01届,上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案|上海高考专业2020
2001年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷 考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分. 一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分. 1.函数≤的反函数 . 2.若复数z满足方程(是虚数单位),则z= . 3.函数的最小正周期为 4.二项式的展开式中常数项的值为 5.若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程为 6.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为 7.计算:
8.若非零向量、满足||=||,则与所成角的大小为 9.在大小相同的6个球中,2个是红球,4个是白球,若从中任意选取3个,则所选的3个球中至少有一个红球的概率是 (结果用分数表示) 10.若记号“*” 表示求两个实数与的算术平均数的运算,即*,则两边均含有运算符号“*”和“+”,且对于任意3个实数、、都能成立的一个等式可以是 11.关于的函数有以下命题:
(1)对任意的都是非奇非偶函数;
(2)不存在使既是奇函数,又是偶函数;
(3)存在使是奇函数;
(4)对任意的都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是 .因为当= 时,该命题的结论不成立. 12.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄.甲存五年期定期储蓄,年利率为2.88%.乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次计息时,储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存款,则甲与乙所得本息之和的差为 元.(假定利率五年内保持不变.结果精确到1分) 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分. 13.若、为实数,则>>0是的 ( ) (A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (B) 充要条件 (D) 既非充分条件也非必要条件 14.若直线=1的倾斜角为,则 ( ) (A) 等于0 (B) 等于 (C) 等于 (D) 不存在 15.若有平面与,且,则下列命题中的假命题 ( ) (A) 过点P且垂直于的直线平行于 (B) 过点P且垂直于的平面垂直于 (C) 过点P且垂直于的直线在内 (D) 过点P且垂直于的直线在内 16.若数列前8项的值各异,且对任意的都成立,则下列数列中可取遍前8项值的数列为 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本题满分12分) 已知R为全集,A=≥,B=≥,求. 18.(本题满分12分) 已知,试用表示的值. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为米,盖子边长为米. (1)求关于的函数解析式;
(2)设容器的容积为V立方米,则当为何值时,V最大?求出V的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度) 20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别在B B1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D. (1)求证:A1C⊥平面AEF;
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角(或直角),则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等. 试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.(用反三角函数值表示) 21.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分9分,第2小题满分7分. 已知椭圆C的方程为,点的坐标满足≤1.过点P的直线与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点.求:
(1)点Q的轨迹方程;
(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数. 22.(本题满分18分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分13分. 已知是首项为2,公比为的等比数列,为它的前项和. (1)用表示;
(2)是否存在自然数和,使得成立. 2001年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试题参考解答 一、填空题 1.≥. 2.1- 3.2. 4.20. 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10. 等. 11.(1),;
(1),;
(4),等.(两个空格全填对时才能得分.其中也可以写成任何整数) 12.219.01. 二、选择题 13.A. 14.C. 15.D. 16.B. 三、解答题 17.[解]由已知≥. ≤4 由 解得-1≤<3.所以≤. 由≥1,解得-2<≤3.所以<≤. 于是 ≥,故. 18.[解]因为 ,所以. 因而. 又,于是. 因此. 19.[解](1)设为正四棱锥的斜高.由已知 解得 . (2). 易得. 因为≥,所以≤.等式当且仅当,即时取得. 故当米时,有最大值,的最大值为立方米. 20.[证](1)因为,所以在平面上的射影为. 由,,得. 同理可证. 因为,, 所以. [解](2)过作的垂线交.因为,所以. 设所成的角为,则即为平面与平面所成的角. 由已知,计算得. 如图建立直角坐标系,则得点 . 因为与所成的角为, 所以, . 由定理知,平面与平面所成角的大小为. 21.[解](1)设点、的坐标分别为、,点的坐标为. 当时,设直线的斜率为,则的方程为. 由已知, ① , ② 由①得, ③ 由②得, ④ 由③、④及,得点的坐标满足方程 . ⑤ 当时,不存在,此时平行于轴,因此的中点一定落在轴上,即的坐标为().显然点的坐标满足方程⑤. 综上所述,的坐标满足方程 . 设方程⑤所表示的曲线为,则由 得 . 因为,由已知≤1,所以当=1时,,曲线与椭圆有且只有一个交点. 当<1时,,曲线与椭圆没有交点. 因为(0,0)在椭圆内,又在曲线上,所以曲线在椭圆内.故点的轨迹方程为 . (2)由 解得曲线与轴交于点、. 由 解得曲线与轴交于点、. 当,即点为原点时,、与重合,曲线与坐标轴只有一个交点. 当,且≤,即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时,点与重合,曲线与坐标轴有两个交点与. 同理,当,且≤1,即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时,曲线与坐标轴有两个交点与. 当<1,且,即点在椭圆内且不在坐标轴上,曲线与坐标轴有三个交点、与. 22.[解](1)由,得N. (2)要使,只要<0.因为<4,所以, 故只要 .① 因为(),所以 ≥, 又,故要使①成立,只能取2或3. 当时,因为S1=2,所以当k=1时,不成立,从而①不成立.因为,由,得 , 所以当≥2时,,从而①不成立. 当时,因为,,所以当时,不成立,从而①不成立. 因为,又 , 所以当≥3时,,从而①不成立. 故不存在自然数、,使成立.
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区长,各位领导,同志们:汛期已经来临,我区城区防涝工作面临强大考验,形势不容乐观。年初,区城区防涝排渍指挥部已经召开专题调度会,修订完善应急预案,建立网格化管理机...
【马克思主义】 日期:2024-03-18
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2024年镇作风整治工作实施方案(完整文档)
XX镇作风整治工作实施方案为深入贯彻落实党的二十大精神及省市区委深化作风建设的最新要求,突出重点推进干部效能提升,坚持不懈推动作风整治工作纵深发展,根据《关于印发《2...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案【优秀范文】
xx市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案为持续优化法治化营商环境,激发市场主体活力和社会创造力,规范行政执法行为,创新行政执法方式,提升行政执法质效,着力解...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
【三个代表】 日期:2024-03-18
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2024年公路养护中心主任典型事迹材料(完整文档)
“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
【马克思主义】 日期:2024-03-17