新课标高考数学【高考卷,全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版),12届】
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则B中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 2.(5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 3.(5分)下面是关于复数z=的四个命题:其中的真命题为( ), p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为﹣1. A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 4.(5分)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( ) A. B. C. D. 5.(5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则a1+a10=( ) A.7 B.5 C.﹣5 D.﹣7 6.(5分)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,an,输出A,B,则( ) A.A+B为a1,a2,…,an的和 B.为a1,a2,…,an的算术平均数 C.A和B分别是a1,a2,…,an中最大的数和最小的数 D.A和B分别是a1,a2,…,an中最小的数和最大的数 7.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 8.(5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B,|AB|=4,则C的实轴长为( ) A. B. C.4 D.8 9.(5分)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在区间[,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是( ) A. B. C. D.(0,2] 10.(5分)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( ) A. B. C. D. 11.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 12.(5分)设点P在曲线上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为( ) A.1﹣ln2 B. C.1+ln2 D. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(5分)已知向量夹角为45°,且,则= . 14.(5分)设x,y满足约束条件:;
则z=x﹣2y的取值范围为 . 15.(5分)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 16.(5分)数列{an}满足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,则{an}的前60项和为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC﹣b﹣c=0 (1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为;
求b,c. 18.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD (1)证明:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的大小. 20.(12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值. 21.(12分)已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex﹣1﹣f(0)x+x2;
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若,求(a+1)b的最大值. 四、请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.(10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD. 23.选修4﹣4;
坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,). (1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 24.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2| ①当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围. 2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则B中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 【考点】12:元素与集合关系的判断.菁优网版权所有 【专题】5J:集合. 【分析】由题意,根据集合B中的元素属性对x,y进行赋值得出B中所有元素,即可得出B中所含有的元素个数,得出正确选项 【解答】解:由题意,x=5时,y=1,2,3,4, x=4时,y=1,2,3, x=3时,y=1,2, x=2时,y=1 综上知,B中的元素个数为10个 故选:D. 【点评】本题考查元素与集合的关系的判断,解题的关键是理解题意,领会集合B中元素的属性,用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数. 2.(5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】将任务分三步完成,在每步中利用排列和组合的方法计数,最后利用分步计数原理,将各步结果相乘即可得结果 【解答】解:第一步,为甲地选一名老师,有=2种选法;
第二步,为甲地选两个学生,有=6种选法;
第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法 故不同的安排方案共有2×6×1=12种 故选:A. 【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用,排列组合计数的方法,理解题意,恰当分步是解决本题的关键,属基础题 3.(5分)下面是关于复数z=的四个命题:其中的真命题为( ), p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为﹣1. A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 【考点】2K:命题的真假判断与应用;
A5:复数的运算.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由z===﹣1﹣i,知,,p3:z的共轭复数为﹣1+i,p4:z的虚部为﹣1,由此能求出结果. 【解答】解:∵z===﹣1﹣i, ∴, , p3:z的共轭复数为﹣1+i, p4:z的虚部为﹣1, 故选:C. 【点评】本题考查复数的基本概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4.(5分)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( ) A. B. C. D. 【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据P为直线x=上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P为直线x=上一点 ∴ ∴ 故选:C. 【点评】本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题. 5.(5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则a1+a10=( ) A.7 B.5 C.﹣5 D.﹣7 【考点】87:等比数列的性质;
