[20届,普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)] 2018高考数学
2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 (1) 设集合A和B都是自然数集合N,映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素,则在映射下,象20的原象是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (2) 在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是 ( ) (A) 2 (B) (C) (D) 3 (3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,,,这个长方体对角线的长是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) (4) 已知,那么下列命题成立的是 ( ) (A) 若、是第一象限角,则 (B) 若、是第二象限角,则 (C) 若、是第三象限角,则 (D) 若、是第四象限角,则 (5) 函数的部分图像是 ( ) (6)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算:
全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) (A) 800~900元 (B) 900~1200元 (C) 1200~1500元 (D) 1500~2800元 (7) 若,P=,Q=,R=,则 ( ) (A) RPQ (B) PQ R (C) Q PR (D) P RQ (8) 以极坐标系中的点为圆心,1为半径的圆的方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) (9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A) (B) (C) (D) (10) 过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) (11) 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (12) 如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为 ( ) (A) (B) (C) (D) 第II卷(非选择题共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线. (13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答) (14) 椭圆的焦点为、,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是________ (15) 设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=_______ (16) 如图,E、F分别为正方体的面、面的中心,则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______.(要求:把可能的图的序号都填上) 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分) 已知函数,. (I) 当函数取得最大值时,求自变量的集合;
(II) 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? (18) (本小题满分12分) 如图,已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形,且===. (I) 证明:⊥BD;
(II) 假定CD=2,=,记面为,面CBD为,求二面角 的平面角的余弦值;
(III) 当的值为多少时,能使平面?请给出证明. (19) (本小题满分12分) 设函数,其中. (I) 解不等式;
(II) 求的取值范围,使函数在区间上是单调函数. (20) (本小题满分12分) (I) 已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;
(II) 设、是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列. (21) (本小题满分12分) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;
西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示. (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=;
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=;
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天) (22) (本小题满分14分) 如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围. 2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分. (1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分. (13)252 (14)- (15) (16)②③ 三.解答题 (17)本小题主要考查三角函数的图像和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.满分12分. 解:(Ⅰ) y=cos2x+sinxcosx+1 =(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1 =cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ =sin(2x+)+ ——6分 y取得最大值必须且只需 2x+=+2kπ,k∈Z, 即 x=+kπ,k∈Z. 所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为 {x|x=+kπ,k∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换:
(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+)的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像;
综上得到函数y=cos2x+sinxcosx+1的图像. ——12分 (18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系,逻辑推理能力,满分12分. (Ⅰ)证明:连结A1C1、AC、AC和BD交于O,连结C1O. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AC⊥BD,BD=CD. 又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C= C1C, ∴ △C1BC≌△C1DC ∴ C1B=C1D, ∵ DO=OB ∴ C1O⊥BD, ——2分 但AC⊥BD,AC∩C1O=O, ∴ BD⊥平面AC1, 又C1C平面AC1 ∴ C1C⊥BD. ——4分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AC⊥BD,C1O⊥BD, ∴ ∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角. 在△C1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60º, ∴ C1B2=22+()2-2×2××cos60º= ——6分 ∵ ∠OCB=30º, ∴ OB=BC=1. ∴C1O2= C1B2-OB2=, ∴ C1O=即C1O= C1C. 作 C1H⊥OC,垂足为H. ∴ 点H是OC的中点,且OH=, 所以cos∠C1OC==. ——8分 (Ⅲ)当=1时,能使A1C⊥平面C1BD 证明一:
∵ =1, ∴ BC=CD= C1C, 又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD, 由此可推得BD= C1B = C1D. ∴ 三棱锥C-C1BD是正三棱锥. ——10分 设A1C与C1O相交于G. ∵ A1 C1∥AC,且A1 C1∶OC=2∶1, ∴ C1G∶GO=2∶1. 又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线, ∴ 点G是正三角形C1BD的中心, ∴ CG⊥平面C1BD. 即A1C⊥平面C1BD. ——12分 证明二:
由(Ⅰ)知,BD⊥平面AC1, ∵ A1 C平面AC1,∴BD⊥A1 C. ——10分 当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形, 同BD⊥A1 C的证法可得BC1⊥A1C, 又BD⊥BC1=B, ∴ A1C⊥平面C1BD. ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分. 解:(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即 ≤1+ax, 由此得1≤1+ax,即ax≥0,其中常数a>0. 所以,原不等式等价于 即 ——3分 所以,当0<a<1时,所给不等式的解集为{x|0};
当a≥1时,所给不等式的解集为{x|x≥0}. ——6分 (Ⅱ)在区间[0,+∞]上任取x1、x2,使得x1<x2. f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2) =-a(x1-x2) =(x1-x2)(-a). ——8分 (ⅰ)当a≥1时 ∵ <1 ∴ -a<0, 又x1-x2<0, ∴ f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 所以,当a≥1时,函数f(x)在区间上是单调递减函数. ——10分 (ii)当0<a<1时,在区间上存在两点x1=0,x2=,满足f(x1)=1,f(x2)=1,即f(x1)=f(x2),所以函数f(x)在区间上不是单调函数. 综上,当且仅当a≤1时,函数f(x)在区间上是单调函数. ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力,满分12分. 解:(Ⅰ)因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有 (cn+1-pcn)2=( cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1), 将cn=2n+3n代入上式,得 [2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2 =[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)], ——3分 即[(2-p)2n+(3-p)3n]2 =[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][ (2-p)2n-1+(3-p)3n-1], 整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0, 解得p=2或p=3. ——6分 (Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为p、q,p≠q,cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3. 事实上,=(a1p+b1q)2=p2+q2+2a1b1pq, c1·c3=(a1+b1)(a1 p2+b1q2)= p2+q2+a1b1(p2+q2). 由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不为零, 因此c1·c3,故{cn}不是等比数列. ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力,满分12分. 解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300. ——4分 (Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t) 即h(t)= ——6分 当0≤t≤200时,配方整理得 h(t)=-(t-50)2+100, 所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;
当200<t≤300时,配方整理得 h(t)=-(t-350)2+100 所以,当t=300时,h(t)取得区间[200,300]上的最大值87.5. ——10分 综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大. ——12分 (22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力,满分14分. 解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xoy,则CD⊥y轴. 因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称. ——2分 依题意,记A(-c,0),C(,h),E(x0, y0),其中c=|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高. 由定比分点坐标公式得 x0== , . 设双曲线的方程为,则离心率. 由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 , ① . ② ——7分 由①式得 , ③ 将③式代入②式,整理得 , 故 . ——10分 由题设得,. 解得. 所以双曲线的离心率的取值范围为. ——14分
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(呼和浩特铁路局大包电气化改造工程指挥部,内蒙古呼和浩特010050)摘要:文章介绍了福生庄隧道
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在2023年街道深化作风建设推动高质量发展走在前列动员会上的讲话同志们:今天我们召开“街道深化作风建设推动高质量发展走在前列动员会”,这次会议是街道三季度召开的第一场...
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2023年主题教育民主生活会六个方面个人检视、相互批评意见:1 理论学习系统性不强。学习习近平新时代中国特色社会主义思想不深不透,泛泛而学的时候多,深学细照的时候少,特...
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2024年交流发言:强化思想理论武装,增强奋进力量(完整)
习近平总书记指出:“一个民族要走在时代前列,就一刻不能没有理论思维,一刻不能没有思想指引。”党的十八大以来,伴随着新时代中国特色社会主义思想在实践中形成发展的历程...
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2024年度镇年度县乡人大代表述职评议活动总结
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“千万工程”是总书记在浙江工作时亲自谋划、亲自部署、亲自推动的一项重大决策,也是习近平新时代中国特色社会主义思想在之江大地的生动实践。20年来,“千万工程”先后经历...
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2024年在市政协机关工作总结会议上讲话
同志们:刚才,XX同志对市政协机关20XX年工作进行了很好的总结,很精炼,很到位,可以感受到去年机关工作确实可圈可点。XX同志宣读了表彰决定,机关优秀人员代表、先进集体代...
【邓小平理论】 日期:2024-03-18
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在全区防汛防涝动员暨河长制工作推进会上讲话提纲【完整版】
区长,各位领导,同志们:汛期已经来临,我区城区防涝工作面临强大考验,形势不容乐观。年初,区城区防涝排渍指挥部已经召开专题调度会,修订完善应急预案,建立网格化管理机...
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XX镇作风整治工作实施方案为深入贯彻落实党的二十大精神及省市区委深化作风建设的最新要求,突出重点推进干部效能提升,坚持不懈推动作风整治工作纵深发展,根据《关于印发《2...
【毛泽东思想】 日期:2024-03-18
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2024市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案【优秀范文】
xx市优化法治化营商环境规范涉企行政执法实施方案为持续优化法治化营商环境,激发市场主体活力和社会创造力,规范行政执法行为,创新行政执法方式,提升行政执法质效,着力解...
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2024年度关于开展新一轮思想状况摸底排查工作通知(完整)
关于开展新一轮思想状况摸底排查工作的通知为深入贯彻落实关于各地开展干部职工思想状况大摸底大排查情况上的批示要求和改革教育第二次调度会议精神,有针对性做好队伍教育管...
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2024年公路养护中心主任典型事迹材料(完整文档)
“中心的工作就是心中的事业”——公路养护中心主任典型事迹材料**,男,1976年6月出生,1993年参加工作,2000年4月调入**区交通运输局工作,大学本科学历,中共党员,现任**...
【马克思主义】 日期:2024-03-17