【小学四年级计算规律性问题教师版】 小学数学找规律题技巧

知识要点 无论是在奥数的学习中，还是在日常生活中，我们都会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的认识问题。特别是在奥数学习中，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的变化、庞大数字的计算等等都有一定的规律。规律的得出常常要经过观察与归纳这样的思维活动。观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。

周期问题 （年第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第题）下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：
公元历 希伯莱历 伊斯兰历 印度历 【分析】第一列与第二列差年，第一列与第三列差年，第二列与第三列差年；

答案如下。

公元历 希伯莱历 伊斯兰历 印度历 【说明】各种历法的简介 公元历 公元纪年法和耶稣的诞辰有关。在公元年，欧洲各国基督教开会决定使用统一的历法，即儒略历。但各国仍使用原有的纪年方法。罗马帝国以始建罗马城为纪元；
希腊以召开第一次奥林匹克运动会的那一年（公元前年）为纪元。为了扩大基督教的影响，教士们一直谋求使用统一的纪年方法。公元年，著名教士狄奥尼西经过一番联想和推算，判定耶稣诞生于狄奥克列颠纪元前的年，并建议以后基督的纪年不再用别的方法，而统一以耶稣降生之年为纪元。这个建议得到绝大多数基督教会的支持，经过推算，确定当年是耶稣诞生的第年，也就是公元年，公元纪年法由此诞生。

玛雅历 号称年历史的玛雅文化在秘鲁等中南美国家至今仍有遗存。危地马拉有一个一直使用太阳历的部落，他们就是玛雅人的后代，关于玛雅人这种太阳历的来龙去脉至少有种不同的说法，比较可信的是公元前年月开始启用的太阳历，不过它又分为民间历和宗教历两种，民间历把一年分为天，也叫哈布，宗教历则只有天，通称左尔吉。玛雅人出生时都从左尔吉那里受赐一种命运，与每人的生日对应的神就是他在天上的教父，出生当天就已决定了今生的命运，生日这一天往往就是自己的名字。

玛雅人的太阳历有个月，每月天，到年底多余出来的天作为幽灵日，因带有背运成分，深为人所避忌。另外，这天又是进入新一年的过渡期，对于其中某一天的祸患程度，玛雅人通常按左尔吉与哈布两种日期的位置关系来推算。

埃塞俄比亚历 埃塞俄比亚人信奉基督教，但是，既不用格里高里历，也不用东正教用过的儒略历，而是采用从先祖亚历山大手里继承过来的另一种太阴太阳历。这种历法如同它的名字一样，月的划分按阴历进行，为了补偿与阳历的偏差，每年的月末要相应地增加几天，此时适逢雨季行将结束的时候。

希伯莱历 希伯莱历是以色列人采用的，它依据的是太阳和月亮在既定的时间相遇的过程。按律法的定则耶稣复活日的祭月活动必须在春天进行，而且要与阳历调整好。可是，另有一种定则又要求希伯莱历的每个月必须在新月初现的时候开始，强调其新与净。

这样希伯莱历就成了两种原则下的太阳历、太阴历，计算方法以地球的运动和耶路撒冷观测到的月亮的盈亏为基准。但是太阳和月亮如何关联，一年天的阳历与每月天的阴历之间又是怎样调整的呢？为此，希伯莱历交替设置了天和天的平年以及天和天的闰年，在犹太人看来，历法于“开天辟地”那一刻就已经开始了，按这一历法，公历的年月日是希伯莱历年的元旦。

伊斯兰历 伊斯兰教徒为了斋月期间白天的禁食和每天的祭祀活动，使用以月亮运行为基准的太阴历，这种宗教历法以一轮新月的出现作为一个月的开始，信徒只要注意天上的月亮就可以确认时间。但也有明显的不足，地球上观察新月并非每个地方都处于同样时间，而且遇上阴天就无法判断了。为此，在宗教历之外，常用的还有一种事先印制好的太阴历，每个月交替以日和日为月底，实际上不能完全符合天，必须以年为一个周期设置个闰年。天的太阴历与天的太阳历不完全相符，所以，季节的轮回也出现了偏差，很可能造成隆冬赶在月份或盛夏出现在月份的怪现象。为了与太阳历的季节一致，此后不久，新的伊斯兰历应运而生。

