2020届高三二模试题数学 [2020届市一中学一模数学（理）试题（解析版）]

2020届市一中学一模数学（理）试题 一、单选题 1．复数，其中是虚数单位，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复数模的定义求解. 【详解】 ，选A. 【点睛】 本题考查复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求解集合N中的不等式，再求交集即可。

【详解】 ；

故选：C 【点睛】 本题考查集合的基本运算，求两个集合的交集，属于基础题。

3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可． 【详解】 该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥为三视图还原后的几何体， CBA和ACD是两个全等的直角三角形；
，几何体的体积为：， 故选：C 【点睛】 本题考查由三视图求体积，解决本题的关键是还原该几何体的形状． 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【详解】 代入，，则，；

再次代入得，；
继续代入得，；
不难发现出现了循环，周期为3 则当时，，，跳出循环得到 故选 【点睛】 本题主要考查的是程序框图，在循环结构中找出其循环规律，即可得出结果，较为基础 5．在△ABC中，，c=4，，则b=（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据正弦定理即可计算解得b的值． 【详解】 ∵，c=4，， ∴ ， ∴由正弦定理 ，可得：，解得：b=3． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题． 6．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 存在实数，使得， 说明向量共线，当同向时，成立， 当反向时，不成立，所以，充分性不成立. 当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立， 即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是的中点，则线段的长为（ ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果. 【详解】 如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H， 由抛物线y2=8x，得焦点F（2，0）， ∵点F是的AC中点，∴AE=2p=8，则AF=8， ∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得. ，则AF所在直线方程为. 联立方程：可得：， ，则. 故. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有( ) A．种 B．48种 C．72种 D．种 【答案】C 【解析】根据插空法求不相邻问题. 【详解】 除甲、乙二人外，其他3个同学先排成一排，共有＝6种， 这3个同学排好后，留下4个空位，排甲、乙，共有＝12种， 所以，不同排法有：6×12＝72种， 选C。

【点睛】 本题考查插空法求不相邻问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意分别求得a,c的值，然后结合离心率的定义可得椭圆离心率的近似值. 【详解】 如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738， 依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838， 　　　　｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138， a＝1988， a＋c＝2138， c＝2138－1988＝150， 椭圆的离心率为：， 选B. 【点睛】 本题主要考查椭圆的实际应用，椭圆离心率的求解，近似计算的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积( ) A．与都有关 B．与都无关 C．与有关，与无关 D．与有关，与无关 【答案】B 【解析】根据等体积法以及锥体体积公式判断选择. 【详解】 因为VO－AEF＝VE－OAF， 所以，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值， 因为BB1∥平面ACC1A1， 所以，点E到平面AOE的距离为定值， 又AO∥A1C1， 所以，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值， 即△AOF的面积是定值， 所以，四面体的体积与都无关，选B。

【点睛】 本题考查三棱锥的体积、点到平面的距离以及点到直线的距离，考查基本分析判断能力，属中档题. 11．已知数列满足：， ，则下列关于的判断正确的是（ ) A．使得 B．使得 C．总有 D．总有 【答案】D 【解析】由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可. 【详解】 对于选项A，由于，故恒成立，则， 故不存在的项，选项A说法错误；

对于选项B，由于，结合选项A可知，故，即，选项B说法错误；

对于选项C，构造函数，则，则函数在区间上单调递增，则不存在满足，选项C说法错误；

对于选项D，令，则，此时数列为常数列，故总有，选项D说法正确. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数的取值范围. 【详解】 函数有6个零点， 等价于函数与有6个交点， 当时，， 当时，，， 当时，递增，当时，递减， 的极大值为：， 作出函数的图象如下图， 与的图象有6个交点，须，表示为区间形式即. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题 13．若实数满足，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】由约束条件作出可行域如图， 令,则， 由图可知,当直线过B时，t有最小值. ，解得. ∴的最小值是. 故答案为：. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；
二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；
三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 14．双曲线的一条渐近线方程为，则离心率等于___. 【答案】 【解析】根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得＝2，最后得离心率. 【详解】 双曲线的渐近线方程为：， 所以，＝2， 离心率为：。

【点睛】 本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．在的展开式中，的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式可得的系数. 【详解】 由二项式展开式的通项公式可得的展开式为：
， 令可得的系数是. 【点睛】 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；
第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 16．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为. ① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；

④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 【答案】②④ 【解析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可. 【详解】 设点P的坐标为：P（x，y）， 依题意，有：， 整理，得：， 对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0， 椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；

对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4， 椭圆方程为：，则，解得：，符合；

对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；

对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即， 不可能成为焦点在y轴上的双曲线， 所以，不存在满足题意的实数a，正确. 所以，正确命题的序号是②④. 【点睛】 本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题 17．已知中，，，. （1）求的面积；

（2）求边上的中线的长. 【答案】（1）28（2） 【解析】（1）由即可求得，再利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求得，利用正弦定理即可求得，再利用三角形面积公式计算得解。

（2）在中，由余弦定理列方程即可得解。

【详解】 解：（1）且， ∴． 在中，由正弦定理得， 即，解得． 所以的面积为 （2）在中，， 所以由余弦定理得 ， 所以． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理及余弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查了同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题。

