【湖南省邵阳市2021年中考数学试卷（word版+答案+解析）】2021邵阳中考试卷估分

湖南省邵阳市2021年中考数学试卷 一、单选题（共10题；
共20分） 1.-3的相反数是（   ） A. -3                                  B. 0                                  C. 3                                  D. π 2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A.      B.      C.      D.  3.2021年我国首次发射探测器对火星进行探测.北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道.用科学记数法将192000000表示为 a×108 的形式，则 a 的值是（   ） A. 0.192                           B. 1.92                           C. 19.2                           D. 192 4.如图，若数轴上两点 M ， N 所对应的实数分别为 m ， n ，则 m+n 的值可能是（   ） A. 2                                 B. 1                                 C. -1                                 D. -2 5.如图，在 △AOB 中， AO=1 ， BO=AB=32 .将 △AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 90° ，得到 △A＇OB＇ ，连接 AA＇ .则线段 AA＇ 的长为（   ） A. 1                               B. 2                               C. 32                               D. 322 6.其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷.经统计，制成如下数据表格. 接种疫苗针数 0 1 2 3 人数 2100 2280 1320 300 小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比.下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：
①计算各部分扇形的圆心角分别为 126° ， 136.8° ， 79.2° ， 18° .②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%.③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比.制作扇形统计图的步骤排序正确的是（   ） A. ②①③                       B. ①③②                       C. ①②③                       D. ③①② 7.不等式组 {5x-1>3x-4-13x≤23-x 的整数解的和为（   ） A. 1                                 B. 0                                 C. -1                                 D. -2 8.某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校.图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程.结合图象，判断下列结论正确的是（   ） A. 小明修车花了15min B. 小明家距离学校1100m C. 小明修好车后花了30min到达学校 D. 小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s 9.如图，点 A ， B ， C 是 ⊙O 上的三点.若 ∠AOC=90° ， ∠BAC=30° ，则 ∠AOB 的大小为（   ） A. 25°                           B. 30°                           C. 35°                           D. 40° 10.在平面直角坐标系中，若直线 y=-x+m 不经过第一象限，则关于 x 的方程 mx2+x+1=0 的实数根的个数为（   ） A. 0个                            B. 1个                            C. 2个                            D. 1或2个 二、填空题（共8题；
共10分） 11.16的算术平方根是________． 12.因式分解：
xy2-x3= ________. 13.如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF ． 若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为________ ． 14.已知点 A(1,y1) ， B(2,y2) 为反比例函数 y=3x 图象上的两点，则 y1 与 y2 的大小关系是 y1 ________ y2 .（填“>”“=”或“<”） 15.如图，已知线段 AB 长为4.现按照以下步骤作图：①分别以点 A ， B 为圆心，大于 12AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点 E ， F ；
②过 E ， F 两点作直线，与线段 AB 相交于点 O .则 AO 的长为________. 16.一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是________． 17.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四.问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；
如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是________钱. 18.如图，在矩形 ABCD 中， DE⊥AC ，垂足为点 E .若 sin∠ADE=45 ， AD=4 ，则 AB 的长为________. 三、解答题（共8题；