伊斯兰历的纪元以公元年为起点，即以穆罕默德从麦加向麦地那逃亡的史称圣迁的那一年为元年，而公元年就成了伊斯兰历的年，伊斯兰教徒的新世纪早在我们之前已经度过了。

印度历 印度如今使用着多种历书，年历法改革时决定全国统一使用太阳历。以当时公元年的春分为起点。到公元年月，按他们的太阳历计算是年的刚刚开始。

流水线上生产小木球涂色的次序是：先个红，再个黄，再个绿，再个黑，再个白，然后又依次是红、黄、绿、黑、白、……，如此继续涂下去，到第个小球该涂什么颜色？在前个小球中，涂黑色的小球有多少个？ 【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：“红、黄、绿、黑、白”， 也就是每涂过“红、黄、绿、黑、白”循环一次。

这里，给小木球涂色的周期是：，， 第个小球出现在上面所列一个周期中第个，所以第个小球是涂白色。

每个周期黑球共有个，则在前个小球中，涂黑色的小球有个。

流水线上生产小木球涂色的次序是：先个红，再个黄，再个绿，再个黑，再个白，然后又依次是红、黄、绿、黑、白、……，如此继续涂下去，涂到第个黑球时，涂色的小球一共有多少个？ 【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：“红、黄、绿、黑、白”， 也就是每涂过“红、黄、绿、黑、白”循环一次。

这里，给小木球涂色的周期是：，每个周期里有个黑球， 所以经过了个周期，涂了或个小球。

小明在桌上将若干个红球排成一排，然后在每相邻的个球之间放个黄球，最后在每相邻的个球之间再放个蓝球，这时桌上共有个球，那么其中黄球有个。

【分析】如图所示，每个红球之间有个黄球和个蓝球；

可以把个红球、个黄球、个蓝球视为一个循环。

黄球有个。

如图的图案表示一个花圃的设计方案，汉字表示每盆花的颜色，请问第行第盆花的颜色？第行第盆花的颜色？（从左往右计数） 【分析】通过观察可以发现，从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄 ；

因为第行第盆花是第盆，，所以是蓝色；

因为第行第盆花是第盆，，所以是白色的。

（年第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第题）四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第号位子，小猴坐在第号，小兔坐在第号，小猫坐在第号。以后它们不停地交换位子。第一次上下两排交换。第二次是在第一次交换后再左右两排交换。第三次再上下两排交换。第四次再左右两排交换……这样一直换下去。问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图） 【分析】因为经过次交换，小兔分别有次上下交换和次左右交换；

，相当于小兔分别有次上下交换和次左右交换；

第十次交换位子后，小兔坐在第号位子上。

（年月日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）如图，以，，，，依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，若从大拇指开始数数， 按…的顺序数，数到“”时，是。

【分析】以循环，周期为；

，数到“”时，是，即大拇指。

(2011年2月20日小机灵杯四年级决赛)某年一月份，共有5个星期五，4个星期六，则该月的1月20日是星期几？ 【分析】五个星期五，四个星期六说明一月的31日是周五，20日到31日有31-20+1=12天。

（12-1）7=1……4，5-4=1，故1月20日是周一。

有位小朋友分别标号为，按如图所示围成一圈，从号开始发书，每次发一本书，按顺时针方向，依次隔人、再隔人；
再隔人、再隔人……这样的顺序发下去，共有本书，问最后一本书发给几号小朋友？ 【分析】列表分析：
小朋友 书 每本书为一个周期；
,所以最后一本书发给号小朋友。

找规律 为迎接世博会，学而思学校买来盆花摆成如图所示的花圃，汉字表示每盆花的颜色，则为使花圃完整，学而思至少还要买多少盆花？花圃摆好后，其中一共有多少盆红花？ 【分析】，所以至少还要买盆花。

其中有盆红花。

按规律排列的一串数：、、、、、、……，这串数的第个数是多少？ 【分析】第个数为；

这串数的第个数是 按规律排列的一串数：1、4、11、30、85、248、735……，这串数的第N个数是多少？ 【分析】把每项乘以3与后项做差，容易得到一个等差数列。这是一个等差与等比的综合数列。