18．为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分都在区间.已知评估综合得分与产品等级如下表：
根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）. 甲型 乙型 （Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；

（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量为其中二级品的个数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较. 【答案】（Ⅰ）0.25;（Ⅱ）详见解析；
（Ⅲ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求对应区间概率，即得结果，（Ⅱ）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表的分布列，最后根据数学期望公式得结果，（Ⅲ）先确定标准，如根据三级品率进行比较或根据一级品率，再根据概率大小确定优劣. 【详解】 （Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件 由图可得 （Ⅱ）的可能取值为 所以的分布列为 0 1 2 3 方法一：
方法二：服从二项分布所以 （Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案） 1可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0，乙型三等品概率0.05.所以可以认为甲型产品的质量更好；

2可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6，乙型一等品概率为0.7.所以可以认为乙型产品的质量更好；

【点睛】 本题考查频率分布直方图以及分布列与数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,,，，为中点． （Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；
若不存在，说明理由． 【答案】（I）见解析；

（II）；

（Ⅲ）答案见解析 . 【解析】(Ⅰ)由题意结合三角形中位线的性质和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后结合法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)假设存在满足题意的点，由题意结合点的坐标和向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可确定的值. 【详解】 （I）设交于点，连结. 因为底面是矩形,所以为中点 . 又因为为中点 , 所以∥. 因为平面平面,所以∥平面. （II）取的中点，连结，. 因为底面为矩形,所以. 因为，, 所以∥，所以. 又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD. 所以PO⊥平面ABCD， 如图，建立空间直角坐标系,则， 设平面的法向量为， 所以 令，则，所以. 平面的法向量为，则. 如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （Ⅲ）在棱上存在点, 使. 设,则.　 因为,所以. . 因为,所以. 所以，解得. 所以在棱上存在点,使，且. 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理，面面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称． 【答案】（Ⅰ），离心率；
（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）由已知，得a，c＝1，所以，由 ，所以b，即可求出椭圆方程及离心率；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），，分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2﹣2y＝0，即可证明。

【详解】 （Ⅰ）由已知，得，所以， 又，所以 所以椭圆的标准方程为，离心率. （Ⅱ）设，， ， ①直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，． 因为，，， 所以． 所以，即点与原点重合; ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 由 得，． 所以. 则， 因为，，， 所以． 所以，．，， 消去得． 综上，点构成的曲线的方程为 对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为． 把的坐标代入曲线的方程的左端：． 所以点也在曲线上． 所以由点构成的曲线关于直线对称. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题． 21．已知函数. （1）求证：对任意实数，都有；

（2）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；
若不存在，请说明理由.（） 【答案】（1）见证明；
（2）见解析 【解析】（1）利用导数求得，令，再利用导数即可求得，问题得证。

（2）整理得：，令：，由得，对是否大于分类， 当时，即时，利用导数即可证得，当时，利用导数即可求得，要使不等式恒成立转化成成立，令，利用导数即可求得，，即可求得，问题得解。

【详解】 解：（1）证明：由已知易得，所以 令得：
显然，时，<0，函数f（x）单调递减；

时，>0，函数f（x）单调递增 所以 令，则由得 时，>0，函数t（）单调递增；

时，<0，函数t（）单调递减 所以，即结论成立. （2）由题设化简可得 令，所以 由=0得 ①若，即时，在上，有，故函数单调递增 所以 ②若，即时， 在上，有，故函数在上单调递减 在上，有.故函数在上单调递增 所以，在上， 故欲使，只需即可 令 由得 所以，时，，即单调递减 又 故 【点睛】 本题主要考查了转化思想及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及化归能力，考查计算能力及观察能力，属于难题。

22．已知直线l：(t为参数), 曲线(为参数)． (1)设l与C1相交于AB两点,求|AB|；

(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】(1)将直线与曲线的参数方程化为一般方程，联立方程组求出交点坐标，计算出的长 (2)根据题意求出曲线变化后的点坐标，代入点到直线的距离公式，运用三角函数知识求出最小值 【详解】 （1）的普通方程为，的普通方程为 联立方程组解得与的交点为,,则. （2）的参数方程为（为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是, 由此当时, 取得最小值,且最小值为. 【点睛】 本题考查了参数方程与一般方程的转化，并运用参数方程求解弦长问题以及最值问题，需要掌握解题方法，较为基础 23．已知函数. (1)当时，求不等式的解集；

(2)令，的图象与两坐标轴的交点分别为，，，若三角形的面积为，求得值. 【答案】（1）（2） 【解析】(1)当时，不等式可化为，分类讨论，即可求解不等式的解集；

(2)由题意，得到函数的解析式，得到的图象与两坐标轴的交点坐标分别，根据面积列出方程，即可求解. 【详解】 (1)当时，不等式可化为， ①当时，不等式化为，解得：；

②当时，不等式化为，解得：；

③当时，不等式化为，解集为， 综上，不等式的解集为. (2)由题设得， 所以的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，， 于是三角形的面积为， 得，或（舍去），故. 【点睛】 本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及分段函数的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，熟练求得函数的图象与两坐标轴的交点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

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