共75分） 19.计算：
(2021-π)0-|3-2|-tan60° . 20.先化简，再从 -1 ，0，1，2， 2+1 中选择一个合适的 x 的值代入求值. (1-xx+1)÷x2-1x2+2x+1 . 21.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ， F 是对角线 AC 上的两点，且 AE=CF .连接 DE ， DF ， BE ， BF . （1）证明：
△ADE≌△CBF . （2）若 AB=42 ， AE=2 ，求四边形 BEDF 的周长. 22.为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品.采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图. 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额. 23.为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题. 周学习时间 频数 频率 0≤t<1 5 0.05 1≤t<2 20 0.20 2≤t<3 a 0.35 3≤t<4 25 m 4≤t≤5 15 0.15 （1）求统计表中 a ， m 的值. （2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”.求甲同学的周学习时间在哪个范围内. （3）已知该校学生约有20000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数. 24.某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 ED 与母线 AD 长之比为 1:2 .制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 AB=AC ， AD⊥BC .将扇形 AEF 围成圆锥时， AE ， AF 恰好重合. （1）求这种加工材料的顶角 ∠BAC 的大小 （2）若圆锥底面圆的直径 ED 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留 π ） 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C ：
y=ax2+bx+c(a≠0) 经过点 (1,1) 和 (4,1) . （1）求抛物线 C 的对称轴. （2）当 a=-1 时，将抛物线 C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 C1 . ①求抛物线 C1 的解析式. ②设抛物线 C1 与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C ，连接 BC .点 D 为第一象限内抛物线 C1 上一动点，过点 D 作 DE⊥OA 于点 E .设点 D 的横坐标为 m .是否存在点 D ，使得以点 O ， D ， E 为顶点的三角形与 △BOC 相似，若存在，求出 m 的值；
若不存在，请说明理由. 26.如图，在 Rt△ABC 中，点 P 为斜边 BC 上一动点，将 △ABP 沿直线 AP 折叠，使得点 B 的对应点为 B＇ ，连接 AB＇ ， CB＇ ， BB＇ ， PB＇ . （1）如图①，若 PB＇⊥AC ，证明：
PB＇=AB＇ . （2）如图②，若 AB=AC ， BP=3PC ，求 cos∠B＇AC 的值. （3）如图③，若 ∠ACB=30° ，是否存在点 P ，使得 AB=CB＇ .若存在，求此时 PCBC 的值；
若不存在，请说明理由. 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 C 【考点】相反数及有理数的相反数 【解析】【解答】-（-3）=3，即-3的相反数是3， 故答案为：C. 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可. 2.【答案】 C 【考点】中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可. 3.【答案】 B 【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：用科学记数法将192000000表示为 1.92×108 ， 故答案为：B. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此判断即可. 4.【答案】 D 【考点】实数在数轴上的表示 【解析】【解答】解：根据数轴可得-3＜ m ＜-2，0＜ n ＜1，则-3＜ m+n ＜-1. 故答案为：D. 【分析】由数轴可得-3＜ m ＜-2，0＜ n ＜1，据此求出m+n的范围即可. 5.【答案】 B 【考点】勾股定理，旋转的性质 【解析】【解答】解：∵旋转性质可知 OA=OA＇=1 ， ∠AOA＇=90° ， ∴ AA＇=OA2+A＇O2=2 ， 故答案为：B. 【分析】根据旋转性质可知 OA=OA＇=1 ， ∠AOA＇=90° ， 利用勾股定理求出AA＇即可. 6.【答案】 A 【考点】扇形统计图 【解析】【解答】解：制作扇形统计图的步骤为：
第一步：首先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%. 第二步：再计算各部分扇形的圆心角分别为 126° ， 136.8° ， 79.2° ， 18° . 第三步：在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比. 所以，制作扇形统计图的步骤排序为：②①③. 故答案为：A. 【分析】制作扇形统计图的步骤为：①计算各部分再总体中的百分比，②利用百分比求出各部分扇形圆心角的度数；
③按比例取适当的半径画一个圆，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比，据此判断即可. 7.【答案】 A 【考点】一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：
{5x-1>3x-4①-13x≤23-x② ， 解①得 x>-32 ， 解②得 x≤1， ∴ -23<x≤1 ， ∴整数解有：0，1， ∴0+1=1. 故答案为：A. 【分析】先求出不等式组的解集，再求出其整数解即可. 8.【答案】 A 【考点】通过函数图象获取信息并解决问题 【解析】【解答】解：根据图象7:05-7:20为修车时间20-5=15分钟，故A正确；

