武汉市中等职业学校《数学》上抽,考考点梳理,第一至五章:初中计算题50道
武汉市中等职业学校《数学》上 抽 考 考 点 梳 理 将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合,简称集.组成集合的对象叫做这个集合的元素. 一般采用大写英文字母…表示集合,小写英文字母…表示集合的元素. 集合中的元素具有下列特点:互异性、无序性、确定性。不能确定的对象,不能组成集合. 由有限个元素组成的集合叫做有限集.由无限个元素组成的集合叫做无限集.由平面内的点组成的集合叫做平面点集.由数组成的集合叫做数集. 自然数集,记作.正整数集,记作或,整数集,记作.有理数集,记作.实数集,记作. 不含任何元素的集合叫做空集,记作. 元素是集合A的元素,记作(读作“属于A”), 不是集合A的元素,记作(读作“不属于A”). 集合中的对象(元素)必须是确定的.对于任何的一个对象,或者属于这个集合,或者不属于这个集合,二者必居其一. 集合的表示法:(1)列举法、(2)描述法。
一般地,如果集合的元素都是集合的元素,那么称集合包含集合,并把集合叫做集合的子集. 将集合包含集合记作或(读作“包含”或“包含于”). 可以用下图表示出这两个集合之间的包含关系. A B 由子集的定义可知,任何一个集合都是它自身的子集,即. 规定:空集是任何集合的子集,即. 如果集合B是集合A的子集,并且集合A中至少有一个元素不属于集合B,那么把集合B叫做集合A的真子集. 一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么就说这两个集合相等. 将集合与集合相等记作. 如果,同时,那么集合的元素都属于集合A,同时集合A的元素都属于集合,因此集合A与集合的元素完全相同,由集合相等的定义知. 一般地,对于两个给定的集合A、B,由集合、的相同元素所组成的集合叫做与的交集,记作,读作“交”. 即. 集合A与集合B的交集可用下图表示为:
由交集定义和上面的例题,可以得到:
对于任意两个集合A,B,都有:(1);
(2),;
(3);
(4)如果. 一般地,对于两个给定的集合A、B,由集合、的所有元素所组成的集合叫做与的并集,记作(读作“A并B”). 即. 集合A与集合B的并集可用图形表示为:
(1) A A A BA BA BA (2) (3) 求两个集合并集的运算叫做并运算. 由并集定义和上面的例题,可以得到:
对于任意的两个集合A与B,都有:
(1);
(2),;
(3);
(4)如果,那么. 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素,在研究过程中,可以将这个集合叫做全集,一般用U来表示,所研究的各个集合都是这个集合的子集. 在研究数集时,常把实数集作为全集. 如果集合是全集U的子集,那么,由U中不属于的所有元素组成的集合叫做在全集U中的补集. 集合在全集U中的补集记作CUA,读作“在U中的补集”.即. 设条件和结论. (1)如果能由条件成立推出结论成立,则说条件是结论的充分条件,记作. (2)如果能由结论成立能推出条件成立,则说条件是结论的必要条件,记作. (3)如果,并且,那么是的充分且必要条件,简称充要条件,记作“”. 实数和数轴上的点一一对应.数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. 对于两个任意的实数a和b,有:
;
;
. 因此,比较两个实数的大小,只需要考察它们的差即可. 不等式的基本性质 性质1 如果,且,那么.(不等式的传递性) 证明 , ,于是 ,因此. 性质2 如果,那么. 性质3 如果,,那么;
如果,,那么. 一般地,由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中,这两个点叫做区间端点. 下面将各种区间表示的集合列表如下(表中a、b为任意实数,且). 区间 集合 区间 集合 区间 集合 R 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式,叫做一元二次不等式. 通过对二次函数图像的观察可以解一元二次不等式.由于当时,不等式两边同时乘以,就可以转化为的情况.下面就的情况研究一元二次不等式的解集. (1)当时,方程有两个不相等的实数解和,一元二次函数的图像与轴有两个交点, (如图(1)所示).此时,不等式的解集是,不等式的解集是;
(1) (2) (3) (2)当时,方程有两个相等的实数解,一元二次函数的图像与轴只有一个交点(如图(2)所示).此时,不等式的解集是;
不等式的解集是. (3)当时,方程没有实数解,一元二次函数的图像与轴没有交点(如图(3)所示).此时,不等式的解集是;
不等式的解集是. 当时,一元二次不等式的解集如下表所示:
方程或不等式 解集 表中. 解一元二次不等式的基本步骤是:
(1)判断二次项系数是否为正数,如果不是,那么将不等式两边同时乘以-1;
(2)判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解;
(3)根据上表写出一元二次不等式的解集. 对任意实数,有 其几何意义是:数轴上表示实数的点到原点的距离. 一般地,不等式()的解集是;