88:等比数列的通项公式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】由a4+a7=2,及a5a6=a4a7=﹣8可求a4,a7,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求a1,a10,即可 【解答】解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4,a7=﹣2或a4=﹣2,a7=4 当a4=4,a7=﹣2时,, ∴a1=﹣8,a10=1, ∴a1+a10=﹣7 当a4=﹣2,a7=4时,q3=﹣2,则a10=﹣8,a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得,a1+a10=﹣7 故选:D. 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力. 6.(5分)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,an,输出A,B,则( ) A.A+B为a1,a2,…,an的和 B.为a1,a2,…,an的算术平均数 C.A和B分别是a1,a2,…,an中最大的数和最小的数 D.A和B分别是a1,a2,…,an中最小的数和最大的数 【考点】E7:循环结构.菁优网版权所有 【专题】5K:算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是求出a1,a2,…,an中最大的数和最小的数. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知,该程序的作用是:求出a1,a2,…,an中最大的数和最小的数 其中A为a1,a2,…,an中最大的数,B为a1,a2,…,an中最小的数 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构,解题的关键是建立数学模型,根据每一步分析的结果,选择恰当的数学模型,属于中档题. 7.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可. 【解答】解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为3;
底面三角形斜边长为6,高为3的等腰直角三角形, 此几何体的体积为V=×6×3×3=9. 故选:B. 【点评】本题考查三视图与几何体的关系,考查几何体的体积的求法,考查计算能力. 8.(5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B,|AB|=4,则C的实轴长为( ) A. B. C.4 D.8 【考点】KI:圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;
16:压轴题. 【分析】设等轴双曲线C:x2﹣y2=a2(a>0),y2=16x的准线l:x=﹣4,由C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,,能求出C的实轴长. 【解答】解:设等轴双曲线C:x2﹣y2=a2(a>0), y2=16x的准线l:x=﹣4, ∵C与抛物线y2=16x的准线l:x=﹣4交于A,B两点, ∴A(﹣4,2),B(﹣4,﹣2), 将A点坐标代入双曲线方程得=4, ∴a=2,2a=4. 故选:C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化. 9.(5分)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在区间[,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是( ) A. B. C. D.(0,2] 【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;
16:压轴题. 【分析】法一:通过特殊值ω=2、ω=1,验证三角函数的角的范围,排除选项,得到结果. 法二:可以通过角的范围,直接推导ω的范围即可. 【解答】解:法一:令:不合题意 排除(D) 合题意 排除(B)(C) 法二:, 得:. 故选:A. 【点评】本题考查三角函数的单调性的应用,函数的解析式的求法,考查计算能力. 10.(5分)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( ) A. B. C. D. 【考点】4N:对数函数的图象与性质;
4T:对数函数图象与性质的综合应用.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】考虑函数f(x)的分母的函数值恒小于零,即可排除A,C,由f(x)的定义域能排除D,这一性质可利用导数加以证明 【解答】解:设 则g′(x)= ∴g(x)在(﹣1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数 ∴g(x)<g(0)=0 ∴f(x)=<0 得:x>0或﹣1<x<0均有f(x)<0排除A,C, 又f(x)=中,,能排除D. 故选:B. 【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系,利用导数研究函数性质的应用,排除法解图象选择题,属基础题 11.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;
5F:空间位置关系与距离. 【分析】根据题意作出图形,利用截面圆的性质即可求出OO1,进而求出底面ABC上的高SD,即可计算出三棱锥的体积. 【解答】解:根据题意作出图形:
设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC, 延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC. ∵CO1==, ∴OO1==, ∴高SD=2OO1=, ∵△ABC是边长为1的正三角形, ∴S△ABC=, ∴V三棱锥S﹣ABC==. 故选:C. 【点评】本题考查棱锥的体积,考查球内接多面体,解题的关键是确定点S到面ABC的距离. 12.(5分)设点P在曲线上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为( ) A.1﹣ln2 B. C.1+ln2 D. 【考点】4R:反函数;
IT:点到直线的距离公式.菁优网版权所有 【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由于函数与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,要求|PQ|的最小值,只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值, 设g(x)=,利用导数可求函数g(x)的单调性,进而可求g(x)的最小值,即可求. 【解答】解:∵函数与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称, 函数上的点到直线y=x的距离为, 设g(x)=(x>0),则, 由≥0可得x≥ln2, 由<0可得0<x<ln2, ∴函数g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增, ∴当x=ln2时,函数g(x)min=1﹣ln2, , 由图象关于y=x对称得:|PQ|最小值为. 故选:B. 【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用,注意本题解法中的转化思想的应用,根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离,构造很好 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(5分)已知向量夹角为45°,且,则= 3 . 【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;