小明家距离学校2100m，故B错误；

小明修好车后花了30-20=10分钟到达学校，故C错误；

小明修好车后骑行到学校的平均速度是（2100-1000）÷600= 116 m/s，故D错误；

故答案为：A. 【分析】由于时间在变，而路程不变，根据横坐标即可求出时间；
根据图象的纵坐标，求出小明家距离学校的路程；
利用小明修好车后的路程除以时间即得小明修好车后骑行到学校的平均速度，然后判断即可. 9.【答案】 B 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：∵ ∠BAC=30° ∴∠BOC=2 ∠BAC=2×30°=60° ， ∵ ∠AOC=90° ， ∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30° ， 故答案为：B. 【分析】根据圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=60°，利用∠AOB=∠AOC-∠BOC计算即可. 10.【答案】 D 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：∵直线 y=-x+m 不经过第一象限， ∴m=0或m＜0， 当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；

当m＜0时，方程 mx2+x+1=0 是一元二次方程，且△= b2-4ac=1-4m ， ∵m＜0， ∴-4m＞0， ∴1-4m＞1＞0， ∴△＞0， 故方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根， 故答案为：D. 【分析】由于直线 y=-x+m 不经过第一象限，可得m=0或m＜0，分两种情况判断方程根的情况即可. 二、填空题 11.【答案】 4 【考点】算术平方根 【解析】【解答】解：∵42=16， ∴ 16 =4． 故答案为：4． 【分析】本题考查的是算术平方根的定义，根据算术平方根的定义即可求出答案． 12.【答案】 x（y-x）（y+x） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【解析】【解答】解：
xy2-x3=x(y2-x2)=x(y-x)(y+x) ， 故答案为：x（y-x）（y+x）. 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可. 13.【答案】 5 【考点】三角形的中位线定理 【解析】【解答】如上图所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE= AC ， 同理有EF= AB ， DF= BC ， ∴△DEF的周长= （AC+BC+AB）= ×10=5 ． 故答案为5 ． 【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE= AC ， 同理有EF= AB ， DF= BC ， 于是易求△DEF的周长 ． 14.【答案】 > 【考点】反比例函数的性质 【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的解析式为 y=3x ，k＞0， ∴ 在每个象限内y随x的增大而减小， ∵ 1＜2， ∴ y1 ＞ y2 . 故答案为：>. 【分析】反比例函数的解析式为 y=3x ，由于k＞0，可得在每个象限内y随x的增大而减小，据此解答即可. 15.【答案】 2 【考点】线段垂直平分线的性质，作图-线段垂直平分线 【解析】【解答】解：
∵ 分别以点 A ， B 为圆心，以大于 12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和点 F ， ∴AE=BE ， AF=BF ， ∴EF 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AO=12AB=2 . 故答案为2. 【分析】根据作图可知EF垂直平分AB，可得AO=12AB，据此即得结论. 16.【答案】 13 【考点】列表法与树状图法 【解析】【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是 26 = 13 ． 故答案为 13 ． 【分析】根据树状图判断出蚂蚁一共有多少种路可以选择，有几种可能可以获取食物即可解决问题．本题考查树状图、概率等知识，记住概率的定义是解决问题的关键，考虑问题要全面，属于中考常考题型． 17.【答案】 53 【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题 【解析】【解答】解：设一共有 x 人 由题意得：
8x-3=7x+4 解得：
x=7 所以价值为：
7×8-3=53 （钱） 故答案是：53. 【分析】设一共有 x 人， 由如果每人出8钱，则多了3钱，可得总钱数为（8x-3）元；
如果每人出7钱，则少了4钱，可得总钱数为（7x+4）元，根据总钱数相等，列出方程，求解即可. 18.【答案】 3 【考点】勾股定理，矩形的性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：在 Rt△ADE 中， sin∠ADE=AEAD=45 ∵AD=4 ∴AE=165 ∴DE=AD2-AE2=42-(165)2=125 ∵DE⊥AC ∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠ECD=90° ∴∠ADE=∠ECD ∴sin∠ADE=sin∠ECD=DECD=45 ∴CD=DE⋅54=3 在矩形 ABCD 中， AB=CD=3 故答案为：3. 【分析】在 Rt△ADE 中，由sin∠ADE=AEAD=45求出AE，利用勾股定理求出DE，根据余角的性质求出∠ADE=∠ECD ， 从而得出sin∠ADE=sin∠ECD=DECD=45 ， 据此求出CD，利用矩形的性质得出AB=CD，从而得出结论. 三、解答题 19.【答案】 解：
(2021-π)0-|3-2|-tan60° ＝ 1-(2-3)-3 ＝ 1-2+3+3 ＝﹣1+2 3 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】利用零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角三角函数值先进行计算，再合并即可. 20.【答案】 解：原式 =x+1-xx+1×(x+1)2(x+1)(x-1) =1x+1×(x+1)2(x+1)(x-1) =1x-1 ∵ 代数式有意义，分母和除数不为0 ∴ (x+1)(x-1)≠0 即 x≠±1 ∴ 当 x=0 时，原式= Rt△ABP 1x-1 =10-1 =-1 （答案不唯一） 【考点】利用分式运算化简求值 【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，然后选取使分式有意义的值代入计算即可. 21.【答案】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45° 在△ADE和△CBF中 {AD=CB∠DAE=∠FCBAE=CF ∴ △ADE≌△CBF (SAS) （2）解：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD ∴在Rt△AOB中，∠OAB=45°又 AB=42 ∴OA=OB=sin∠OAB×AB= 22×42=4 ∵ AE=2 ∴OE=2 在Rt△EOB中， BE=OE2+OB2=4+16=25 ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AO=CO，DO=BO 又∵ AE=CF ∴EO=FO，又DO=BO ∴四边形DEBF是平行四边形 又∵AC⊥BD，即BD⊥EF ∴四边形DEBF是菱形 ∴BE=DE=DF=BF= 25 ∴四边形 BEDF 的周长=4× 25 = 85 【考点】勾股定理，菱形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】（1） 根据正方形的性质得出AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45° ，根据SAS证明△ADE≌△CBF；

