【2020届普通高考(天津卷)适应性测试数学试题(解析版)】2020高考数学答案
2020届普通高考(天津卷)适应性测试数学试题 一、单选题 1.已知全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先利用补集的定义求出,再利用交集的定义可得结果. 【详解】 因为全集, , 所以, 又因为集合, 所以. 故选:B. 【点睛】 研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合. 2.设,则“”是“”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】利用一元二次不等式的解法化简,再由充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】 “”等价于 “或”, “”能推出“或”,而“或”不能推出“”, 所以“”是“”的充分非必要条件, 故选:A. 【点睛】 判断充分条件与必要条件应注意:首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;
对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据函数有两个极值点,可排除选项C、D;
利用奇偶性可排除选项B,进而可得结果. 【详解】 因为,所以, 令可得,, 即函数有且仅有两个极值点,可排除选项C、D;
又因为函数即不是奇函数,又不是偶函数,可排除选项B, 故选:A. 【点睛】 函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;
从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 4.如图,长方体的体积是36,点E在棱上,且,则三棱锥E-BCD的体积是( ) A.3 B.4 C.6 D.12 【答案】B 【解析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为,结合长方体的体积是36可得结果. 【详解】 因为长方体的体积是36,点E在棱上,且, 所以, 三棱锥E-BCD的体积是 故选:B. 【点睛】 本题主要考查柱体的体积与锥体的体积,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 5.某市为了解全市居民日常用水量的分布情况,调查了一些居民某年的月均用水量(单位:吨),其频率分布表和频率分布直方图如图,则图中t的值为( ) 分组 频数 频率 4 0.04 8 0.08 15 a 22 0.22 m 0.25 14 0.14 6 0.06 4 0.04 2 0.02 合计 100 1.00 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由频率和为1可求得,再除以组距即可得结果. 【详解】 因为0.04+0.08++0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1, 所以, 又因为组距等于0.5, 所以t的值为, 故选:C. 【点睛】 直方图的主要性质有:(1)直方图中各矩形的面积之和为;
(2)组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率;
(3)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值;
(4)直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 6.已知是定义在R上的偶函数且在区间单调递减,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出 ,再利用函数的单调性与奇偶性可得结果. 【详解】 因为是定义在R上的偶函数,所以, 根据对数函数的单调性可得, 根据指数函数的单调性可得, 所以, 因为在区间单调递减, 所以, 即 故选:C. 【点睛】 解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间 );
二是利用函数的单调性直接解答;
数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 7.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线,则p的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先求出抛物线的焦点与双曲线的右焦点,再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果. 【详解】 抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为, 所以,又因为双曲线的渐近线为, 所以, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查抛物线与双曲线的焦点,考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之间的关系,属于基础题. 8.已知函数,则下列结论错误的是( ) A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称 C.是的一个零点 D.在区间单调递减 【答案】D 【解析】利用辅助角公式化简,再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】 , 对于A,的最小正周期为,正确;
对于B,时,为最小值,的图象关于直线对称,正确;
对于C, 时,,是的一个零点,正确;
对于D,在区间上不是单调函数,错误, 故选:D. 【点睛】 本题通过对多个命题真假的判断,综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题. 9.已知函数,若函数有且只有3个零点,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出函数图象,分两种情况讨论,分别求出直线与曲线相切时的斜率,结合函数图象的交点个数,即可判断函数有且只有3个零点时实数k的取值范围. 【详解】 时,过, 设与切于,因为,, 则 画出的图象,由图可知,当时,与有三个交点 时,,过, 设与切于,因为,所以, 可得, 画出的图象,由图可知,当,即时,与有三个交点, 综上可得,时,与有三个交点, 即有三个零点. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;
2、求参数的取值范围;
3、求不等式的解集;
4、研究函数性质. 二、填空题 10.i是虚数单位,复数________________. 【答案】 【解析】利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简求解即可. 【详解】 , 故答案为:. 【点睛】 复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分. 11.已知直线与圆交于点A,B两点,则线段AB的长为____________. 【答案】4 【解析】求出圆心与半径,利用点到直线的距离公式,结合勾股定理可得结果. 【详解】 因为的圆心为,半径, 到直线的距离, 所以线段AB的长为, 故答案为:4. 【点睛】 本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法,求圆的弦长有两种方法:一是利用弦长公式,结合韦达定理求解;
二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解. 12.在的展开式中,常数项是________. 【答案】 【解析】写出的展开式的通项公式,让的指数为零,求出常数项. 【详解】 因为的展开式的通项公式为:, 所以令,常数项为. 【点睛】 本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题,考查了运算能力. 13.已知某同学投篮投中的概率为,现该同学要投篮3次,且每次投篮结果相互独立,则恰投中两次的概率为:_____________;
记X为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X的数学期望为____________. 【答案】 【解析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率;
