微积分真题【微积分II真题含答案】

微积分II真题含答案 一、填空题（每题3分，共30分） 1、函数 的定义域是____________. 2、设 ，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程 的通解是 ____. 7、级数 的敛散性为 . 8、 已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换 的积分次序= . 10、微分方程 的阶数为 _____阶. 二、单选题（每题3分，共15分） 1、下列级数收敛的是（ ） A， B， C， D， 2、，微分方程的通解为（ ） 　　　 A， B，　 　C， D， 3、设D为：，二重积分=（ ） A, B, C, D，0 4、 若 A, B, C, D, 5、=（ ） A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 1．已知 2. 求，其中D是由 ，x=1和x轴围成的区域。

3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求 4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1. 求由 和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。

五、证明题（5分） 一、填空题（每小题3分，共30分） 1, 2， 3，发散 4，0 5， 6，y=cx 7，收敛 8，R(x)=x3+1000x 9， 10，2 二、单选题（每小题3分，共15分） 1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分） 1、 解：
令 2、 3、整理方程得：
4、先用比值判别法判别 的敛散性， （2分） 收敛，所以绝对收敛。(交错法不行就用比较法) （8分） 四、应用题（每小题9分，共18分） 1、解：
2、 解：约束条件为200x+400y-100000=0 （2分） 构造拉格朗日函数， （4分） ,求一阶偏导数， （6分） 得唯一解为：， （8分） 根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分） 五、证明题（5分） 证明：设对等式两边积分，得：
（2分） （4分） 解得：
题设结论得证。

（5分） 一、填空题（每题2分，共20分） 1、函数的定义域是_______ 2、__________ 3、_______ 4、若___________ 5、设可微，则 6. 已知满足方程则 _______ 7、交换的积分次序=__________________ 8、级数__________ 9、若级数的收敛，则k的取值范围是 10、微分方程的通解是 ____ 二、单选题（每题2分，共10分） 1、若广义积分，则k=（ ） A， B， C， D， 2、若满足方程，则 （ ） A， 0 B，1 C， D， 3、设D为：，二重积分=____________ A, B, C, D， 4、下列级数发散的是( ) A, B， C D 5、微分方程的阶数为 （ ） A,1 B，2 C 3 D 4 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分） 1．计算 2. 已知，求 3. 计算二重积分，其中D由，，及所围成。

4.求一阶线性微分方程的通解. 5． 判别级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 6． 计算定积分。

四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1. 求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

2. 某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1 ，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。

五、证明题（4分） 证明：
一、填空题（每题2分，共20分） 1、， 2、 ， 3、0 ， 4、 ， 5、0 ，6. 7、 ，8、2 9、 ，10、 （c为任意常数） 二、单选题（每题2分，共10分） 1、D 2、D， 3、 C, 4 、B， 5、C 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分） 1．计算 解：
-------- 4分 -----------8分 2. 已知，求 解：两边去自然对数， 两边关于x求偏导数，， --------- 4分 整理得 所以 ------------ 8分 3. 计算二重积分，其中D由，，及所围成。

解：画图（2分）， Y-型， ----------- 4 分 ------------- 8分 4.求一阶线性微分方程的通解. 解：方法1：
直接算，，， 方法2：原方程可以化为 ， ， 直接代入公式， ------------ 4 分 （c为任意常数） -------------- 8分 5．这是一个交错级数，一般项为。

先判断是否收敛，是一个P-级数，且P=，发散。

----------------2’ ----------------------------------4’ ----------------------------------6’ 根据莱布尼茨定理，级数收敛，而且是条件收敛。

-----------------------------8’ 6．积分区间关于原点对称，又为偶函数，则 =2 ----------------------------------2’ = --------------------------------4’ = --------------------------------6’ == --------------------------------8’ 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1. 求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

解：画图（2分） ----------------- 5分 = ---------------- 9分 2. 某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1 ，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。