（2） 根据正方形的性质得出∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD， 从而求出OA=OB =sin∠OAB×AB=4， 在Rt△EOB中 利用勾股定理求出BE=25 ， 证明四边形DEBF是菱形，可得BE=DE=DF=BF= 25 ， 从而求出四边形 BEDF 的周长.     22.【答案】 解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本 根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个 钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元 则有 {x+y=5015x+5y=400 解得：
{x=15y=35 则购置钢笔金额为：35×5=175元 购置笔记本金额为：15×15=225元 答：购置钢笔15支，金额为175元，购置笔记本34本，金额为225元 【考点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【分析】 设钢笔买了x支，笔记本买了y本 ，根据：钢笔和笔记本一共56-6=50个，钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元，列出方程组，求解即可. 23.【答案】 （1）解：抽样调查学生人数为5÷0.05=100人， ∴ a =100-5-20-25-15=35， ∴m=25÷100=0.25 （2）解：频率分布直方图进行按时间长短排序，一共有100人次， 根据中位数定义位于 1002=50 ，51两个位置的时间平均数， ∵5+20=25 < 50，5+25+35=65 > 51， ∴中位数在 2≤t<3 内， ∴甲同学的周学习时间在 2≤t<3 范围内 （3）解：抽样参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为25+15=40人， 占抽样人数的百分比为40÷100×100%=40%， 该校学生约有20000人参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为20000×40%=8000人. 【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数 【解析】【分析】（1）利用0≤t＜1的频数除以频率，即得调查总人数，然后求出a值，利用25除以调查总人数即得m值；

