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    【量子力学导论第4章答案】 量子力学第四章答案

    时间：2021-11-11 11:35:31来源：百花范文网本文已影响人

    第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且 证：ⅰ） 为厄米算符。

    ⅱ） 也为厄米算符。

    ⅲ）令，则， 且定义 （1） 由ⅰ），ⅱ）得，即和皆为厄米算符。

    则由（1）式，不难解得 4.2）设是的整函数，证明 整函数是指可以展开成。

    证：
    （1）先证。

    同理， 现在， 而 。

    又 而 4.3）定义反对易式，证明 证：
    4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为 ，为Levi-civita符号，试验证 （1） （2） （3） 证：
    （1）式左端 （1）式右端也可以化成 。

    （1）式得证。

    （2）式左端 （） （2）式右端 故（2）式成立。

    （3）式验证可仿（2）式。

    4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明 （1） （2） 证：（1）式右端 （1）式左端 （2）式右端 （2）式左端 4.6）设是由，构成的标量算符，证明 （1） 证：
    （2） （3） 同理可证， （4） （5） 将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

    4.7）证明 。

    证：
    利用基本对易式 即得 。

    因此 其次，由于和对易，所以 因此， 4.8）证明 （1） （2） （3） （4） 证: （1）利用公式 ，，有 其中 因此 （2）利用公式， （Δ） 可得 ① ② ③ 由①②③，则（2）得证。

    （3） （4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2）， ， 其中 （即） 类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。

    4.9）定义径向动量算符 证明：， ， ， ， 证：， 即为厄米算符。

    据4.8）（1），。

    其中 ， 因而 以左乘上式各项，即得 4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

    解：一维谐振子能量 。

    又奇，，， （由(3.8)、(3.9)题可知） ，， 由测不准关系，得 。

    ，得 同理有，。

    谐振子（三维）基态能量。

    4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。

    解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为。

    类氢原子基态波函数，仅是的函数。

    而，故只考虑径向测不准关系， 类氢原子径向能量为：。

    而，如果只考虑基态，它可写为 ， 与共轭，于是，， （1） 求极值 由此得（：玻尔半径；
    ：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得 基态能量， 运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。

    4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。

    证：设定态波函数的空间部分为，则有 为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系：
    。

    这里已用到最基本的对易关系，由此 这里用到了的厄米性。

    这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。

    4.13）证明在的本征态下，。

    （提示：利用，求平均。） 证：设是的本征态，本征值为，即 ， ， 同理有：。

    4.14) 设粒子处于状态下，求和 解：记本征态为，满足本征方程 ，，， 利用基本对易式 ， 可得算符关系 将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 又 上题已证 。

    同理 。

    4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求 （a）的可能测值及平均值; （b）的可能测值及相应的几率；

    （c）的可能测值及相应的几率。

    解：，；

    ，。

    （a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。

    （b）的可能测值为，，相应的几率为，。

    （c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，，0，，。

    1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是 求本征矢并令，则， 得，，，。。

    ⅰ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。

    ⅱ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。

    ⅲ）取，得，归一化后可得本征矢为。

    在态下， 取的振幅为，取的几率为；
    取的振幅为，相应的几率为；

    取的振幅为，相应的几率为。总几率为。

    2）在的空间，对角化表象中的矩阵 利用 ，，，。

    ，本征方程 ，，，，，。

    ⅰ），，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；

    ⅱ），，，，，本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。

    ⅲ），，，，，本征矢为，在态下，测得几率为。

    ⅳ），，，，，本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为；

    ⅴ），，，，，本征矢为，在态下，测得的几率为。

    。

    在态中，测（和）的可能值及几率分别为：
    4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。

    解：
    ，， ，。

    是归一化的。

    ， ， 。

    它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。

    4.17）设有矩阵等，证明 ，， ，，， 表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。

    证：（1）由定义， 故上式可写成：， 其中是的任意一个置换。

    （2） （3） （4） （5）

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