解：由题意知，收入函数为 利润函数 构造拉格朗日函数， ------------- 5分 ，解得 ---------------- 9分 五、证明题（4分） 利用级数的敛散性，证明：
证明：先证明级数收敛，用比值判别法 ，所以级数收敛 由级数收敛的必要条件知道，，即 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设,则= . 2． 当 时, 收敛. 3． 交换积分次序 . 4． 已知级数收敛,则= . 5． 若，其中具有二阶偏导数，则= . 二、 单选题（每小题3分，共15分） 1．( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D). 2. 函数在上可积的必要条件是在上（ ） （A）连续 ; （B）有界; （C） 无间断点; (D)有原函数. 3．下列反常积分收敛的是( ) (A); (B) ; (C) ; (D) . 4．下列级数发散的是( ). (A) ; (B) ;(C) ;(D) . 5． 微分方程的通解是( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D). 三、计算题I（每题6分，共24分） 1.求. 2.设,求. 3. 求，其中D由围成. 4. 判别级数的敛散性. 四、计算题II（每题8分，共24分） 5. 求. 6. 设由方程确定,其中可微,求. 7.求微分方程的特解. 五、应用题（每小题8分，共16分） 1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积. 2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元) 已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总 利润最大?最大利润是多少? 六、证明题（6分） 证明：若收敛，则发散. 一、1.; 2.; 3.; 4.; 5. . 二、BBACD 三、1.解:原式= (3分) . (6分) 2.解: (2分) (4分) (6分) 3. 解：原式=　 （2分） （4分） . （6分） 4.解:记,取 (4分) 又 收敛 故原级数收敛. (6分) 四、5．解：令，即，则 当时， （2分） 故原式 （4分） （6分） . （8分） 6．解：记 （4分） （8分） 7．解：原方程可化为------一阶线性微分方程 此时， （2分） 故原方程的通解为 （4分） （6分） 由,得 从而，所求原方程的特解为 . （8分） 五、1. 解：1> 故所求图形的面积为 （4分） 2>所求旋转体的体积为 （5分） 　　　　 . （8分） 2.解:显然,有条件成立,作辅助函数 (3分) 令 解之得唯一驻点 (6分) 故当生产甲产品3.8千件,乙产品2.2千件时,利润最大,且最大利润为 (万元). (8分) 六、证明：证明：由于 （3分）， 又因为 收敛， 故收敛，从而，绝对收敛. （6分） 1． 函数的定义域是 . 2． . 3． 若___________. 4． 设有连续的二阶偏导数，则 . 5． = . 6． 广义积分收敛，则 . 7． 交换积分次序= . 8． 设D为所围区域，则 . 9． = . 10. 方程是 阶微分方程 . 三、 单选题（每小题3分，共15分） 1．广义积分收敛于( ). A.0 ; B. ; C. ; D.. 2. 设积分区域D是（ ）. A.; B.; C.; D.. 3．下列级数中条件收敛的是（ ）. A.; B.; C.; D.. 4．设，其中可微，则（ ） A. ; B. C. D. 5．微分方程的通解是（ ）。

A. ; B. ; C.; D. . 三、计算题（每题8分，共32分） 1.求. 2.设D由曲线围成,求 3. 已知，求. 4. 判别级数的敛散性. 四、应用题（每小题9分，共18分） 1.设D由与所围成，求：（1）平面图形的面积；
（2）此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。

2.某厂生产两种产品，当产量分别为时，成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格，产品受的限制，求工厂获得最大利润时的产量和价格。

五、证明题（5分） 设，其中F可微。证明：
一. 1.; 2. 0 ; 3. ; 4. ；
5. 0 ; 6. ; 7. ; 8. 2(2ln2-1); 9. 1；

10. 2. 二.C A D C B 三.1.解:原式= (3分) (6分) (8分) 2．解:画积分区域草图，联立方程求交点得：， （2分） 原式=. (4分) （5分） （8分） 3.解: 令，则 (3分) (5分) (8分) 4.解:用比值判别法 (2分) (4分) (6分) 原级数收敛. (8分) 四.1. 解：(1) ， （2分） 故所求图形的面积为 （5分） (2)所求旋转体的体积为 　　　　 . （9分） 2.解:由需求函数x,y得：
， 利润函数 = = (2分) 作辅助函数 = (4分) 令 解之得唯一驻点 (6分) 故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为 (9分) 五．证明：
（3分）， . （5分） 故等式成立。