（2）由于中位数是第50、51个数据的平均数，而这两个数都在在 2≤t<3 内，据此即得结论；

（3） 先求出抽样参加“青年大学习”的时间不少于3h的 百分比，然后乘以20000即得结论.     24.【答案】 （1）解：设ED=x，则AD=2x， ∴ EF 弧长 =2π×x2=nπ×2x180 ， ∴ n=90° ， ∴ ∠BAC =90° （2）解：∵ED=5cm， ∴AD=2ED=10cm， ∵ AB=AC ， ∠BAC =90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵ AD⊥BC ， ∴BD=CD=AD=10cm， ∴BC=BD+CD=20cm， ∴S△BAC= 12BC×AD=12×20×10=100 cm2 ， ∴ S扇形EF =90×π×102360=25π ， ∴S阴影= S△BAC- S扇形EF =（100- 25π ）cm2 【考点】扇形面积的计算，圆锥的计算，等腰直角三角形 【解析】【分析】 （1）设ED=x，则AD=2x，根据EF 弧长等于围成圆锥的底面周长，据此列出方程，即可求出结论；

（2）由S阴影= S△BAC- S扇形EF ， 利用三角形面积公式与扇形的面积公式计算即可.     25.【答案】 （1）解：因为抛物线图象过（1，1）、（4，1）两点， 这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5， （2）解：①将点（1，1）、（4，1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1，0），（2，0），将点（-1，0），（2，0），a=-1， 根据交点式可求出C1二次函数表达式为 y=-(x+1)(x-2) ；

②根据①中的函数关系式，可得A（2，0），B（-1，0），C（0，2），D（m， -m2+m+2 ），且m＞0 由图象可知∠BOC=∠DEO=90°， 则以点 O ， D ， E 为顶点的三角形与 △BOC 相似有两种情况， （i）当△ODE∽△BCO时， 则 OEOB=DEOC ，即 m1=-m2+m+22 ， 解得m=1或-2（舍）， （ii）当△ODE∽△CBO时， 则 OEOC=DEOB ，即 m2=-m2+m+21 ， 解得 m=1+334或1-334（舍） 所以满足条件的m的值为1或 1+334 【考点】二次函数图象的几何变换，相似三角形的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【分析】（1） 根据抛物线图象过（1，1）、（4，1）两点及抛物线的对称性，即可求出对称轴；