不等式()的解集是. 可以通过 “变量替换”的方法求解不等式或(). 不等式或()可以通过“变量替换”的方法求解.实际运算中,可以省略变量替换的书写过程. 即 在某一个变化过程中有两个变量x和y,设变量x的取值范围为数集D,如果对于D内的每一个x值,按照某个对应法则,都有唯一确定的值与它对应,那么,把叫做自变量,把叫做的函数. 将上述函数记作.变量叫做自变量,数集D叫做函数的定义域. 当时,函数对应的值叫做函数在点处的函数值.记作. 函数值的集合叫做函数的值域. 函数的定义域与对应法则一旦确定,函数的值域也就确定了.因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素. 函数值随着自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性. 设函数在区间内有意义. (1)如图(1)所示,在区间内,随着自变量的增加,函数值不断增大,图像呈上升趋势.即对于任意的,当时,都有成立.这时把函数叫做区间内的增函数,区间叫做函数的增区间. (2)如图(2)所示,在区间内,随着自变量的增加,函数值不断减小,图像呈下降趋势.即对于任意的,当时,都有成立.这时函数叫做区间内的减函数,区间叫做函数的减区间. 图(1) 图(2) 如果函数在区间内是增函数(或减函数),那么,就称函数在区间内具有单调性,区间叫做函数的单调区间. 函数单调性的几何特征:在自变量取值区间上,顺着x轴的正方向,若函数的图像上升,则函数为增函数;
若图像下降则函数为减函数. 判定函数的单调性有两种方法:借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定. 对于图(1),如果沿着y轴对折,那么对折后y轴两侧的图像完全重合.即函数图像上任意一点关于轴的对称点仍然在函数图像上,这时称函数图像关于轴对称;
轴叫做这个函数图像的对称轴. 对于图(2),如果将图像沿着坐标原点旋转180°,旋转前后的图像完全重合.即函数图像上任意一点关于原点的对称点仍然在函数的图像上,这时称函数图像关于坐标原点对称;
原点叫做这个函数图像的对称中心. 图(1) 图(2) 设函数的定义域为数集D,对任意的,都有(即定义域关于坐标原点对称),且 (1)函数的图像关于轴对称,此时称函数为偶函数;
(2) 函数的图像关于坐标原点对称,此时称函数称函数为奇函数. 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么,就说这个函数具有奇偶性.不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是:
(1)求出函数的定义域;
(2)判断对任意的是否都有.若存在某个但,则函数肯定是非奇非偶函数;
(3)分别计算出与.若,则函数为偶函数;
若,则函数为奇函数;
若且,则函数为非奇非偶函数. 当然,对于用图像法表示的函数,可以通过对图像对称性的观察判断函数是否具有奇偶性. 在自变量的不同取值范围内,有不同的对应法则,需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数,简称分段函数. 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集. 如前面水费问题中函数的定义域为. 求分段函数的函数值时,应该首先判断所属的取值范围,然后再把代入到相应的解析式中进行计算. 因为分段函数在自变量的不同取值范围内,有着不同的对应法则,所以作分段函数的图像时,需要在同一个直角坐标系中,要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像,从而得到函数的图像. 一般地,如果>,那么叫做的次方根. (1)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,分别表示为和,其中叫做的次算数根;
零的n次方根是零;
负数的n次方根没有意义. (2)当n为奇数时,实数的n次方根只有一个,记作. 形如()的式子叫做的次根式,其中叫做根指数,叫做被开方数. 规定:,其中>1.当为奇数时,;
当为偶数时,. 当有意义,且,>1时,规定:
这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂. 当、为有理数时,有:;
;
. 可以证明,当、为实数时,上述指数幂运算法则也成立. 一般地,形如 ()的函数叫做幂函数.其中指数为常数,底为自变量. 一般地,幂函数具有如下特征:
(1) 随着指数取不同值,函数的定义域、单调性和奇偶性会发生变化;
(2) 当时,函数图像经过原点(0,0)与点(1,1);
当时,函数图像不经过原点(0,0),但经过(1,1)点. 函数中,指数x为自变量,底2为常数. 一般地,形如的函数叫做指数函数,其中底()为常量.指数函数的定义域为,值域为. 利用“描点法”作指数函数y=和y=的图像. 设值列表如下:
X … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y= … 1 2 4 8 … y= … 8 4 2 1 … 以表中的每一组x, y的值为坐标,描出对应的点(x, y).分别用光滑的曲线依次联结各点,得到函数y=和y=的图像,如下图所示. 观察函数图像发现:
1.函数和y=的图像都在x轴的上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;
2.函数图像都经过(0,1)点;
3.函数y=的图像自左至右呈上升趋势;
函数y=的图像自左至右呈下降趋势. 一般地,指数函数具有下列性质:
(1) 函数的定义域是.值域为;
