方程的局部形式,通过一些弱形式,可用Burgers方程进行求解.

    纸飞机在飞行过程中能从后视图看出两个翼面会分开,而空气会从中间流过,由于力的作用,定风翼,定风尾会如图1所示，这里θ角时刻发生变化.与真正的飞机一样,在空中主要受到四种主要的作用力,统称为空气动力.当向前抛出飞机时称为推力.升力是作用在机翼上的力,有助于飞机向上移动.机翼的较大表面积增加升力.升力是拉动飞机的动力，轻质的材料可以制作更轻的飞机,可以保持更长的时间.拖曳(由尾部引起)与推力相反,它使飞机减速. 还有其他因素会影响纸飞机的飞行效果.使用的纸张类型会影响其重量和存在的摩擦力.飞机的设计方式也有很大差异.机翼,机头和机尾的设计都可以彻底改变飞机飞行的方式.对于 Suzanne 纸飞机的质心,通过顶针法寻找的同时,也利用三重积分在物理学上的应用[2].

    如果质量分布是连续的,密度函数ρ(r)在空间Ω上也是连续的,加权的积分点的位置坐标相对于质心r除以体积V是零,

    重力场被看做是均匀的,质心和重心将是相同的点.然而,对于纸飞机在空中飞行,其轨迹有一段是在空中旋转下落,在缺乏其他扭矩应用于纸飞机,轻微的变化的引力场之间的接近或者远离地面会导致转矩.在这种情况下,区分重心和质心是很重要的.两者之间的任何水平偏移都会导致扭矩.

    在平行重力场中,每一点r处的力f为

    其中dm为质心r的质量,g为重力加速度,k为定义垂直方向的单位向量.在体积中选择一个参考点R,这一点的合力和扭矩为[3]

    并且有

    图2 纸飞机在投掷出瞬间

    由图2所示，本文对纸飞机被投掷出的瞬间受到了多个力作用进行了分析，设投掷出的初速度为v,与水平面的夹角为α,那么在水平与竖直方向的速度分量为

    vx=v·cosα,vy=v·sinα.

    设纸飞机上升到最大高度时的水平与竖直方向上的分速度分别为vx2，vy2

    那么这一过程中水平位移与竖直位移分别是

    当飞机落地时，水平速度是个定值，竖直方向的速度越小，则飞行时间最长.

    对于升力有,

    对于阻力有,

    根据力的合成与分解并结合相关空气动力学相关理论，得到两个推进力方程,这两个方程分别为水平与竖直两个方向上的力.

    如果纸飞机在空中的四种作用力相互抵消的话,那么留空时间会更长一些.

    因此,有

    对于这个模型不能无限的将投掷角度减小或者增大,实验得出重心在距机头的三分之一处，投掷度为80°时，纸飞机留空间最长.

    对于模型的误差可用PDE进行相关误差分析，并且可以为其导出边界.在扩散(或更一般的)Markov过程中，模型风险问题允许基于经典工具的严格方法来分析可解模型的灵敏度.这些工具在概率学和数学建模的标准教科书中常被忽视.

    该模型应用了物理学中流体学、空气动力学、静力学、物体的运动、压强、伯努利效应等知识，数学中多元函数的积分学、微分学、三角函数等专业知识，并用MATLAB软件工具，结合Python语言,绘制飞行轨迹曲线,求出了最佳出手角度，延长了纸飞机留空时间，从而实现使纸飞机飞行距离最远的目的.

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