（2）①先求出点（1，1）、（4，1）平移后的对应点的坐标为（-1，0），（2，0），由于a=-1，利用待定系数法求出解析式即可；

②由①并结合已知，可求A（2，0），B（-1，0），C（0，2），D（m， -m2+m+2 ），且m＞0， 由图象可知∠BOC=∠DEO=90°， 分两种情况 （i）当△ODE∽△BCO时， （ii）当△ODE∽△CBO时， 利用相似三角形的对应边成比例，可求出m值.   26.【答案】 （1）证明：
∵PB＇⊥AC ， ∠BAC=90° ， ∴PB＇//AB ， ∴∠CPB＇=∠ABP ， 由折叠的性质得：
∠AB＇P=∠ABP,PB＇=PB ， ∴∠CPB＇=∠AB＇P ， ∴AB＇//BC ， ∴ 四边形 ABPB＇ 是平行四边形， 又 ∵PB＇=PB ， ∴ 平行四边形 ABPB＇ 是菱形， ∴PB＇=AB＇ （2）解：如图，设 AC 与 PB＇ 的交点为点 O ，过点 O 作 OD⊥AB＇ 于点 D ， ∵AB=AC ， ∴Rt△ABC 是等腰三角形， ∠ABC=∠ACB=45° ， 设 AB=AC=4a(a>0) ，则 BC=42a ， ∵BP=3PC ， ∴BP=32a,PC=2a ， 由折叠的性质得：
∠AB＇P=∠ABP=45°,PB＇=PB=32a,AB＇=AB=4a ， 在 △COP 和 △B＇OA 中， {∠OCP=∠OB＇A=45°∠COP=∠B＇OA ， ∴△COP∼△B＇OA ， ∴OCOB＇=OPOA=PCAB＇=2a4a=24 ， 设 OC=2b(b>0) ，则 OB＇=4b,OP=32a-4b,OA=4a-2b ， ∴OPOA=32a-4b4a-2b=24 ， 解得 b=427a ， ∴OA=4a-2×427a=207a ， 在 Rt△B＇OD 中， B＇D=OB＇⋅cos∠AB＇P=22b=167a ， ∴AD=AB＇-B＇D=127a ， 则 cos∠B＇AC=ADOA=127a207a=35 （3）解：
∵∠ACB=30°,∠BAC=90° ， ∴∠ABC=60° ， 设 AB=CB＇=2m(m>0) ，则 BC=4m,AC=BC2-AB2=23m ， 由折叠的性质得：
∠AB＇P=∠ABP=60°,AB＇=AB=2m ， ∴AB＇=CB＇=2m ， 由题意，分以下两种情况：
①如图，当点 B＇ 在直线 AC 的左侧时，过点 B＇ 作 B＇E⊥AC 于点 E ， ∴CE=12AC=3m （等腰三角形的三线合一）， ∴B＇E=B＇C2-CE2=m=12B＇C ， ∴ 在 Rt△B＇CE 中， ∠B＇CE=30° ， ∴∠B＇CP=∠B＇CE+∠ACB=30°+30°=60° ， 又 ∵AB＇=CB＇ ， ∴∠B＇AC=∠B＇CE=30° ， ∴∠AB＇C=180°-∠B＇AC-∠B＇CE=120° ， ∴∠CB＇P=∠AB＇C-∠AB＇P=120°-60°=60° ， ∴△CB＇P 是等边三角形， ∴PC=CB＇=2m ， ∴PCBC=2m4m=12 ；

②如图，当点 B＇ 在直线 AC 的右侧时，过点 B＇ 作 B＇F⊥AC 于点 F ， 同理可得：
∠B＇CF=30° ， ∴∠B＇CF=∠ACB ， ∴ 点 B＇ 在 BC 上， 由折叠的性质得：
AP⊥BB＇ ， 在 Rt△ABP 中， BP=AB⋅cos∠ABC=m ， ∴PC=BC-BP=3m ， ∴PCBC=3m4m=34 ， 综上，存在点 P ，使得 AB=CB＇ ，此时 PCBC 的值为 12 或 34 【考点】菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形 【解析】【分析】（1） 证明四边形 ABPB＇ 是平行四边形，由折叠的性质得出PB＇=PB ， 从而可证平行四边形 ABPB＇ 是菱形，可得PB＇=AB＇；

（2）设AC与 PB＇ 的交点为点 O  ， 过点 O 作 OD⊥AB＇ 于点 D  ， 求得△ABC是等腰直角三角形， 设 AB=AC=4a(a>0)  ， 则 BC=42a ， 从而可得BP=32a,PC=2a ， 由折叠的性质得： ∠AB＇P=∠ABP=45°,PB＇=PB=32a,AB＇=AB=4a ， 证明 △COP~△B＇OA  ， 可得 OCOB＇=OPOA=PCAB＇=2a4a=24 ， 设OC=2b(b>0) ， 可得 OB＇=4b,OP=32a-4b,  OA=4a-2b  ， 代入比例式可得b=427a ， 从而求出OA，利用解直角三角形求出B＇D，从而求出 AD=AB＇-B＇D 的长，由cos∠B＇AC=ADOA即得结论；

（3） 分两种情况：①如图，当点 B＇ 在直线 AC 的左侧时， 过点 B＇ 作 B＇E⊥AC 于点 E  ， ②如图，当点 B＇ 在直线 AC 的右侧时，过点 B＇ 作 B＇F⊥AC 于点 F  ， 据此分别求解即可.  

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