第个数为 （小学数学奥林匹克初赛民族卷）有一列数：、、、、、……，从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数的第个数应是 。

【分析】这串数为：、、、、、、、、、、…… 除去前两个数外，其余各数每六个一组，以“、、、、、”为循环；

因为，所以这一数列的第个数是。

有一串数：，，，，，，，……，其中第一个数是，第二个数是，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中，第个数被除后所得余数是几？ 【分析】把前两个数被除后所得的余数相加，然后再除以，所得的余数就是后一个数被除的余数。

数 被除的余数 被除的余数以“，，，，，，，”为循环；

因为，所以第个数除以所得的余数是。

【说明】如果一个数等于几个数的和，那么这个数被除的余数， 等于各个加数被除的余数的和再被除的余数。

观察下表：
请写出此数表的第行。

【分析】观察规律：第行等号左边有个数、等号右边为（） 第个正奇数排在第行最左边；

此数表的第行为。

（年台湾第十一届小学数学世界邀请赛队际赛第题）将连续正整数依下列方式分组：（），（，），（，，），（，，，），……，其中第一组有个数，第二组有个数，第三组有个数……依此类推。请问在第组内所有的数之总和是多少？ 【分析】第组的第一个数是 第组的最后一个数是 第组内所有的数之和是 观察以下各数分组规律：；
，，；
，，，，；
，，，，，，；
……求：①第组第个数是哪个数？第个数是哪个数？②第组各数之和是多少？③前组各数之和是多少？ 【分析】①组序号与该组数的分母相同，第组数的分母都是；

第组数有个数；

第组第个数是， 第组第个数即为倒数第个数，是。

②第组数之和是（）；

所以第组各数之和是。

③前组各数之和是。

（年第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第题）在一列数：，，，，，，……中，从哪一个数开始，与每个数之差都小于？ 【分析】第个数为（），与的差；

所以当≥时，与的差小于；

（年第四届日本小学数学奥林匹克大赛高小组预赛第题）下列⑴⒇的二十个加法算式是按一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的得数。

【分析】⑴⒇的算式中，“”右边的分数逐渐增大，差均为；

⑴⒇的算式中，“”左边边的分数逐渐增大， 差依次为，，……，；

因为；
所以；

在的左侧，减少的数比增加的数大，总的来说是减小的，即从⑴⑹依次减小；

在的右侧，减少的数比增加的数小，总的来说是增大的，即从⑹⒇依次增大；

所以最小的数是⑹，即。

（年第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试题第题）下图是中国古代的“杨辉三角形”，问：写在图中“网点”处所有数的和是多少？ 【分析】第行所有的数的和为；
前行所有的数的和为；

写在图中“网点”处所有数的和是。

世界上著名的莱布尼兹三角形如图所示：
则排在第行从左边数第个位置上的数是。

【分析】规律：①第行有个数，②第行最左边和最右边的数均为， ③下面两个数的和等于上面一个数；

第行最左边的数是，第行最左边的数是，第行最左边的数是， 第行从左边数第二个位置上的数是，第行从左边数第二个位置上的数是， 第行从左边数第三个位置上的数是。

（年第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛一试第题）观察下面数表（横排为行）：
根据前行数所表达的规律，说明这个数位于由上而下的第几行？在这一行中，它位于由左向右的第几个？ 【分析】观察可知，每行各数的分子、分母之和不变，分子分母行数；

所以这个数位于由上而下的第行；

一个数在某一行中由左向右位置号码与这个数的分母相同；

位于由左向右的第个。

平面上画（    ）个圆，再画一条直线，最多可以把平面分成44部分。

【分析】要使平面上的圆和直线把平面分得最多，新加入的圆或直线与原来的图形那么必须有最多的交点。

譬如两个圆把一个平面分成四部分，新加入一个圆，要使分的平面数最多，一定要与原来的每个 圆相交2次。这时新加入的图形被分成四段弧，每段弧把原来的平面分成两个部分。就新增加了 四个平面得到8个平面。