(2) 函数图像经过点(0,1),即当时,函数值;
(3) 当时,函数在内是增函数;
当时,函数在内是减函数. 函数解析式可以写成的形式,其中为常数,底a>0且a≠1.函数模型叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;
当0<a<1时,叫做指数衰减模型. 如果,那么 b叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做对数的底,N叫做真数. 形如的式子叫做指数式,形如的式子叫做对数式. 当时 对数的性质:(1);
(2);
(3)N >0,即零和负数没有对数. 以10为底的对数叫做常用对数,简记为.如记为. 以无理数e (e=2.71828…,在科学研究和工程计算中被经常使用)为底的对数叫做自然对数,简记为.如记为. 对数的运算法则 法则1:
(M>0,N>0);
法则2:
(M>0,N>0);
法则3:
= n(n为整数,M>0). 一般地,形如的函数叫以为底的对数函数,其中a>0且a≠1.对数函数的定义域为,值域为R. 例如、、都是对数函数. 利用“描点法”作函数和的图像. 函数的定义域为,取x的一些值,列表如下:
x … 1 2 4 … … -2 -1 0 1 2 … … 2 1 0 -1 -2 … 以表中x的值与函数对应的值y为坐标,描出点,用光滑曲线依次联结各点,得到函数的图像;
以表4-6中x的值与函数对应的值y为坐标,描出点,用光滑曲线依次联结各点,得到函数的图像,如上图所示:
观察函数图像发现:
1.函数和的图像都在x轴的右边;
2.图像都经过点;
3.函数的图像自左至右呈上升趋势;
函数的图像自左至右呈下降趋势. 一般地,对数函数( a>0且a≠1)具有下列性质:
(1)函数的定义域是,值域为R;
(2)当时,函数值;
(3)当a>1时,函数在内是增函数;
当0<a<1时,函数在内是减函数. 一条射线由原来的位置,绕着它的端点,按逆时针(或顺时针)方向旋转到另一位置就形成角.旋转开始位置的射线叫角的始边,终止位置的射线叫做角的终边,端点叫做角的顶点. 规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角(如图(1)),按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角(如图(2)).当射线没有作任何旋转时,也认为形成了一个角,这个角叫做零角. (1) (2) 经过这样的推广以后,角包含任意大小的正角、负角和零角. 除了使用角的顶点与边的字母表示角,将角记为“∠AOB”或“∠O”外,本章中经常用小写希腊字母、、、来表示角. 数学中经常在平面直角坐标系中研究角.将角的顶点与坐标原点重合,角的始边在轴的正半轴,此时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角(或者说这个角在第几象限). 如图所示,30°、390°、−330°都是第一象限的角,120°是第二象限的角,−120°是第三象限的角,−60°、300°都是第四象限的角. 终边在坐标轴上的角叫做界限角,例如,0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角. 一般地,与角终边相同的角(包括角在内),都可以表示为 的形式. 与角终边相同的角有无限多个,它们所组成的集合为 {︱}. 将圆周的圆弧所对的圆心角叫做1度角,记作1°. 1度等于60分(1°=60′),1分等于60秒(1′=60″). 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制. 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1弧度或1rad.以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 若圆的半径为,圆心角∠AOB所对的圆弧长为,那么∠AOB的大小就是 . 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 由定义知道,角的弧度数的绝对值等于圆弧长与半径的比,即 (rad). 半径为的圆的周长为,故周角的弧度数为 . 由此得到两种单位制之间的换算关系:
360°=,即 180°=. 1°= . 采用弧度制以后,每一个角都对应唯一的一个实数;
反之,每一个实数都对应唯一的一个角.于是,在角的集合与实数集之间,建立起了一一对应的关系. a x y P(x,y) O r M 设是任意大小的角,点为角的终边上的任意一点(不与原点重合),点P到原点的距离为,那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ;
;
. 三角函数 定义域 R R {︱} 当角采用弧度制时,角的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系,所以三角函数是以实数为自变量的函数. + + - - x y + + - -° + + - - x x y y sina cosa tana 任意角的三角函数值的正负号如下图所示. 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 不存在 0 不存在 0 同角三角函数的基本关系:
, . 诱导公式 即当时,有 以上公式统称为诱导公式(或简化公式).这些公式的正负号可以用口诀:“加全为正,负角余弦正,减正弦正,加正切弦正”来记忆.利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. 对于函数,如果存在一个不为零的常数,当取定义域内的每一个值时,都有,并且等式成立,那么,函数叫做周期函数,常数叫做这个函数的一个周期. 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期,简称周期,仍用表示.今后我们所研究的函数周期,都是指最小正周期.因此,正弦函数的周期是. 的图像叫做正弦曲线.(见教材) 正弦函数的定义域是实数集.由正弦曲线可以看出正弦函数的主要性质:
(1)值域:
观察图发现,正弦曲线夹在两条直线和之间,即对任意的角,都有成立.由此知正弦函数的值域为. 当时, y取最大值,;
当时, y取最小值,. (2)周期性:是周期为的周期函数. (3)奇偶性:是奇函数. (4)单调性:在每一个区间()上都是增函数,其函数值由−1增大到1;
正弦函数在每一个区间()上都是减函数,其函数值由1减小到−1. 观察发现,正弦函数在上的图像中有五个关键点:, , , , . 描出这五个点后,正弦函数,的图像的形状就基本上确定了.因此,在精确度要求不高时,经常首先描出这关键的五个点,然后用光滑的曲线把它们联结起来,从而得到正弦函数在上的简图.这种作图方法叫做“五点法”. 余弦函数的定义域是.由于对恒有并且,可知余弦函数是周期函数,其周期是. 用“描点法”作出余弦函数在上的图像. 将函数的图像向左或向右平移,,,,就得到余弦函数的图像(见教材).这个图像叫做余弦曲线. 余弦函数的定义域是实数集R,余弦函数有如下性质:
⑴ 是有界函数,其值域为.当时, ;
当时, . ⑵ 是周期为的函数. ⑶ 是偶函数. ⑷ 在区间内是增函数,函数值从增加到;
在区间内是减函数,函数值从减少到.
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【发言稿】 日期:2022-12-24
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【发言稿】 日期:2022-10-12
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【格言】 日期:2021-04-10
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(呼和浩特铁路局大包电气化改造工程指挥部,内蒙古呼和浩特010050)摘要:文章介绍了福生庄隧道
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2023年主题教育民主生活会六个方面个人检视、相互批评意见:1 理论学习系统性不强。学习习近平新时代中国特色社会主义思想不深不透,泛泛而学的时候多,深学细照的时候少,特...
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2024年交流发言:强化思想理论武装,增强奋进力量(完整)
习近平总书记指出:“一个民族要走在时代前列,就一刻不能没有理论思维,一刻不能没有思想指引。”党的十八大以来,伴随着新时代中国特色社会主义思想在实践中形成发展的历程...
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同志们:刚才,XX同志对市政协机关20XX年工作进行了很好的总结,很精炼,很到位,可以感受到去年机关工作确实可圈可点。XX同志宣读了表彰决定,机关优秀人员代表、先进集体代...
【邓小平理论】 日期:2024-03-18
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在全区防汛防涝动员暨河长制工作推进会上讲话提纲【完整版】
区长,各位领导,同志们:汛期已经来临,我区城区防涝工作面临强大考验,形势不容乐观。年初,区城区防涝排渍指挥部已经召开专题调度会,修订完善应急预案,建立网格化管理机...
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2024年镇作风整治工作实施方案(完整文档)
XX镇作风整治工作实施方案为深入贯彻落实党的二十大精神及省市区委深化作风建设的最新要求,突出重点推进干部效能提升,坚持不懈推动作风整治工作纵深发展,根据《关于印发《2...
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xx市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案为持续优化法治化营商环境,激发市场主体活力和社会创造力,规范行政执法行为,创新行政执法方式,提升行政执法质效,着力解...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
【三个代表】 日期:2024-03-18
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2024年公路养护中心主任典型事迹材料(完整文档)
“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
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