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    高考卷,93届,普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（文）:高考数学答案

    时间：2020-11-01 12:11:47来源：百花范文网本文已影响人

    1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共68分) 注意事项：
    1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共17小题；
    每小题4分，共68分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是 ( ) (A) 2π (B) (C) π (D) (2) 如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 ( ) (A) (B) (C) (D) 2 (3) 和直线3x－4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ( ) (A) 3x+4y－5=0 (B) 3x+4y+5=0 (C) －3x+4y－5=0 (D) －3x+4y+5=0 (4) i2n－3+i2n－1+i2n+1+i2n+3的值为 ( ) (A) －2 (B) 0 (C) 2 (D) 4 (5) 在[－1，1]上是 ( ) (A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数 (D) 减函数且是偶函数 (6) 的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) (7) 集合，则 ( ) (A) M=N (B) (C) (D) Ø (8) sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( ) (A) (B) (C) (D) (9) 圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y－25=0的距离的最小值是 ( ) (A) 6 (B) 4 (C) 5 (D) 1 (10) 若a、b是任意实数，且a>b，则 ( ) (A) a2>b2 (B) (C) lg(a－b)>0 (D) (11) 一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为 ( ) (A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线的一支 (D) 抛物线 (12) 圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( ) (A) (B) (C) (D) (13) (+1)4(x－1)5展开式中x4的系数为 ( ) (A) －40 (B) 10 (C) 40 (D) 45 (14) 直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π，则旋转体的体积为 ( ) (A) 2π (B) (C) (D) (15) 已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则 ( ) (A) a1+ a8> a4+ a5 (B) a1+ a8< a4+ a5 (C) a1+ a8= a4+ a5 (D) a1+ a8和a4+ a5的大小关系不能由已知条件确定 (16) 设有如下三个命题：
    甲：相交两直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内. 乙：l，m之中至少有一条与β相交. 丙：α与β相交. 当甲成立时 ( ) (A) 乙是丙的充分而不必要的条件 (B) 乙是丙的必要而不充分的条件 (C) 乙是丙的充分且必要的条件 (D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 (17) 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ( ) (A) 6种 (B) 9种 (C) 11种 (D) 23种 第Ⅱ卷(非选择题共82分) 注意事项：
    1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，要在答题卡上填涂. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题：本大题共6小题；
    每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. (18) 设a>1，则=________________ (19) 若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为___________________ (20) 从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有__________种取法(用数字作答). (21) 设f(x)=4x－2x+1，则f－1(0)=______________ (22) 建造一个容积为8m3 ，深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元 (23) 如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为__________度 三、解答题：本大题共5小题；
    共58分.解题应写出文字说明、演算步骤. (24) (本小题满分10分) 求tg20º+4sin20º的值. (25)(本小题满分12分) 已知f(x)=loga(a>0，a≠1). (Ⅰ)求f(x)的定义域；

    (Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

    (Ⅲ)求使f(x)>0的x取值范围. (26) (本小题满分12分) 已知数列 Sn为其前n项和.计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明. (27) (本小题满分12分) 已知：平面α∩平面β=直线a. α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b. 求证：(Ⅰ)a⊥γ；

    (Ⅱ)b⊥γ. (28) (本小题满分12分) 在面积为1的△PMN中，tg∠PMN=，tg∠MNP=－2.建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程. 1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准 说明：
    1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
    如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分68分. (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)A (14)D (15)A (16)C (17)B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分. (18)－a2 (19){k||k|>} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30 三、解答题 (24)本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力.满分10分. 解 tg20º+4sin20º ——2分 ——6分 . ——10分 (25)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分. 解 (Ⅰ)由对数函数的定义知. ——1分 如果，则－1<x<1；

    ——3分 如果，则不等式组无解. ——4分 故f(x)的定义域为(－1，1) (Ⅱ) ∵ ， ∴ f(x)为奇函数. ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a>1，loga等价于 ， ① 而从(Ⅰ)知1－x>0，故①等价于1+x>1－x，又等价于x>0.故对a>1，当x∈(0，1)时有f(x)>0. ——9分 (ⅱ)对0<a<1，loga等价于 0<. ② 而从(Ⅰ)知1－x>0，故②等价于－1<x<0.故对0<a<1，当x∈(－1，0)时有f(x)>0. ——12分 (26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分12分. 解 . ——4分 证明如下：
    (Ⅰ)当n=1时，，等式成立. ——6分 (Ⅱ)设当n=k时等式成立，即 ——7分 则 由此可知，当n=k+1时等式也成立. ——11分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n∈N都成立. ——12分 (27)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分. 证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC. ——1分 ∵ γ⊥α， ∴ PM⊥α. 而 aα， ∴ PM⊥a. 同理PN⊥a. ——4分 又 PMγ，PNγ， ∴ a⊥γ. ——6分 (Ⅱ)于a上任取一点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2. ——7分 ∵ b∥α，∴ b∥a1. 同理b∥a2. ——8分 ∵ a1，a2同过Q且平行于b， ∵ a1，a2重合. 又 a1α，a2β， ∴ a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a. ——10分 ∵ b∥a1，∴ b∥a. 而a⊥γ， ∴ b⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分. 证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ. ——1分 ∵ α⊥γ，P∈α， ∴ a′α. 同理a′β. ——3分 可见a′是α，β的交线. 因而a′重合于a. ——5分 又 a′⊥γ， ∴ a⊥γ. ——6分 (Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c.同法过b作平面与β交于直线d. ——7分 ∵ b∥α，b∥β. ∴ b∥c，b∥d. ——8分 又 cβ，dβ，可见c与d不重合.因而c∥d. 于是c∥β. ——9分 ∵ c∥β，cα，α∩β=a， ∴ c∥a. ——10分 ∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)， ∴ b∥a. ——11分 而 a⊥γ， ∴ b⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分. (28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分. 解法一如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M(－c，0)，N(c，0). ——1分 由tgM=，tgα=tg(π－∠MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x－c).将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为(c，c). ——5分 在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故 由题设条件S△MNP=1，∴ c=，即P点坐标为. ——7分 由两点间的距离公式 ， . 得 . ——10分 又 b2=a2－c2=，故所求椭圆方程为 ——12分 解法二同解法一得，P点的坐标为. ——7分 ∵ 点P在椭圆上，且a2=b2+c2. ∴ . 化简得3b4－8b2－3=0. 解得b2=3，或b2= (舍去). ——10分 又 a2=b2+c2=3+. 故所求椭圆方程为. ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分 ∵ ∠P=∠α－∠PMN， ∴ . ∴ ∠P为锐角. ∴ sinP=，cosP=. 而 S△MNP=|PM|·|PN|sinP=1，∴ |PM|·|PN|=. ——4分 ∵ |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c，由余弦定理， (2c)2=|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP =(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP) =(2a)2－2·－2··， ∴ c2=a2－3，即b2=3. ——7分 又 sinM=，sinN=，由正弦定理， ， ∴ . 即 ， ∴ a=c. ——10分 ∴ a2=b2+c2=3+. ∴ a2=. 故所求椭圆方程为. ——12分

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