我们可以先画一条直线，这时有两个平面，新加入一个圆，多两个交点，多两段弧，就多两个平 面，再多一个圆，就再多4个交点多4段弧4个平面，再多一个圆与原来两个圆一条直线都相交 多6个交点6段弧6个平面，再多一个圆与原来三个圆一条直线都相交多8个交点8段弧8个平 面……我们容易发现平面的个数的增加量有如下规律 2,2,4,6,8,10,12,14 除去一开始的2，剩下增加的个数是等差数列的关系，不难得到最后得结论44个平面需要 2+2+4+6+8+10+12，6个圆 这种题目可以先从找规律做起慢慢得到答案。

（年第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试第题）将非零自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在处拐第一个弯，在处拐第二个弯，在处拐第三个弯，……，问：拐第二十个弯的地方是哪一个数？ 【分析】设第个拐弯处的数为；

当时（），；

当时（），；

拐第二十个弯的地方是。

（年第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第题）将自然数按如下顺次排列：
在这样的排列下，数字排在第二行第一列，排在第三行第三列，问：排在第几行第几列？ 【分析】设为行数、为列数，斜行（从右上向左下方向上）， 令，， 因为、，所以。

位于第行、第列；

，位于行、第列。

（年第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第题）如图，有一个边长为的正三角形，第一次去掉由三边中点连线所围成的那个正三角形；
第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线所围成的三角形……做到第四次后，一共去掉了个三角形，去掉的所有三角形的周长之和是。

【分析】如图，一共去掉了个三角形；

去掉所有三角形的周长之和是。

【说明】波兰数学家瓦茨瓦夫·弗朗西斯克·谢尔宾斯基（，） 在年提出谢尔宾斯基三角（参见例题）；
在年提出谢尔宾斯基地毯（如下）。

谢尔宾斯基地毯的构造方式为：把一个正方形分成个小正方形，取走中间小正方形， 对其余的小正方形重复这一过程，直至无穷。

谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯会出现一个有悖于直觉的结论：
得到的图形具有无穷的周长和零面积。

将谢尔宾斯基地毯推广至三维，可以得到门格海绵。

门格海绵由奥地利数学家卡尔·门格在年提出。

门格海绵的构造方式为：把正方体的每一个面分成个正方形，这将把正方体分成个小正方体， 把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下个正方体， 把每一个留下的小正方体都重复这一过程，直至无穷。

门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯。

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：，，，，，，，……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图⑴所示的正方形。再分别依次从左到右取个、个、个、个正方形拼成如图⑵所示的矩形，并记为①、②、③、④，相应矩形的周长如表所示：
序号 ① ② ③ ④ 周长 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形的周长是。

【分析】记数列第个数为（）；

第个矩形的宽（较短的边）为，长（较长的边）为、周长为；

因为数列：，，，，，，，，，，，，，……中；

所以序号为⑩的矩形的周长是。

【说明】如图所示为以数列为边长的正方形组成的螺旋。

（第七届“华杯赛”）一串数，，，，，，，，，，，，，……称为帕多瓦数列，请陈述这个数列的一个规律，并且写出其中的第个数和第个数。

【分析】记数列的第项为；

数列的规律：①（≥，），②（≥，）， ③（≥，），④（≥，）， ⑤（≥，）；

数列：，，，，，，，，，，，，，,,,,,…… 数列第个数是，第个数是。

【说明】数列是以建筑师命名。

如图所示为以数列为边长的等边三角形组成的螺旋。

（年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第题） ①下面这样的四个图（）、（）、（）、（）我们都称作平面图。

数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填入下表：（按填好的样子做） 顶点数 边数 区域数 （） （） （） （） ②观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？ ③现已知某一平面图有个顶点和个区域，试根据②中推断出的关系，确定这个图有多少条边？ 【分析】①填表。

顶点数 边数 区域数 （） （） （） （） ②由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数、区域数之间有下述关系：
，，，；

可以推断任何平面图的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数区域数边数。

③某一平面图有个顶点和个区域，这个图有条边。

（年小学生数学报数学邀请赛） ⑴数一数图～图的每一种立体图中各有多少个顶点，多少条棱，多少个面，并将结果填入下表：
顶点数 面数 棱数 图正四面体 图正方体 图八面体 图六棱锥 ⑵如果从一个正方体的每个角上切掉一个小三棱锥（如图），那么，所得到的新的多面体的顶点数，面数，棱数；