一、填空题（每小题3分，共30分） 1.函数的定义域是 . 2.设域是，则 . 3.交换积分次序 . 4.设资本投入为，劳动投入为时，某产品的产出量为，且为常数，则对资本的偏弹性 ，对资本的偏弹性 . 5.设 . 6.若则 . 7.当满足条件 时收敛。

8.微分方程的通解为 . 9.设，其中可微，则 . 10. . 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. =（ ）. A.; B. ; C. ; D.. 2. 已知，则（ ）. A. B. C. D.. 3.若，则( ). A. B. C. D. 4.下列级数发散的是( ) A. ; B. ; C .; D . . 5.微分方程的阶数为（ ）. A . 3 ; B. 4 ; C .2 ; D. 6. 三． 计算题（每小题8分，共32分） 1.设,求. 2.若D是由所围成的区域,求之值。

3.判别级数的收敛性。

4.求方程的通解。

四．应用题（每小题9分，共18分） 1.设平面区域D由抛物线与直线 围成,求:（1）D的面积；
（2）D绕轴旋转一周所得立体的体积。

2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数，若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入3万元资金用于生产的情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多。

五．证明题（5分）：
证明：. 一. 1.; 2.; 3.; 4.; 5. ；
6. 5 ; 7. ; 8. y=; 9. .10.tanx 二. D B A D A 三. 1.解: 令， (2分) 则 (4分) (8分) . 2.解: 联立 解得两个交点坐标 （2分） （4分） （8分） 3.解: （4分） (4分) 又是几何级数，公比收敛 故由比较判别法知原级数收敛. (8分) (或者用比较判别法的极限形式) 4. 解：，代入原方程得 （2分） 分离变量 （4分） 两边积分 将 回代得方程的解 （8分） 四．1. 解：（1）， 故所求图形的面积为 （4分） （2），所求旋转体的体积为 （9分）　　 2. 解:显然,有条件成立,作辅助函数 (3分) 令 （5分） 解之得唯一驻点 (7分) 由问题实际意义知最大产量存在，故当劳动力为单位，原料为单位时产量最大。

(9分) 五．证明：交换积分次序：
等式左边==右边. 故等式成立。

一、 填空题（每题3分，共30分） 1.函数的定义域是 . 2.= . 3.=_ ___ __ . 4. = . 5. = . 6. =              ． 7. 设，其中 在D上连续，则 = . 8. 方程是 阶微分方程 . 9. 设,则 = . 10.交换积分次序= . 二、 单选题（每题3分，共15分） 1. =（ ）． A. ．      B. 2．       C. 0．    D. 1． 2. 设 ，其中可微，则 =（ ）. A. B. C. D. 1 3. 设 ， 则=（ ）. A. B. C. D. 4. 设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（    ）． A．．        B．．       C．.    D．． 5. 下列级数发散的是( ) . A． B. C. D. 三、 计算题（每题8分，共32分） 1 . 求。

2. 设由方程确定，求。

3. 求。

4. 求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分） 1. 设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。

2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少? 五、证明题（5分） 证明 一、 填空题（每小题3分，共30分） 1. ; 2. ; 3. 0; 4. 1；