9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;
16:压轴题. 【分析】由已知可得,=,代入|2|====可求 【解答】解:∵,=1 ∴= ∴|2|==== 解得 故答案为:3 【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用,向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法 14.(5分)设x,y满足约束条件:;
则z=x﹣2y的取值范围为 . 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 【专题】11:计算题. 【分析】先作出不等式组表示的平面区域,由z=x﹣2y可得,y=,则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大,z越小,结合函数的图形可求z的最大与最小值,从而可求z的范围 【解答】解:作出不等式组表示的平面区域 由z=x﹣2y可得,y=,则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距,截距越大,z越小 结合函数的图形可知,当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时,截距最大,z最小;
当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时,截距最小,z最大 由可得B(1,2),由可得A(3,0) ∴Zmax=3,Zmin=﹣3 则z=x﹣2y∈[﹣3,3] 故答案为:[﹣3,3] 【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案. 15.(5分)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;
16:压轴题. 【分析】先根据正态分布的意义,知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为,而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时,元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时,元件3正常”同时发生,由于其为独立事件,故分别求其概率再相乘即可 【解答】解:三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502) 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 设A={超过1000小时时,元件1、元件2至少有一个正常},B={超过1000小时时,元件3正常} C={该部件的使用寿命超过1000小时} 则P(A)=,P(B)= P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=×= 故答案为 【点评】本题主要考查了正态分布的意义,独立事件同时发生的概率运算,对立事件的概率运算等基础知识,属基础题 16.(5分)数列{an}满足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,则{an}的前60项和为 1830 . 【考点】8E:数列的求和;
8H:数列递推式.菁优网版权所有 【专题】11:计算题;
35:转化思想;
4M:构造法;
54:等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97,变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a15=2,a16+a14=56,…利用数列的结构特征,求出{an}的前60项和 【解答】解:∵an+1+(﹣1)n an=2n﹣1, 故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97. 从而可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a11=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,… 从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列. {an}的前60项和为 15×2+(15×8+)=1830 【点评】本题考查数列递推式,训练了利用构造等差数列求数列的前n项和,属中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC﹣b﹣c=0 (1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为;
求b,c. 【考点】HP:正弦定理.菁优网版权所有 【专题】33:函数思想;
4R:转化法;
58:解三角形. 【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简,整理后得到sin(A﹣30°)=.即可求出A的值;
(2)若a=2,由△ABC的面积为,求得bc=4.①,再利用余弦定理可得b+c=4.②,结合①②求得b和c的值. 【解答】解:(1)由正弦定理得:acosC+asinC﹣b﹣c=0, 即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC ∴sinAcosC+sinAsinC=sin(A+C)+sinC, 即sinA﹣cosA=1 ∴sin(A﹣30°)=. ∴A﹣30°=30° ∴A=60°;
(2)若a=2,△ABC的面积=, ∴bc=4.① 再利用余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bc•cosA =(b+c)2﹣2bc﹣bc=(b+c)2﹣3×4=4, ∴b+c=4.② 结合①②求得b=c=2. 【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用,考查了三角形面积公式的应用,是中档题. 18.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;
CS:概率的应用.菁优网版权所有 【专题】15:综合题. 【分析】(1)根据卖出一枝可得利润5元,卖不出一枝可得赔本5元,即可建立分段函数;
(2)(i)X可取60,70,80,计算相应的概率,即可得到X的分布列,数学期望及方差;
(ii)求出进17枝时当天的利润,与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较,即可得到结论. 【解答】解:(1)当n≥16时,y=16×(10﹣5)=80;
当n≤15时,y=5n﹣5(16﹣n)=10n﹣80,得:
(2)(i)X可取60,70,80,当日需求量n=14时,X=60,n=15时,X=70,其他情况X=80, P(X=60)===0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=1﹣0.1﹣0.2=0.7, X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76 DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44 (ii)购进17枝时,当天的利润的期望为y=(14×5﹣3×5)×0.1+(15×5﹣2×5)×0.2+(16×5﹣1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4 ∵76.4>76,∴应购进17枝 【点评】本题考查分段函数模型的建立,考查离散型随机变量的期望与方差,考查学生利用数学知识解决实际问题的能力. 19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD (1)证明:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的大小. 【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系;
MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 【专题】15:综合题. 【分析】(1)证明DC1⊥BC,只需证明DC1⊥面BCD,即证明DC1⊥DC,DC1⊥BD;
(2)证明BC⊥面ACC1A1,可得BC⊥AC取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,C1H,可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角,由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小. 【解答】(1)证明:在Rt△DAC中,AD=AC,∴∠ADC=45° 同理:∠A1DC1=45°,∴∠CDC1=90° ∴DC1⊥DC,DC1⊥BD ∵DC∩BD=D ∴DC1⊥面BCD ∵BC⊂面BCD ∴DC1⊥BC (2)解:∵DC1⊥BC,CC1⊥BC,DC1∩CC1=C1,∴BC⊥面ACC1A1, ∵AC⊂面ACC1A1,∴BC⊥AC 取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,OH ∵A1C1=B1C1,∴C1O⊥A1B1, ∵面A1B1C1⊥面A1BD,面A1B1C1∩面A1BD=A1B1, ∴C1O⊥面A1BD 而BD⊂面A1BD ∴BD⊥C1O, ∵OH⊥BD,C1O∩OH=O, ∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD,∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角 设AC=a,则,, ∴sin∠C1DO= ∴∠C1DO=30° 即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30° 【点评】本题考查线面垂直,考查面面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定,正确作出面面角,属于中档题. 20.(12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值. 【考点】J1:圆的标准方程;
K8:抛物线的性质;
KI:圆锥曲线的综合.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;
16:压轴题. 【分析】(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离,由△ABD的面积S△ABD=,知=,由此能求出圆F的方程. (2)由对称性设,则点A,B关于点F对称得:,得:,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值. 【解答】解:(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p 点A到准线l的距离, ∵△ABD的面积S△ABD=, ∴=, 解得p=2,所以F坐标为(0,1), ∴圆F的方程为x2+(y﹣1)2=8. (2)由题设,则, ∵A,B,F三点在同一直线m上, 又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称. 由点A,B关于点F对称得:
得:,直线,切点 直线 坐标原点到m,n距离的比值为. 【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用,具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 21.(12分)已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex﹣1﹣f(0)x+x2;
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若,求(a+1)b的最大值. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;
6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;
16:压轴题;
2A:探究型;
35:转化思想. 【分析】(1)对函数f(x)求导,再令自变量为1,求出f′(1)得到函数的解析式及导数,再由导数求函数的单调区间;
(2)由题意,借助导数求出新函数的最小值,令其大于0即可得到参数a,b 所满足的关系式,再研究(a+1)b的最大值 【解答】解:(1)f(x)=f'(1)ex﹣1﹣f(0)x+⇒f'(x)=f'(1)ex﹣1﹣f(0)+x 令x=1得:f(0)=1 ∴f(x)=f'(1)ex﹣1﹣x+令x=0,得f(0)=f'(1)e﹣1=1解得f'(1)=e 故函数的解析式为f(x)=ex﹣x+ 令g(x)=f'(x)=ex﹣1+x ∴g'(x)=ex+1>0,由此知y=g(x)在x∈R上单调递增 当x>0时,f'(x)>f'(0)=0;
当x<0时,有 f'(x)<f'(0)=0得:
函数f(x)=ex﹣x+的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(﹣∞,0) (2)f(x)≥﹣(a+1)x﹣b≥0得h′(x)=ex﹣(a+1) ①当a+1≤0时,h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增,x→﹣∞时,h(x)→﹣∞与h(x)≥0矛盾 ②当a+1>0时,h′(x)>0⇔x>ln(a+1),h'(x)<0⇔x<ln(a+1) 得:当x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0,即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b ∴(a+1)b≤(a+1)2﹣(a+1)2ln(a+1),(a+1>0) 令F(x)=x2﹣x2lnx(x>0),则F'(x)=x(1﹣2lnx) ∴F'(x)>0⇔0<x< 当x=时,F(x)max= 即当a=时,(a+1)b的最大值为 【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性,解题的关键是第一题中要赋值求出f′(1),易因为没有将f′(1)看作常数而出错,第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题,本题考查了转化的思想,考查判断推理能力,是高考中的热点题型,计算量大,易马虎出错. 四、请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.(10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD. 【考点】N4:相似三角形的判定.菁优网版权所有 【专题】14:证明题. 【分析】(1)根据D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,可得DE∥BC,证明四边形ADCF是平行四边形,即可得到结论;
(2)证明两组对应角相等,即可证得△BCD~△GBD. 【解答】证明:(1)∵D,E分别为△ABC边AB,AC的中点 ∴DF∥BC,AD=DB ∵AB∥CF,∴四边形BDFC是平行四边形 ∴CF∥BD,CF=BD ∴CF∥AD,CF=AD ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AF=CD ∵,∴BC=AF,∴CD=BC. (2)由(1)知,所以. 所以∠BGD=∠DBC. 因为GF∥BC,所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC. 所以△BCD~△GBD. 【点评】本题考查几何证明选讲,考查平行四边形的证明,考查三角形的相似,属于基础题. 23.选修4﹣4;
坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,). (1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;
Q8:点的极坐标和直角坐标的互化;
QL:椭圆的参数方程.菁优网版权所有 【专题】15:综合题;
16:压轴题. 【分析】(1)确定点A,B,C,D的极坐标,即可得点A,B,C,D的直角坐标;
(2)利用参数方程设出P的坐标,借助于三角函数,即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 【解答】解:(1)点A,B,C,D的极坐标为 点A,B,C,D的直角坐标为 (2)设P(x0,y0),则为参数) t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ∵sin2φ∈[0,1] ∴t∈[32,52] 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查圆的参数方程的运用,属于中档题. 24.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2| ①当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 【专题】17:选作题;
59:不等式的解法及应用;
5T:不等式. 【分析】①不等式等价于,或,或,求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求. ②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立,由此求得求a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即 ,可得x≤1;
,可得x∈∅;
,可得x≥4. 取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}. (2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0, 故a的取值范围为[﹣3,0]. 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来解,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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【福生庄隧道坍塌处理方案】 福生庄隧道在哪里
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【学习心得体会】 日期:2020-03-05
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【学习心得体会】 日期:2022-12-07
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【学习心得体会】 日期:2022-10-09
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【培训心得体会】 日期:2022-09-24
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【学习心得体会】 日期:2022-08-03
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【学习心得体会】 日期:2022-08-31
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【学习心得体会】 日期:2022-10-31
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在街道深化作风建设推动高质量发展走在前列动员会上讲话
在2023年街道深化作风建设推动高质量发展走在前列动员会上的讲话同志们:今天我们召开“街道深化作风建设推动高质量发展走在前列动员会”,这次会议是街道三季度召开的第一场...
【军训心得体会】 日期:2024-03-17
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全面从严治党的心得体会800字7篇全面从严治党的心得体会800字篇1中国特色社会主义是我们党领导
【学习心得体会】 日期:2022-12-14
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2024年主题教育民主生活会批评与自我批评意见(38条)(范文推荐)
2023年主题教育民主生活会六个方面个人检视、相互批评意见:1 理论学习系统性不强。学习习近平新时代中国特色社会主义思想不深不透,泛泛而学的时候多,深学细照的时候少,特...
【邓小平理论】 日期:2024-03-19
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2024年交流发言:强化思想理论武装,增强奋进力量(完整)
习近平总书记指出:“一个民族要走在时代前列,就一刻不能没有理论思维,一刻不能没有思想指引。”党的十八大以来,伴随着新时代中国特色社会主义思想在实践中形成发展的历程...
【三个代表】 日期:2024-03-19
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2024年度镇年度县乡人大代表述职评议活动总结
xx镇20xx年县乡人大代表述职评议活动总结为响应县级人大常委会关于开展县乡两级人大代表述职评议活动,进一步激发代表履职活力,加强代表与人民群众的联系,提高依法履职水平...
【马克思主义】 日期:2024-03-19
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“千万工程”经验学习体会(研讨材料)
“千万工程”是总书记在浙江工作时亲自谋划、亲自部署、亲自推动的一项重大决策,也是习近平新时代中国特色社会主义思想在之江大地的生动实践。20年来,“千万工程”先后经历...
【三个代表】 日期:2024-03-19
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2024年在市政协机关工作总结会议上讲话
同志们:刚才,XX同志对市政协机关20XX年工作进行了很好的总结,很精炼,很到位,可以感受到去年机关工作确实可圈可点。XX同志宣读了表彰决定,机关优秀人员代表、先进集体代...
【邓小平理论】 日期:2024-03-18
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在全区防汛防涝动员暨河长制工作推进会上讲话提纲【完整版】
区长,各位领导,同志们:汛期已经来临,我区城区防涝工作面临强大考验,形势不容乐观。年初,区城区防涝排渍指挥部已经召开专题调度会,修订完善应急预案,建立网格化管理机...
【马克思主义】 日期:2024-03-18
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2024年镇作风整治工作实施方案(完整文档)
XX镇作风整治工作实施方案为深入贯彻落实党的二十大精神及省市区委深化作风建设的最新要求,突出重点推进干部效能提升,坚持不懈推动作风整治工作纵深发展,根据《关于印发《2...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案【优秀范文】
xx市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案为持续优化法治化营商环境,激发市场主体活力和社会创造力,规范行政执法行为,创新行政执法方式,提升行政执法质效,着力解...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
【三个代表】 日期:2024-03-18
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2024年公路养护中心主任典型事迹材料(完整文档)
“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
【马克思主义】 日期:2024-03-17