　　图　　　　　　　　　　图 ⑶如果把一只传统的足球（如图）看作一个多面体，其中黑色的面（正五边形）共有块，那么白色的面（正六边形）共有块，这个多面体（足球）的棱共有条。

【分析】⑴填法如下表所示：
顶点数 面数 棱数 图正四面体 图正方体 图八面体 图六棱锥 ⑵从一个正方体的每个角上切掉一个小三棱锥，每一个顶点变成了三个顶点， 面比原来的正方体多了八个，棱数多了条， 即，，。

⑶每个黑色的面与个白色的面相邻，而每个白色的面与个黑色的面相邻， 所以白色的面共有块。

每个白色的面有条边，条与黑色的面相邻（每条边算是一条棱）， 条与白色的面相邻（两条算一条棱），所以多面体的棱共有条。

【说明】在多面体里，顶点数、面数及棱数间的关系为， 这个公式称为欧拉（）公式。

以四面体为例来说明：
将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数 变形后都没有变.因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可. 对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面.例如去掉，就减少一个面． 同理，去掉棱、，也就各减少一个面、． 所以、的值都不变，因此的值也不变. （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点.例如去掉，就减少一个顶点．同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下（如图）． 在此过程中的值不变，但这时面数是， 所以的值也不变. 由于最后只剩下，所以=2+0-1=1， 最后加上去掉的一个面，就得到． 那么进一步问，有没有正五面体？ 世界上有没有正五面体？ 平面图形里有正三角形，三维空间里有正四面体（四个顶点，四个面，六条棱）， 那么进一步问， 有没有正五面体？  实际上，三维空间中只存在五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面 体、正二十面体。可以通过欧拉定理得出该结论。

   欧拉定理如下：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关 系：
v - e + f = 2　　①  正多面体的每个面都是正多边形，不妨把边数记为n，而且 n ≥ 3　　② 同时，由于每条棱都属于两个面，故多面体的面数和棱数有以下关系：
nf = 2e　　③  每个顶点都是由多条棱相交而成，不妨把与每个顶点相接的棱数记为r。由于顶点是多面体中的 顶点，故 r ≥ 3　　④ 否则由两条棱相交的顶点只能是平面图形中的顶点。同时，由于每条棱都连接两个顶点，故多面 体的顶点数和棱数有以下关系：
rv = 2e　　⑤  把③式和⑤式代入①式，可以得到消掉变量f和v的等式：
2e/r - e + 2e/n = 2， 等式两边同时除以2e可以得到：
1/r - 1/2 + 1/n = 1/e， 即 1/r + 1/n = 1/e + 1/2　　⑥  由于一个正多面体的棱数e至少是6（想想这是为什么），所以⑥式右边最大值为 1/6 + 1/2 = 2/3， 同时，由于棱数e为正数，不论e取何值，⑥式右边一定大于1/2，即 1/2 ＜ ⑥式右边 ≤ 2/3　　⑦ 再由②式和④式可知，r ≥ 3，n ≥ 3。但当r ≥ 4，n ≥ 4时，⑥式左边≤1/4 + 1/4，即⑥ 式左边 ≤1/2，与⑦矛盾。故r和n的取值可分为以下几种情况讨论：
⑴ r ≥ 4时，由于不能同时满足n ≥ 4，而n ≥ 3又必须满足，故此时n = 3。代入⑥式，得 1/r = 1/e + 1/6。由于1/r = 1/e + 1/6 ＞ 1/6，故r ＜ 6，故r只能取3、4、5。r = 3，n = 3时代入 ⑥式和③式得f = 4，此时是一个正四面体；
r = 4，n = 3时有f = 8，此时是一个正 八面体；
r = 5，n = 3时有f = 20，此时是一个正二十面体。