分析题意可得随机变量,利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】 由独立重复试验的概率公式可得,恰投中两次的概率为;
可取0,1,2,3, ;
则随机变量, 所以, 故答案为:. 【点睛】 “求期望”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望.对于某些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度. 14.已知,则的最小值为______________. 【答案】4 【解析】化简原式为,两次运用基本不等式可得结果. 【详解】 , 当且仅当,即等号成立, 所以,的最小值为4, 故答案为:4. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值,属于中档题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;
二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);
三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立). 15.如图,在中,,D,E分别边AB,AC上的点,且,则______________,若P是线段DE上的一个动点,则的最小值为_________________. 【答案】1 【解析】由利用数量积公式可求的值为1,设的长为,则,,利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则,可得,再利用配方法可得结果 【详解】 ,;
又因为且,为正三角形, ,,, 设的长为(),则,, 时取等号, 的最小值为. 故答案为:1,. 【点睛】 向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);
(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和)平面向量数量积的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 三、解答题 16.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知 (1)求的值 (2)若 (i)求的值 (ii)求的值. 【答案】(1);
(2)(i);(ii). 【解析】(1)化简原式,直接利用余弦定理求的值即可;
(2)(i)由(1)可得,再利用正弦定理求的值;
(ii)利用二倍角的余弦公式求得,可得,再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果. 【详解】 (1) 在中,由,整理得, 又由余弦定理,可得;
(2)(i)由(1)可得,又由正弦定理, 及已知,可得;
(ii)由(i)可得,由已知,可得,故有, 为锐角,故由,可得,从而有, . 【点睛】 以三角形为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式,一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 17.如图,在四棱锥P一ABCD中,已知,点Q为AC中点,底面ABCD,,点M为PC的中点. (1)求直线PB与平面ADM所成角的正弦值;
(2)求二面角D-AM-C的正弦值;
(3)记棱PD的中点为N,若点Q在线段OP上,且平面ADM,求线段OQ的长. 【答案】(1);
(2);
(3). 【解析】以O为原点,分别以向量的方向为x轴,y轴,z轴正方向,可以建立空间直角坐标系,(1)求出直线PB的方向向量,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM的法向量,可求直线PB与平面ADM所成角的正弦值;
(2)由已知可得平面,故是平面的一个法向量,结合(1)中平面ADM的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D-AM-C的余弦值,从而可得正弦值;
(3)设线段OQ的长为,则点Q的坐标为,由已知可得点N的坐标为,利用直线与平面的法向量数量积为零列方程求解即可. 【详解】 依题意,以O为原点,分别以向量的方向为x轴,y轴,z轴正方向,可以建立空间直角坐标系(如图),可得, . (1)依题意,可得, 设为平面ADM的法向量,则, 即,不妨设,可得, 又, 故, 直线PB与平面ADM所成角的正弦值为;
(2)由已知可得, 所以平面, 故是平面的一个法向量, 依题意可得, 因此有,于是有, 二面角D-AM-C的正弦值;
(3)设线段OQ的长为,则点Q的坐标为, 由已知可得点N的坐标为,进而可得, 由平面ADM,故, 即,解得, 线段OQ的长为. 【点睛】 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;
(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;
(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;
(4)将空间位置关系转化为向量关系;
(5)根据定理结论求出相应的角和距离. 18.已知椭圆的离心率为,点在椭圆上 (1)求椭圆的方程;
(2)已短直线与椭交于A、B两点,点P的坐标为,且,求实数m的值. 【答案】(1);
(2). 【解析】(1)根据题意,结合性质 ,列出关于 、 、的方程组,求出 、,即可得椭圆的方程;
(2)直线与曲线联立,根据韦达定理,利用平面向量数量积公式,结合条件列方程求解即可. 【详解】 (1)设椭圆的焦距为,由已知有,又由, 可得,由点在椭圆上,有, 由此可得,椭圆的方程为;
(2)设点A的坐标,点B的坐标, 由方程组,消去y,整理可得,① 由求根公式可得,② 由点P的坐标为,可得, 故,③ 又,, 代入上式可得, 由已知,以及②,可得, 整理得,解得, 这时,①的判别式,故满足题目条件, . 【点睛】 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组,解出,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 19.已知数列是公差为1的等差数列,数列是等比数,且,,数列满足其中. (1)求和的通项公式 (2)记,求数列的前n项和. 【答案】(1);
(2). 【解析】(1)利用,,列方程求出,等差数列的首项、等比数列的首项与公比,从而可得结果;
(2)先根据得,再根据分组求和与错位相减求和法,结合等比数列的求和公式可得结果. 【详解】 (1)设数列的公差为d,数列的公比为q,则, 由,可得,由,可得, 又,故可得, 再由,可得,解得, ;
(2),其中, , 记, 则, ,① 故有,② ①-②可得 , 由此可得, 由,故可得. 【点睛】 “错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);
②相减时注意最后一项 的符号;
③求和时注意项数别出错;
④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以. 20.已知函数,函数,其中,是的一个极值点,且. (1)讨论的单调性 (2)求实数和a的值 (3)证明 【答案】(1)在区间单调递增;
(2);
(3)证明见解析. 【解析】(1)求出,在定义域内,再次求导,可得在区间上恒成立,从而可得结论;
(2)由,可得,由可得,联立解方程组可得结果;
(3)由(1)知在区间单调递增,可证明,取,可得,而,利用裂项相消法,结合放缩法可得结果. 【详解】 (1)由已知可得函数的定义域为,且, 令,则有,由,可得, 可知当x变化时,的变化情况如下表:
1 - 0 + 极小值 ,即,可得在区间单调递增;
(2)由已知可得函数的定义域为,且, 由已知得,即,① 由可得,,② 联立①②,消去a,可得,③ 令,则, 由(1)知,,故,在区间单调递增, 注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得, ;
(3)证明:由(1)知在区间单调递增, 故当时,,, 可得在区间单调递增, 因此,当时,,即,亦即, 这时,故可得,取, 可得,而, 故 . 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;
二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.
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