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    2020普通高等学校招生全国统一考试数学_高考卷,96届,普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

    时间：2020-11-10 04:20:56来源：百花范文网本文已影响人

    1996年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 注意事项：
    1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 已知全集I=N，集合A={x│x=2n，n∈N}，B={x│x=4n，n∈N}，则 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=logax的图像 ( ) (3) 若sin2x>cos2x，则x的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) (4) 复数等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 如果直线、与平面、、满足：∥⊥，那么必有 ( ) (A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β (C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ (6) 当的 ( ) (A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－ (C) 最大值是2，最小值是－2 (D) 最大值是2，最小值是－1 (7) 椭圆的两个焦点坐标是 ( ) (A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1) (D) (7，－1)，(－1，－1) 等于 ( ) (A) (B) － (C) －2 (D) －－2 (9) 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D－ABC的体积为 ( ) (A) (B) (C) (D) (10) 等比数列的首项a1=－1，前n项和为S n ，若 则等于 ( ) (A) (B) － (C) 2 (D) －2 (11) 椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 ( ) (A) (3，0)，(1，) (B) (，)，(，) (C) (2，)，(2，) (D) (，)，(，) (12) 等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 ( ) (A) 130 (B) 170 (C) 210 (D) 260 (13) 设双曲线的半焦距为c,直线l过两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为 ( ) (A) 2 (B) (C) (D) (14) 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (15) 设f(x)是(－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5) 等于 ( ) (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 第Ⅱ卷(非选择题共85分) 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． (16)已知圆与抛物线的准线相切，则P= (17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答） (18) 的值是 (19)如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20)解不等式． (21)已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值． 22．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1． (Ⅰ)求证：BE=EB1; (Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图) (Ⅰ)证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足． ① ∵ ∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC， ② ∵ ∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG． ③ ∵ ∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG， ④ ∵ ∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC， ⑤ ∵ ∴，即 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）? （粮食单产=，人均粮食占有量=） 24．已知l1、l2是过点的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2． (Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围；

    (Ⅱ)若、l2的方程 25．已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时，│f(x)│≤1． (Ⅰ)证明：│c│≤1；

    (Ⅱ)证明：当－1≤x≤1时，│g(x)│≤2；

    (Ⅲ)设a>0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)． 1996年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 说明：
    一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分． (1)C (2)A (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)D (10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． （16）2 （17）32 （18） （19） 三．解答题 (20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分． 解：(Ⅰ)当a＞1时，原不等式等价于不等式组：
    ——2分 由此得． 因为1－a<0，所以x<0， ∴ ——5分 (Ⅱ)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：
    ——7分 ① ② 由①得，x>1或x<0， 由②得， ∴ ——10分 综上，当时，不等式的解集为；

    当时，不等式的解集为 ——11分 (21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°． ——2分 ∵ ∴ 将上式化为 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 ——6分 将代入上式得 将代入上式并整理得 ——9分 ∵ ∴ 从而得 ——12分 解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°． 设，可得， ——3分 所以 ——7分 依题设条件有， ∵ ∴ 整理得 ——9分 ∵， ∴． 从而得． ——12分 (22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分． (Ⅰ) ①∵面A1EC⊥侧面AC1， ——2分 ②∵面ABC⊥侧面AC1， ——3分 ③∵BE∥侧面AC1， ——4分 ④∵BE∥AA1， ——5分 ⑤∵AF=FC， ——6分 (Ⅱ)解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D． ∵∥， ∴ ∵∠B1A1C1=∠B1 C1A1=60°， ∠DA1B1=∠A1DB1=（180°－∠D B1A1）=30°， ∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即⊥ ——9分 ∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C， 所以∠CA1C1是所求二面角的平面角． ——11分 ∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°， ∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45° ——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分． 解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷． 依题意得不等式 ——5分 化简得 ——7分 ∵ —— 9分 ∴x≤4（公顷）． 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 (24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分． 解：（I）依题设，l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P且与双曲线有两个交点，故方程组 ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y，整理得 ② 若，则方程组①只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故，即，方程②的判别式为 设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组 ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y，整理得 ④ 同理有 又因为l1⊥l2，所以有k1·k2=－1． ——4分 于是，l1、l2与双曲线各有两个交点，等价于 解得 ——6分 ∴ ——7分 (Ⅱ)设由方程②知 ∴│A1B1│2=(x1－x2)2+(y1－y2)2 ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得，整理得 ⑥ 由，得 将⑤、⑥代入上式得 解得 取时，；

    取时，． ——12分 (25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分． (Ⅰ)证明：由条件当－1≤x≤1时，│f(x)│≤1，取x=0得 │c│=│f(0)│≤1， 即│c│≤1． ——2分 (Ⅱ)证法一：
    当a>0时，g(x)=ax+b在[－1，1]上是增函数， ∴g(－1)≤g(x)≤g(1)， ∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)，│c│≤1， ∴g(1)=a+b=f(1)－c≤│f(1)│+│c│≤2， g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(│f(－1)│+│c│)≥－2， 由此得│g(x)│≤2; ——5分 当a<0时，g(x)=ax+b在[－1，1]上是减函数， ∴g(－1)≥g(x)≥g(1)， ∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)，│c│≤1， ∴g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≤│f(－1)│+│c│≤2， g(1)=a+b=f(1)－c≥－(│f(1)│+│c│)≥－2， 由此得│g(x)│≤2; ——7分 当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c． ∵－1≤x≤1， ∴│g(x)│=│f(1)－c│≤│f(1)│+│c│≤2． 综上得│g(x)│≤2． ——8分 证法二：
    由，可得 ——6分 当－1≤x≤1时，有 根据含绝对值的不等式的性质，得 即│g(x)│≤2． ——8分 (Ⅲ)因为a>0，g(x)在[－1，1]上是增函数，当x=1时取得最大值2， 即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2． ① ∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1， ∴c=f(0)=－1． ——10分 因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)， 根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图像的对称轴，由此得 由① 得a=2． 所以 f(x)=2x2－1． ——12分

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