  ⑵ 与⑴类似，n ≥ 4时，由于不能同时满足r ≥ 4，而r ≥ 3又必须满足，故此时r = 3。同 理 可得n只能取3、4、5。r = 3，n = 3时代入⑥式和③式得f = 4，此时是一个正四面体；
r = 3，n = 4时有f = 6，此时是一个正六面体（即立方体）；
r = 3，n = 5时有f = 20，此时是一 个正十 二面体。

 ⑶ r ≥ 4，n ≥ 4都不满足的时候，又由于r ≥ 3，n ≥ 3，故只能有r = 3，n = 3，此时 f = 4，是 一个正四面体。

由以上证明可知，三维空间中只存在五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正 十二面体、正二十面体，当然也就不存在正五面体。

一课一练 【练习1】 （年“数学大王”小学趣味数学邀请赛试题组（年级）第题）按规律填出横线上的数：，，，，，。

【分析】因为、、；

所以这是一个公差为的等差数列；

后面两个空依次为，。

【练习2】 下图所示，一列火车的车厢按一定规律编号，请写出被树挡住的那节车厢的号码。

【分析】分别观察第、、、节车厢及第、、、节车厢上的数， 可以发现这些数分别构成了等差数列，且每一项比前一项少。

因此第节车厢上的数是或，第节车厢上的数是或。

【练习3】 （年“数学大王”小学趣味数学测试题中年级组（、年级）第题）图中的这串珠子是由白珠和黑珠组成的，其中有一部分在盒子里，它的排列有一定规律，白珠共有个。

【分析】从右到左依次是个白珠、个黑珠、个白珠、个黑珠、个白珠、个黑珠、……、 个白珠、个黑珠。

所以白珠共有个。

【练习4】 （年“数学大王”小学趣味数学测试题中年级组（、年级）第题）找规律，填数字。

【分析】因为、， 所以规律为外周三个圆内的数的乘积的一半等于中心圆内的数；
所以。

【练习5】 （第十三届“争当数学大王”小学趣味数学测试题中年级组（、年级）第题）图中三角形和小圆里的数之间，存在着一定的规律，按照这个规律，图中问号处应该填数。

【分析】因为、、；

所以规律为三角形三个顶点的圆圈内的数的乘积等于三角形内的数；

所以，。

【练习6】 （年月日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）奥运商品展卖厅的橱窗里放了个福娃，从左向右依次是：
按此规律，排在第个的是。

【分析】福娃从左向右排列的规律是以“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮、迎迎、欢欢、晶晶”为循环；

因为，所以排在第个的是迎迎。

【练习7】 （年第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第题）一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：，，，，，，，，，，问：这串数的前个数中（包括第个数）有多少个偶数？ 【分析】因为奇奇偶，奇偶奇，偶奇奇；
所以该数列以“奇、奇、偶”为周期循环；

，这串数的前个数中（包括第个数）有个偶数。

【练习8】 （年月日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）如图，以，，，，依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，若从大拇指开始数数， 按…的顺序数，数到“”时，是。

【分析】以循环，周期为；

，数到“”时，是，即食指。

【练习9】 （年第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试试题第题）伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，，，，……，问：数到时，你数在那个手指上？ 【分析】以“拇指、食指、中指、环指、小指、环指、中指、食指”循环，周期为；

，数到时，数在中指上。

【练习10】 （年月日第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）下表中，每列上下两个字构成一组。例如：第一组（北，预），第二组（京，祝）。

北 京 欢 迎 您 北 京 欢 迎 您 北 京 欢 迎 您 北 京 欢 … 预 祝 奥 运 会 圆 满 成 功 预 祝 奥 运 会 圆 满 成 功 … 观察上表可知，由左向右的第组的上、下两个字是。