5. 1 ; 6. 2 ; 7. 2; 8. 二; 9. ；

10. . 二、单选题（每小题3分，共15分） 1. A 2 . B 3. A 4. B 5. C 三、计算题（每小题8分，共32分） 1 . 解：
令 则 原式 （5分） . （8分） 2. 解设 则 (5分) (8分) 3. 解：
（4分） （6分） （8分） 4. 解：
代入原方程得 分离变量 （4分） 两边积分 （6分） 得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) （8分） 四、应用题（每小题9分，共18分） 1. 先求的交点（0，0），（1，1） (4分) (9分) 2. 解:显然,有条件成立,作辅助函数 (3分) 令 解之得唯一驻点 (7分) 故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为 (9分) 五、证明题（5分） 证明：考察级数，由于 （3分） 所以此级数收敛，故 （5分） 一、填空题（每题3分，共30分） 1.函数的定义域是 . 2.= . 3. 设，则=              ． 4.=_ ___ __ . 5. = . 6. = . 7. 设，其中 在D上连续，则 = . 8. 方程是 阶微分方程 . 9. 设,则 = . 10.交换积分次序= . 二、单选题（每题3分，共15分） 1. 在上的平均值是（ ）. A. B. C. D. 2. =（ ）． A. ．      B. ．       C. ．    D. ． 3. 设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（    ）． A．．        B．．       C．.    D．． 4. 设 ，其中可微，则 =（ ）. A. B. C. D. 5. 下列级数发散的是( ) . A． B. C. D. 三、计算题（每题8分，共32分） 1 . 求。

2. 设由方程确定，求。

3. 求。

4. 求微分方程 的通解。

四、应用题（每题9分，共18分） 1．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少? 2. 设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。

五、证明题（5分） 证明 一， 填空题（每小题3分，共30分） 1. ; 2. ; 3. 0; 4. 0；

5. 3 ; 6. 6 ; 7. 7; 8. 二; 9. ；

10. . 二， 单选题（每小题3分，共15分） 1. B 2 . A 3. B 4. A 5. D 三， 计算题（每小题8分，共32分） 1 . 解：
（4分） （8分） 2. 解设 则 （3分） (6分) （8分） 3. 解：
（4分） （6分） （8分） 5. 解：
分离变量 （3分） 两边积分 （5分） 得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) （8分） 四， 应用题（每小题9分，共18分） 1. 解:显然,有条件成立,作辅助函数 (3分) 令 解之得唯一驻点 (7分) 故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为 (9分) 2. (4分) (9分) 五， 证明题（5分） 证明：考察级数，由于 （3分） 所以此级数收敛，故 （5分） 四、 填空题（每题3分，共30分） 1.函数的定义域是 . 2. = . 3. =_ ___ __ . 4. = . 5. = . 6. 广义积分收敛，则 . 7. 设，其中 在D上连续，则 = . 8. 方程是 阶微分方程 . 9. 设,则 = . 10.交换积分次序= . 五、 单选题（每题3分，共15分） 1. =（ ）． A. ．      B. 2．       C. 0．    D. 1． 2. 函数，，由方程所确定，则 =（ ）. A. 2 B. -1 C. 1 D. -2 3. 设 ， 则=（ ）. A. B. C. D. 4. 可偏导的函数取得极值点必为（    ）． A．零点．        B．驻点．       C．不可导点.    D．驻点或不可导点． 5. 下列级数发散的是( ) . A． B. C. D. 六、 计算题（每题8分，共32分） 1 . 求。

2. 设由方程确定，求。

3. 计算D由和围成的区域 4. 求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分） 1. 设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴 旋转所成的旋转体的体积。

2．销售收入Q与用两种广告手段的费用x和y之间的函数关系为 ，净利润是销售收入的减去广告成本，而广告预算是25， 试确定如何分配两种手段的广告成本，以使利润最大?最大利润是多少? 五、证明题（5分） 证明 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. ; 2. ; 3. 0; 4. 1；

5. 2 ; 6. >3 ; 7. 1; 8. 二; 9. ；

10. . 二、单选题（每小题3分，共15分） 1. A 2 . B 3. A 4. B 5. C 三、计算题（每小题8分，共32分） 1 . 解：
令 则 原式 （5分） . （8分） 2. 解设 则 (5分) (8分) 3. 解：原式 （4分） （6分） （8分） 5. 解：由于，由公式得其通解 （4分） = = （6分） 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) （8分） 四、应用题（每小题9分，共18分） 1. 先求的交点（0，0），（1，1） (4分) (9分) 2. 解:显然,有条件成立,所求利润函数 3. 作拉格朗日函数 (3分) 令 解之得唯一驻点 (7分) 故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为 (9分) 五、证明题（5分） 证明：令，则 于是= （3分） 所以原式成立 （5分）

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