【分析】上行以“北京欢迎你”为循环，周期是， ，由左向右的第组的上面一个字是“欢”；

下行以“预祝奥运会圆满成功”为循环，周期是， ，由左向右的第组的上面一个字是“预”；

由左向右的第组的上、下两个字是（欢，预）。

补充 【补充1】 有一列数每个数字至少有一个而且是的倍数的正整数 如：20， 40， 60 ，80 ，100 ，104..... 则第158个是多少? A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【分析】继续写几个：100 104 108 120 140 160 180 200……发现100多的（含100）一共有7个，所以所有这些数里面三位数一共有79=63个（因为200、300等和100没有本质区别） 再从1000开始写：1000 1004 1008 1012 1016……1096 1100 1104 1108……发现，1000到1096（含1000和1096）一共有25个数；
而1100和100没有本质区别（即从1100到1200之间的数目个数和100到200之间是相等的）所以1100到1980之间一共有63个数 所以1980之前（含1980）一共有4+63+25+63=155个数 第156个：2000 第157个：2004 所以第158个：2008 【补充2】 一个数列，它前两个数是、，以后各项构造规律是：依次取相邻两项之积，如果是一位数，就取它为下一项，如果是两位数，就顺次用积的十位数字、个位数字作为后两项把它的前几项写出来，如下：，，，，，，，，，，……；
问：在这个无穷数列中出现多少次？ 【分析】按照数列的构造规律，写下去：，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，…… 数列中出现了，，，，，后面一定还会连续出现，，，，，，， 还会出现，，，，，，，，，，，，，；

还会出现，，，，（）；

，，，，，（）；
，，，，，（）；

（），（），（）反复无穷多次出现（中间还插有别的数）；

所以在这个数列中，数字出现无穷多次。

【补充3】 （年北京“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组第题）对于每个不小于的整数，令表示的个位数字。例如，，，，则。

【分析】因为，，所以每个为一个循环。

【补充4】 （年第十四届日本小学数学奥林匹克大赛高小组预赛第题）大郎、二郎、三郎每人手中各拿着张彩纸玩游戏。第一次大郎给二郎张，第二次二郎给三郎张，第三次三郎给大郎张，第四次大郎给二郎张，……如此这样玩下去，当第次游戏结束时，二郎手中还拿着多少张彩纸？ 【分析】从开始算起每玩次，大郎手中的彩纸增加张， 二郎手中的彩纸减少张，三郎手中的彩纸减少张；

， 而第次大郎给二郎张牌；

所以当第次游戏结束时，二郎手中还拿着张彩纸。

【补充5】 （全国奥林匹克竞赛）有一个横格、竖格的矩形方格纸，现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到前面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……直到将所有方格都涂满。那么，最后被涂的那格是从上到下的第几行，从左到右的第几列？ 【分析】如图所示，顺时针涂完第圈后，有两行两列被涂了色，下一个要涂色的是第行第列的方格。

涂完第圈后，有行列被涂了色，剩下行列未被涂色。

最后一圈从行列开始，到行列结束。

【补充6】 （年第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第题）圆周上放置有个空盒子，按顺时针方向依次编号为，，，，，，。小明首先将第枚白色棋子放入号盒子，然后将第枚白色棋子放入号盒子，将第枚白色棋子放入号盒子……放置了第枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了个盒子之后，将第枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了枚白色棋子。随后，小青从号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子里放入了枚红色棋子。请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？ 【分析】列表找出发放棋子的规律：
号盒子 号盒子 号盒子 号盒子 号盒子 号盒子 号盒子 顺时针 （白色棋子） 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 第枚 每枚棋子为一个周期。

、；

每个盒子内白色棋子的数量、红色棋子的数量和所有棋子的总数量如下表：
盒子编号 白色棋子的数量 红色棋子的数量 所有棋子的总数量 【补充7】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的块瓷砖最多能完整地铺满组，此时还剩余块瓷砖。

【分析】当≥，时，第层条边各有块正六边形瓷砖， 其中个角上的正六边形瓷砖被计算了次；
所以有块正六边形瓷砖；

所以当≥，时，第组共用块正六边形瓷砖；

因为、；

用现有的块瓷砖最多能完整地铺满组，此时还剩余块瓷砖。

【补充8】 （年第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第题）一列数是按以下条件确定的：第一个是，第二个是，第三个是，以后每一个数是前面所有数的和的倍，则第六个数等于，从这列数的第个数开始，每个都大于。

【分析】这个数列的第个数记为，前个数的和记为（）；

由题意，当≥时，；

所以；

所以当≥时，，；

所以这个数列第六个数；

因为、；

这个数列是一个单调递增数列；

所以从这列数的第个数开始，每个都大于。

【补充9】 （年北京“数学解题能力展示”读者评选活动高年级初赛第题）按如下表所示规律构造数表：表中的各数之和为，表中的各数之和为，表中的各数之和为，如果表中的各数之和等于，那么等于。

【分析】当≥时，表比表多个；

所以当≥时，表中所有数之和为 令，，。

【补充10】 （年第五届日本小学数学奥林匹克大赛高小组预赛第题）有个人坐成一横排。首先，正中间的一个人站起来，然后，按下述方法大家都或坐或站。

① 邻座的人站起来，秒钟后，自己也站起来；

②站起秒钟后坐下；

③如果左、右邻座的人同时是站着，那么即使过了秒钟，自己仍然坐着。

请问：
⑴最初的那个人站起秒钟后，有几个人站着？ ⑵秒钟后，有几个人站着？ 【分析】用图表来表示大家或站或坐的状态，●表示站、×表示坐。

这样排下去，可知最初的那个人站起秒钟后，有个人站着。

根据规律，秒钟后有人站着，秒钟后有人站着，其余时间有人站着；

最初的那个人站起秒钟后，有个人站着。

【补充11】 （年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试题第题）将以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操：
①将左边第一个数码移到数字串的最右边；

②从左到右两位一节组成若干个两位数；

③划去这些两位数中的合数；

④所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；

⑤所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。

问：经过次操作，所得到的数字串是什么？ 【分析】以内有个质数：、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、。

研究经过操作，数字串呈现什么变化规律：
第次操作得数字串：；

第次操作得数字串：；

第次操作得数字串：；

第次操作得数字串：；

第次操作得数字串：；

第次操作得数字串：；

第次操作得数字串：；

第次操作得数字串：；

从第次操作开始，以为循环；

因为，所以经过次操作，所得到的数字串是。

【补充12】 （年“华罗庚金杯”）第一次操作：在圆周上两个不同的点上分别写上数，；
第二次操作：在数，将圆周分成的两条圆弧的中点处分别写上与的和；
第三次操作：在四条圆弧的个中点处分别写上每条弧的两个端点上的数的和……如图所示，每次都在由数划分出的圆弧的中点处写上这条弧的两个端点上的两个数的和。

⑴操作了次后，圆周上的所有数的和是。

⑵次操作后圆周上的所有数的和与次操作后圆周上的所有数的和的比是。

【分析】记第操次作后圆上所有数的和是；

每次操作时，原来圆上每个数都加了次，即新增加数的和等于原来圆上数的倍；

所以；

因为；
所以；

⑴操作了次后，圆周上的所有数的和；

⑵次操作后圆周上的所有数的和与次操作后圆周上的所有数的和的比。

【补充13】 （年香港圣公会数学竞赛应用题第题）从边长为的小正方形开始，以这个正方形的对角线为边作第个正方形，再以第个正方形的对角线为边作第个正方形，如此下去，那么第个正方形的边长是。

【分析】第个正方形的面积是第个正方形的面积的倍；

第个正方形的边长是第个正方形的边长的倍 当时（），第个正方形的边长为；

第个正方形的边长是。

【补充14】 （年第十届日本小学数学奥林匹克大赛高小组决赛第题）把分别写有的张卡片按从小到大的顺序码成一摞，然后按下述步骤操作：
步骤：如图，把这摞卡片分成上、下两部分，上半摞张称作，下半摞张称作；

步骤：把中从上数第一张卡片拿出，放在桌子上；
然后是中从上数第一张卡片，中从上数第二张卡片，中从上数第二张卡片，……，中最下面的卡片，中最下面的卡片，按这样的顺序码成一摞。

按步骤、步骤进行后，即完成一轮操作。

求：第九轮操作结束时摞在最上面的卡片上的数。

【分析】先把这摞卡片编上号，第一张是、第二张是、……、最下面一张是。

然后再按照题目给出的步骤进行两轮操作。

（上半部分） 上下 操作前 第一轮操作后 第二轮操作后 （下半部分） 上下 操作前 第一轮操作后 第二轮操作后 最上面的卡片有这样的变化：
因此可以找到如下规律：
按照规律写下去：
由此可知，第九轮操作结束时摞在最上面的卡片上的数是。

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